數(shù)學(xué)教學(xué)中錯誤概念的診斷與矯治論文
數(shù)學(xué)教學(xué)的理論和實踐研究表明，兒童在進(jìn)入學(xué)校之前、在學(xué)習(xí)學(xué)校數(shù)學(xué)之先，頭腦里并非空白一片，像一塊“白板”。事實上，他們在每天的玩耍中和生活中學(xué)會了數(shù)字的加減運算，形成了一定的“數(shù)學(xué)概念”。他們對現(xiàn)實世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系有自己的看法和理解，這種在接受正規(guī)的學(xué)校教育之前所擁有的概念一般稱為前概念(也有學(xué)者稱之為觀念)。他們的這種前概念是樸素的，雖不精確，但含有合理的成分，是兒童在現(xiàn)實生活中認(rèn)識特殊事物的一個有價值的工具，是兒童學(xué)習(xí)新概念、建構(gòu)新意義的基礎(chǔ)，因此，在教學(xué)中不應(yīng)把學(xué)生建立在前概念基礎(chǔ)上的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)看成是一種思維的“垃圾”加以排斥，而應(yīng)作為認(rèn)知的基礎(chǔ)，有待于向高級的科學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換。然而，與科學(xué)的數(shù)學(xué)概念相比，他們的前概念往往含有錯誤的傾向，有的甚至就是錯誤的，因而，前概念有時也稱為錯誤概念，它們對數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要影響。一般來說，學(xué)生頭腦中的前概念尤其是錯誤概念不但會妨礙對新知識的理解和建構(gòu)，而且會導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生新的錯誤概念。因此，加強對學(xué)生的前概念特別是錯誤概念的研究就成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要任務(wù)。本文擬對數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的錯誤概念的診斷與矯治作一初步探討。
一、錯誤概念及其特證
對于學(xué)生的錯誤概念，不同的學(xué)者使用了不同的術(shù)語，如相異概念（Viennot，1979)、幼稚概念（Resnick,1983)?相異框架(Driver&Easley,1978)等"。筆者認(rèn)為，將misconception譯為“誤解概念”可能更為恰當(dāng)，因為現(xiàn)代心理學(xué)在研究學(xué)生學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常遇到的L些錯誤概念時普遍采取了一種更為“寬容”的態(tài)度，認(rèn)為學(xué)生所具有的觀念，無論是在學(xué)習(xí)前就已形成的樸素觀念，還是在各種情景、包括在學(xué)習(xí)過程中發(fā)展起來的“非標(biāo)準(zhǔn)觀念”，都是學(xué)生建構(gòu)活動的產(chǎn)物。一般來說，學(xué)生的錯誤概念主要有以下特征。
1.額固性
研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生頭腦中的錯誤概念具有極強的頑固性(或穩(wěn)定性），即使在他們學(xué)習(xí)了科學(xué)的數(shù)學(xué)概念以后，也會背相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念的形式定義，但是，在解決實際問題的過程中，那些錯誤概念仍會潛在地存在著，影響學(xué)生的思維和問題解決。這就是說，學(xué)生的錯誤概念不可能被科學(xué)概念自動“抹去”。為什么學(xué)生的錯誤概念具有如此的頑固性呢?這是因為學(xué)生花了相當(dāng)多的時間和精力建構(gòu)了自己的“樸素觀念”，無論在感情上還是在心理上都是有依賴感的，這些樸素的觀念曾經(jīng)在他們的經(jīng)驗中發(fā)揮過一定的作用。頑固性成為概念轉(zhuǎn)變教學(xué)的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。
2.隱蔽性
所謂隱蔽性，就是學(xué)生本人不能自覺地意識到自己的錯誤概念，常常堅持和使用自己的錯誤概念去觀察、思考和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題。這是因為學(xué)生的前概念是潛移默化地形成的，以潛在的形式存在著，平時并不表現(xiàn)出來。由于這種隱蔽性，為錯誤概念的揭示增加了難度，所以需要數(shù)學(xué)教師采用各種方法來幫助學(xué)生拋棄錯誤概念。
