邏輯學在《數學分析》教學中的應用論文

　　在科學發展的初期，數學被包含在哲學的母體之中。邏輯學是研究思維的邏輯形式、基本規律與方法的學科，它與數學有著十分密切的關系。在它的發展過程中，不斷借用數學的思想方法，反過來又促進數學的發展。《數學分抑）是大學相關專業十分重要的基礎課程，蘊含著豐富的邏輯思維原理與方法。《數學分析》充分運用了分析與綜合的邏輯思維方法，其基本概念一極限的定義，被稱之為典型的分析語言，即是分析與綜合的體現，其中包含了一些全稱判斷與特稱判斷，由此構成一個復合判斷。極限的概念與方法，貫穿于《數學分析》的始終，既是教學的重點，也是教學的難點，其教學歷來受到特別的重視。因此，在《數學分析）教學中，運用邏輯學的原理與方法，對提高教學質量有著非常重要的意義。

　　1分析與綜合

　　分析法與綜合法則是常用的普通邏輯思維方法。分析法就是把復雜的事物或過程分解成各個部分、局部或階段，然后用孤立、靜止的觀點逐個對其研究，從而得出事物的微觀性質；而綜合法則是把事物的各個部分或階段的微觀性質有機整合在一起，把握事物的整體、宏觀性質。通常人們往往將這兩者先后結合起來，達到認識事物的目的。概念、判斷、推理是思維的基本形式，因而數學概念就是教學中首先要注重的對象。《數學分析》的基本概念，例如極限、微分、積分的定義都采用了分析與綜合的方法。下面以極限與定積分的概念為例說明。

　　（1)極限考慮數列極限lima?=a,{an}趨近于a是一個無窮的復雜過程，把這一過程分解為： n※'+丫Ian—a01Ian—a0.01Ian—a0002…對于上述每個變化階段，用孤立、靜止的觀點研究它們，所得條件是自變量n必須大于某個正整數。這樣的變化階段有很多很多，它們具有上述類似的特征，運用邏輯量詞符號，將其綜合、概括起來即為：Ve>0，3正整數N,當n>N時，都有Ian—ae

　　（2)定積分定積分("f(x)dx的幾何背景是求由曲線y=f(x)O0)，xG丨a,b]與直線x=a,Jb'x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積。這是初等數學不能解決的復雜問題，必須使用分析與綜合的方法。先將曲邊梯形鉛垂地分割成若干個小的窄曲邊梯形，然后對每個小窄曲邊梯形，用孤立、靜止的觀點研究，將其近似的看作一個小矩形，即把函數f(x)在每個小區間[Xi—，x,]上看作是不變的，其值可以是任意的`f()，與G丨xi—,x,],于是第i個小曲邊梯形的面積的近似值為f(i)ixi—xi—)。其次，再將各個部分作和，得到整個曲邊梯形面積的近似值為]E/(,)-x—)，最后讓分割越來越細密，整個曲邊梯形面積i—1的近似值的極限值即為它的精確值。上述過程中的分割、近似即為分析，而作和、取極限則為綜合，定積分的概念是分析與綜合相結合的完美范例。

　　2判斷與否定判斷

　　判斷是對思維對象有所斷定（即肯定或否定）的思維形式。數學中的判斷大量存在于數學的概念與推理之中。在《數學分析》中，很多判斷屬于性質判斷，即斷定對象具有或者不具有某種性質的判斷。如：①函數.f(x)在區間(a,b)可導;②函數f()在區間丨a,b]不可積。

　　性質判斷按對象的數量劃分，可分為單稱判斷、全稱判斷和特稱判斷；按性質劃分，又可分為肯定判斷與否定判斷。否定一個全稱判斷，須用特稱判斷，而否定一個特稱判斷，則須用全稱判斷。

　　《數學分析》大多數基本概念的定義由全稱判斷和特稱判斷構成，如極限、上（下）確界、有（無）界函數、微分、積分等。這些概念都是教學的重點與難點。特別是教學之初就涉及到的極限概念，學生對其正概念，尤其是對其負概念中的“e—#語言”、“e—S語言”的理解和掌握容易產生障礙，究其原因，筆者認為是教學中缺乏邏輯學的指導。

　　下面運用邏輯學的原理與量詞符號全稱量詞V與特稱(或存在）量詞3重點剖析數列{an}收斂于a的概念。首先，概念liman=a的定義如下：

　　n—co Ve>0，3正整數N,當n>N時，都有Ian—ae這是一個復合判斷。其中Vb0…引導一個全稱肯定判斷，而這個判斷之中，又包含一個特稱肯定判斷：3正整數N…，一個全稱判斷Vn>N…。

　　根據邏輯學的原理，由全稱量詞V引導的全稱判斷，應該用存在量詞3引導的特稱判斷來否定，而由存在量詞3引導的特稱判斷，則應該用全稱量詞V引導的全稱判斷來否定。這樣，立即就會得出極限liman=a的否定，也就是limana的定乂：

　　n—con—:o

　　3e>0，V正整數N,3伽>N,使得Ian。—a同理，數列}發散的定義為：

　　VaGR3e>0，V正整數N3伽>N,使得Ian。—aI>e類似地，可以討論各種類型的函數極限的定義及其否定形式。

　　此外，在邏輯推理（例如反證法）中，也經常涉及到全稱判斷和特稱判斷及其否定。

　　3結語

　　除了上面提到的邏輯學原理與方法以外，《數學分析》還大量運用了演繹推理、歸納推理、類比推理等邏輯推理論證方法與普通邏輯的基本規律，如同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。學習與掌握一定的邏輯學知識，不僅可以促進數學的學習，而且可以指導數學的教學。

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