數(shù)學(xué)分析原理和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用論文
隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的進(jìn)行，中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動蓬勃開展,在中學(xué)活動課程中,學(xué)生常常接觸一些中學(xué)數(shù)學(xué)課本以外的知識,數(shù)學(xué)奧林匹克在中學(xué)活躍了學(xué)習(xí)空氣,同時也對中學(xué)數(shù)學(xué)教師提出了更新、更高的要求,數(shù)學(xué)分析和其他一些高等數(shù)學(xué)的知識在其中發(fā)揮著更加突出的作用。如集合的拆分,組合計數(shù),遞歸數(shù)列,利用極限推證不等式,用介值定理求方程的近似解等。許多課外活動的數(shù)學(xué)問題,其內(nèi)容有高等數(shù)學(xué)的背景,現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點,有高等數(shù)學(xué)的思想方法,但其解法又是初等而又十分巧妙的，文章是對數(shù)學(xué)分析課程在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用作簡要探討。
1微分學(xué)原理、方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
在中學(xué)數(shù)學(xué)中,要作出函數(shù)的圖形,除了利用極易判斷出來的函數(shù)的單調(diào)性以及可明顯看出的一些極值點等性質(zhì)外,最主要的還是依靠描點法作函數(shù)的圖形，如此作出的圖形究竟是不是該函數(shù)的真正圖形是無法肯定的。而在數(shù)學(xué)分析中，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性,求出極值點和拐點,再利用極限求漸近線，就能精確地畫出函數(shù)的草圖,所以可用微分學(xué)原理和方法指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性中學(xué)數(shù)學(xué)討論函數(shù)的單調(diào)性一般只能根據(jù)定義,計算很繁瑣,對某些函數(shù)甚至無法判別,而根據(jù)微分學(xué)中嚴(yán)格單調(diào)的充分條件的定理“若/對乂?(a,b),有f(X>0威f(X<0),則函數(shù)f(X在(a,b內(nèi)嚴(yán)格增加或嚴(yán)格減少)。”則可使解法簡化,并能使問題得以深化和拓展。
(2證明不等式。不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要地位,這體現(xiàn)于它在解方程（如解不定方程、三角方程、對數(shù)方程等)和有關(guān)函數(shù)的問題、三角證明題、極值、條件極值、幾何證明題等諸方面的應(yīng)用。不等式的證明方法多種多樣,沒有一個統(tǒng)一的模式。初等數(shù)學(xué)常用的方法是恒等變形、數(shù)學(xué)歸納法、利用二次型、使用重要不等式,其中進(jìn)行巧妙的恒等變形,形成非負(fù)的項或者湊成可利用的重要不等式洳Vb等)是極有生命力和創(chuàng)造力的方法,但這里往往要有較高的技巧。利用微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、定積分的性質(zhì)等有關(guān)知識,可使不等式的證明過程大大簡化。
2積分法原理和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
積分學(xué)是由不定積分和定積分兩部分組成，不定積分是從逆運(yùn)算的角度把積分看作微分的逆運(yùn)算而定義的。而定積分是從極限的角度把定積分看作是特殊類型的極限加以定義的,這兩類積分從定義形式上看截然不同，但Newton-Leibniz的微積分基本定理揭示了它們的內(nèi)在聯(lián)系，使得求一個和式極限這個相當(dāng)困難的定積分問題轉(zhuǎn)化為通過求不定積分來加以解決,從而使兩者成為不可分割的整體,在理論和應(yīng)用上取得了長足的發(fā)展。單從數(shù)學(xué)分析來看,定積分不僅對求面積、弧長、體積、近似計算等問題十分有用,而且與數(shù)學(xué)分析的另-組成部分--級數(shù)之間建立了聯(lián)系。
定積分除具有具體應(yīng)用的優(yōu)勢外，更具有方法上的指導(dǎo)意義。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，對一些規(guī)則平面圖形或空間立體的`面積、體積和表面積給出計算的公式,但其中相當(dāng)一部分公式無法給出推導(dǎo)的方法，在研究體積計算問題時常用的一個重要定理--祖暅定理也只能當(dāng)作公理介紹，并由它以及長方體的體積公式推出柱、錐、臺、球等體積公式。而在數(shù)學(xué)分析中,有關(guān)面積、體積的計算完全可利用積分或重積分精確地計算出來,祖WS定理、柱、錐、臺、球等體積公式只須用定積分的定義便可簡捷地給出證明。中學(xué)數(shù)學(xué)教師有了數(shù)學(xué)分析作為工具,在遇到有關(guān)面積、體積的計算問題時,可先用數(shù)學(xué)分析的方法求出解答,這為選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法指明了方向。
3級數(shù)理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
級數(shù)理論同樣是數(shù)學(xué)分析中的一個重要內(nèi)容，利用函數(shù)的級數(shù)展開式可進(jìn)行近似計算，中學(xué)數(shù)學(xué)用表中的三角函數(shù)表、常用對數(shù)表等均是利用級數(shù)理論求出其近似值來制作。中學(xué)教師具備了這些知識后，在日常教學(xué)中就不但能教學(xué)生如何查表,還可說明造表的理論依據(jù),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。另外,還可用于講一些常數(shù)如數(shù)e,數(shù)+)的超越性等,為開展中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動提供素材。
總之,利用數(shù)學(xué)分析的原理和方法,可以改變我們對一些問題的思維方式,拓寬我們的解題思路。中學(xué)數(shù)學(xué)教師在講授上述內(nèi)容時,可先用數(shù)學(xué)分析的方法求出答案,做到心中有數(shù),然后再根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)知識,結(jié)合學(xué)生的實際情況,設(shè)計出既不違反科學(xué),又利于后續(xù)課程學(xué)習(xí),并且最易為學(xué)生接受的最佳教學(xué)方案,這樣必能收到理想的教學(xué)效果。
把數(shù)學(xué)分析的思想、方法、知識應(yīng)用于解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題上,能起到以簡馭繁的作用,尤其是在不等式與恒等式的證明、求函數(shù)極值與切線及單調(diào)區(qū)間、方程根的討論、研究函數(shù)的性態(tài)與作圖以及解決實際問題等方便,不僅可以簡化解法,而且能使問題的研究更為深入、全面。然而,文章對此研究的并不完善,仍有繼續(xù)研究的空間。
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