3.表象性
學(xué)生認(rèn)知事物的能力有限，他們的前概念主要形成于日常生活的直接經(jīng)驗和教學(xué)中對知識的字面理解，往往比較膚淺、直觀，一般停留在表象水平上，還不能脫離具體表象而形成抽象的概念。因而，自然也就無法擺脫局部事物或個別現(xiàn)象的片面性和局限性而把握其本質(zhì)，使得錯誤概念具有表象性的特征，這也就為錯誤概念的診斷和矯治提供了可能。
二、錯誤概念的診斷
在數(shù)學(xué)教學(xué)中錯誤概念診斷的有效方法是實施診斷性評價（diagnosticassessment)。所謂診斷性評價，就是通過一定的方式(定量的和定性的)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題，并分析這些問題產(chǎn)生的原因，從而為改進(jìn)和調(diào)整教學(xué)策略提供依據(jù)。診斷性評價能夠幫助教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯誤概念，查明學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中產(chǎn)生困難的真正原因，從而采取教學(xué)對策，促進(jìn)學(xué)生概念的生成和轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)。具體來說，有以下幾種方法。
1.出聲思考
出聲思考（thinkingaloud)是認(rèn)知心理學(xué)研究的一種方法，是指被試在進(jìn)行操作的同時，報告其頭腦中的思維過程。學(xué)生的思維活動是我們無法感知的，出聲思考好似學(xué)生把思維過程直接呈現(xiàn)在我們面前，因而能讓我們比較有效地進(jìn)行考查。這是發(fā)現(xiàn)隱蔽在學(xué)生頭腦中錯誤概念的一種簡便、有效的方法。這種方法要求被試報告頭腦中想到了什么,而不是為什么這樣想。邊思考邊報告可能會影響被試的思維活動和報告的真實性,但研究表明，只要被試經(jīng)過有效的訓(xùn)練，出聲思考并不會影響思維的正常進(jìn)行。因此，出聲思考是考查學(xué)生錯誤概念的一種有效方法。
2.制作概念圖
所謂概念圖（conceptmapping)就是把兩個以上以及它們之間的關(guān)系通過連接詞以圖解的形式表示出來形成的概念關(guān)系圖。它要求學(xué)生將有關(guān)某一主題不同層級的概念置于方框或圓圈中，再以各種連線將相關(guān)的概念或命題連接起來，以形象化的方式表征學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及對某一主題概念的理解。制作概念圖，可以幫助教師了解學(xué)生對有關(guān)主題概念的理解(包括前概念)。例如，通過制作數(shù)系圖，就能了解初一學(xué)生對負(fù)數(shù)的認(rèn)識情況。
3.診斷性測試
這是指以診斷學(xué)生普遍存在的前概念、揭示其錯誤概念產(chǎn)生的原因為目的的一種特殊的測試。診斷性測試需要編制測試題，測試題的.編制和選擇要針對所學(xué)內(nèi)容，精心設(shè)計，要將學(xué)生容易產(chǎn)生錯誤理解的知識點呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生的前概念(錯誤概念)在測試中“曝光”。例如，要求小學(xué)生作出鈍角三角形三邊上的高，即可發(fā)現(xiàn)學(xué)生關(guān)于“垂直”的前概念。垂直，作為幾何概念的本質(zhì)特征是點跟直線的位置關(guān)系，而相應(yīng)的生活概念(前概念)的本質(zhì)特征是方向的上或下。測試表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何概念中的垂直時，大多以日常概念的“垂直”去置換幾何概念的相互垂直，從而導(dǎo)致作圖錯誤。
4.訪談
訪談是以口頭形式，根據(jù)被詢問者的回答而收集的客觀的、不帶偏見的事實材料，以正確把握對象知識結(jié)構(gòu)的一種方式。訪談的核心是準(zhǔn)備好訪談計劃，包括所提問題。問題要簡單明了，易于口頭回答。訪談時要做好心理調(diào)控，營造一種平等、民主、坦誠、和諧的氛圍。由于直面交談，訪談法具有較好的靈活性和適應(yīng)性，能夠勘察學(xué)生的深層思維，是診斷學(xué)生對某些知識點的理解和揭示錯誤概念的一種最佳方法。但它對訪談?wù)咭筝^高，工作量也較大，適合個案研究。
一般來說，為了全面、準(zhǔn)確地揭示學(xué)生的錯誤概念，在實際操作過程中不是單獨使用某一種方法，而是幾種方法常常結(jié)合起來使用，發(fā)揮各種方法的優(yōu)勢。
三、矯治錯誤概念的教學(xué)策略
診斷學(xué)生的錯誤概念只是一種手段，不是目的，目的是為教學(xué)決策提供依據(jù)，以便矯治學(xué)生的錯誤概念。針對學(xué)生的錯誤概念，西方學(xué)者進(jìn)行了大量研究，提出了概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)現(xiàn)，被認(rèn)為是矯治學(xué)生錯誤概念，實現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)的一種有效策略。
在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，認(rèn)為只要向?qū)W生傳授科學(xué)的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生的錯誤概念便會自動得到更正或為科學(xué)的數(shù)學(xué)概念所代替。建構(gòu)主義指出，知識是不能被傳遞的，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者根據(jù)自己已有的知識經(jīng)驗去主動建構(gòu)的過程。大量的教學(xué)實踐也表明，學(xué)生錯誤概念的頑固性，致使這種做法是低效的甚至是無效的。實現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)，最有效的方法是進(jìn)行概念轉(zhuǎn)變教學(xué)（conceptualchangeteach?ing)。所謂概念轉(zhuǎn)變教學(xué)，就是促使學(xué)生原有概念改變、發(fā)展和重建的過程，就是學(xué)生由前概念(錯誤概念）向科學(xué)概念轉(zhuǎn)變的過程。
1.了解學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，促進(jìn)前概念向科學(xué)的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變
建構(gòu)主義的概念轉(zhuǎn)變教學(xué)觀認(rèn)為，有效教學(xué)始于學(xué)生原有的知識和技能。通過對專家教師與新手的比較研究發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)策略上，專家教師更關(guān)注學(xué)生的巳有知識和經(jīng)驗，了解學(xué)生可能面對的困難，知道如何挖掘?qū)W生已有知識以使新的信息有意義。因此，針對學(xué)生前概念的干擾，在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，首先應(yīng)當(dāng)了解、正視學(xué)生的前概念，發(fā)揮前概念的經(jīng)驗性、淺顯性和通俗性的特點，使學(xué)校教學(xué)的數(shù)學(xué)概念以此為鋪墊，促進(jìn)學(xué)生由淺人深、由表及里地從經(jīng)驗性概念轉(zhuǎn)變到理論性概念，即通過對前概念的充實、區(qū)分或增加層級組織，使前概念轉(zhuǎn)變成科學(xué)的數(shù)學(xué)概念。
事實上，“學(xué)生對數(shù)學(xué)的思考往往來自于個別范例和活動”。課堂上教授的數(shù)學(xué)概念的抽象性、概括性、精確性的特點也迫切需要以日常概念的具體性、特殊性和操作性成分為依托，以便能分化它的理論側(cè)面，使之借助學(xué)生的具體經(jīng)驗和事實，變得容易理解。在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的失敗在很多情況下是學(xué)生在學(xué)校中所學(xué)到的正規(guī)數(shù)學(xué)概念與源于日常生活的數(shù)學(xué)概念相脫離而導(dǎo)致的。實踐表明，一旦教師注意到學(xué)習(xí)者帶到學(xué)習(xí)任務(wù)中已有知識和經(jīng)驗，并將這些當(dāng)作新概念的起點時，在教學(xué)過程中監(jiān)控學(xué)生的概念轉(zhuǎn)化，就能促進(jìn)學(xué)生的概念學(xué)習(xí)。
2.引發(fā)認(rèn)知沖突,辨清新舊界限，實現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)
當(dāng)學(xué)生的前概念與新概念不一致或矛盾時，必須辨清它們之間的分歧所在，學(xué)生才能轉(zhuǎn)變、重組自己的已有觀念。學(xué)生在真正學(xué)習(xí)新概念之前，需要對根深蒂固的錯誤概念進(jìn)行重組，因為這些錯誤概念會干擾學(xué)習(xí)。格勞斯認(rèn)為,改變“錯誤概念對新概念學(xué)習(xí)排斥”現(xiàn)象的唯一可能方法是迫使學(xué)生正確面對他們的錯誤認(rèn)識與所學(xué)的科學(xué)原理之間的矛盾。
因此，教師必須讓學(xué)生意識到他們的錯誤(前)概念，他們才能改變自己的觀念，進(jìn)行認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建。而促使學(xué)生轉(zhuǎn)變錯誤概念的最好方式是引發(fā)認(rèn)知沖突，認(rèn)知沖突使學(xué)生產(chǎn)生對前(或錯誤)概念的不滿。只有經(jīng)過這種沖突才能促使學(xué)生產(chǎn)生重建概念的心理表征。通過挑選涉及已知錯誤概念的關(guān)鍵任務(wù)，教師能夠幫助學(xué)生檢驗他們的思維，弄清楚為什么他們的各種各樣的想法需要改變，以及怎么改變，這種模式便會使學(xué)生進(jìn)人認(rèn)知沖突。
一般來說，認(rèn)知沖突的產(chǎn)生主要有以下三種情況：一是認(rèn)知沖突產(chǎn)生于學(xué)生的預(yù)測同其經(jīng)驗的結(jié)果相反時；二是認(rèn)知沖突產(chǎn)生于學(xué)生的觀點與教師的觀點不一致時；三是認(rèn)知沖突產(chǎn)生于學(xué)生之間不同觀念的碰撞中。認(rèn)知沖突激起學(xué)生的求知欲和探索心向，促使學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同化和順應(yīng)。因此,引發(fā)認(rèn)知沖突是激勵學(xué)生實現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)的契機和條件。
1.重視概念生成的凝聚,構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò)
凝聚（encapsulation)是數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)的一^有效策略,是指概念由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化。因為在數(shù)學(xué)中很多概念最初是作為一個過程得到引進(jìn)的，如函數(shù)概念最初是作為對應(yīng)法則引進(jìn)的,但隨著學(xué)習(xí)的不斷深入,其最終又轉(zhuǎn)化成了一個研究對象--對其性質(zhì)等進(jìn)行研究，如單調(diào)性、連續(xù)性、可導(dǎo)性等,從而函數(shù)就獲得了新的意義,變成了數(shù)學(xué)對象。正因如此，函數(shù)概念的表征學(xué)習(xí)就經(jīng)歷了一個凝聚的過程:對應(yīng)說一映射說一關(guān)系說,使函數(shù)概念實現(xiàn)了由過程到對象的轉(zhuǎn)變,從而達(dá)到“凝聚”。可見,在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生僅憑單純的機械記憶概念的形式定義是不行的，是不可能真正理解新概念并在新的情境中進(jìn)行正確的應(yīng)用的，而必須搞淸概念的來龍去脈--建立概念網(wǎng)絡(luò)。由于數(shù)學(xué)概念是相互聯(lián)系的,具有一定的復(fù)雜性,所以只有在與其他概念所形成的網(wǎng)絡(luò)中才能全面地理解它。
概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，新概念的學(xué)習(xí)是以已有知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的一個主動的意義建構(gòu)過程，建構(gòu)的方式是同化和順應(yīng)。同化和順應(yīng)是概念轉(zhuǎn)變的機制。同化，使原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)的內(nèi)容在量上得到充實和豐富;順應(yīng),使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到重組或重構(gòu),統(tǒng)攝程度更高，發(fā)生了結(jié)構(gòu)性的變化。這也說明，學(xué)生頭腦中所擁有的概念的心理表征是相互聯(lián)系的,是具有一定的結(jié)構(gòu)關(guān)系的。
對學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)概念來說,結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵。當(dāng)不同數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在表征之間建立了一定的聯(lián)系時，就可稱謂建立了概念網(wǎng)絡(luò)。組織良好的概念網(wǎng)絡(luò)是一種“立體結(jié)構(gòu)”:在層與層之間,可比喻為垂直的譜系,在同一層級上則像蜘蛛網(wǎng)一樣。“當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)像譜系那樣時,一些表征從屬于另一些表征，即作為后者的細(xì)節(jié)從屬于更為一般的表征……在第二個比喻中，網(wǎng)絡(luò)就像一張蛛網(wǎng)，其中的結(jié)點可以被看成所代表的各條信息，結(jié)點間的線則代表信息間的聯(lián)系或關(guān)系。蛛網(wǎng)中的各個點最終都是相互聯(lián)結(jié)的,從而可按照已建立的聯(lián)系在其中轉(zhuǎn)移”。例如，多邊形就可形成一種立體結(jié)構(gòu)概念網(wǎng)絡(luò)，它是“譜系”與“蛛網(wǎng)”的混合。
運用已有知識經(jīng)驗建構(gòu)新概念的轉(zhuǎn)化過程，在本質(zhì)上就是不斷豐富和建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成縱橫交錯、聯(lián)系密切的概念網(wǎng)絡(luò)，就是將一個新概念納入已有的概念網(wǎng)絡(luò)，或者由于新概念的進(jìn)入與原有觀念中的錯誤概念的沖突而引起概念網(wǎng)絡(luò)的重組或重構(gòu)，從而組織成為一個聯(lián)系更為合理、觀念更為恰當(dāng)?shù)男戮W(wǎng)絡(luò)。將一個新概念納人已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，其與概念網(wǎng)絡(luò)中結(jié)點的聯(lián)系越為密切且為多層級間的聯(lián)系,反映主體對其理解就越為全面和深刻。理解一個數(shù)學(xué)概念就是指新概念的心理表征已經(jīng)成為主體已有的概念網(wǎng)絡(luò)的一個組成部分，即與主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立了廣泛的聯(lián)系。這種聯(lián)系既有邏輯的聯(lián)系,也有認(rèn)知之間的聯(lián)系，且理解的程度就取決于聯(lián)系的數(shù)目和強度。說一個數(shù)學(xué)概念被理解了，就是指其和現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)是由更強或更多的關(guān)系聯(lián)結(jié)著的。
因此，在數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)中，我們就不能著眼于或滿足于學(xué)生已有(記住)數(shù)學(xué)概念的數(shù)量;與其相比,概念間的良好組織更為重要。總之,只有新概念與頭腦中組織良好的概念網(wǎng)絡(luò)建立穩(wěn)定、靈活、密切的聯(lián)系之后，才可說是獲得了新概念和實現(xiàn)了概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)。
綜上所述，開展關(guān)于學(xué)生頭腦中的前概念或錯誤概念的研究，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要，是運用建構(gòu)主義理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要。如何揭示學(xué)生頭腦中那些樸素的、不精確的、甚至是錯誤的概念，采用何種教學(xué)策略幫助學(xué)生將這些錯誤概念轉(zhuǎn)變?yōu)榭茖W(xué)的數(shù)學(xué)概念，仍是擺在我們面前的需要深入探討的重要而又有意義的課題。
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