因式分解公式是什么

時間：2024-05-17 22:49:50 文圣好文我要投稿

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因式分解公式是什么

　　因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，在數學求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用，是解決許多數學問題的有力工具。下面是小編整理的因式分解公式是什么，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　因式分解的定義

　　把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。

　　因式分解主要有十字相乘法，待定系數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。

　　因式分解常用公式

　　1、平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）。

　　2、完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2。

　　3、立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）。

　　4、立方差公式：a3—b3=（a—b）（a2+ab+b2）。

　　5、完全立方和公式：a3+3a2b+3ab2+b3=（a+b）3。

　　6、完全立方差公式：a3—3a2b+3ab2—b3=（a—b）3。

　　7、三項完全平方公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2。

　　8、三項立方和公式：a3+b3+c3—3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2—ab—bc—ac）。

　　因式分解方法

　　1、提公因式法

　　如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

　　各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。公因式可以是單項式，也可以是多項式。

　　具體方法：在確定公因式前，應從系數和因式兩個方面考慮。當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的。當各項的系數有分數時，公因式系數為各分數的最大公約數。如果多項式的第一項為負，要提出負號，使括號內的第一項的系數成為正數。提出負號時，多項式的各項都要變號。

　　基本步驟：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并確定另一個因式；

　　①找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數再確定字母；

　　②提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；

　　③提完公因式后，另一因式的項數與原多項式的項數相同。

　　口訣：找準公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負要變號，變形看奇偶。

　　2、公式法

　　如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。

　　3、十字相乘法

　　十字左邊相乘等于二次項系數，右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于一次項。

　　口訣：分二次項，分常數項，交叉相乘求和得一次項。（拆兩頭，湊中間）

　　（1）用十字相乘法分解二次項，得到一個十字相乘圖（有兩列）；

　　（2）把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的dx。

　　（3）先以一個字母的一次系數分數常數項；

　　（4）再按另一個字母的一次系數進行檢驗；

　　（5）橫向相加，縱向相乘。

　　4、輪換對稱法

　　當題目為一個輪換對稱式時，可用輪換對稱法進行分解。

　　5、分組分解法

　　通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式分解法無法直接分解的因式，這種分解因式的方法叫做分組分解法。能分組分解的多項式有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。

　　6、拆添項法

　　把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解，這種分解因式的方法叫做拆項補項法。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

　　7、配方法

　　對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種分解因式的方法叫做配方法。屬于拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

　　相關結論

　　基本結論：分解因式為整式乘法的逆過程。

　　高級結論：在高等代數上，因式分解有一些重要結論，在初等代數層面上證明很困難，但是理解很容易。

　　1）因式分解與解高次方程有密切的關系。對于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明，對于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過于復雜，在非專業領域沒有介紹。對于分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較復雜。對于五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。

　　2）所有的三次和三次以上的一元多項式在實數范圍內都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多項式在復數范圍內都可以因式分解。這看起來或許有點不可思議。比如x+1,這是一個一元四次多項式，看起來似乎不能因式分解。但是它的次數高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系數法將其分解，只是分解出來的式子并不整潔。(這是因為，由代數基本定理可知n次一元多項式總是有n個根，也就是說，n次一元多項式總是可以分解為n個一次因式的乘積。并且還有一條定理：實系數多項式的虛數根兩兩共軛的，將每對共軛的虛數根對應的一次因式相乘，可以得到二次的實系數因式，從而這條結論也就成立了。

　　3）因式分解雖然沒有固定方法，但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對于中學生來說難度頗高，但是中學有時候要處理的多項式次數并不太高，所以反復利用多項式的除法也可以但比較笨，不過能有效地解決找公因式的問題。

　　4）因式分解是很困難的，初中所接觸的只是因式分解很簡單的一部分。

　　分解一般步驟

　　1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；

　　這里的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項系數是正的。

　　2、如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式；

　　要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，括號內切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，并使每一個括號內的多項式都不能再分解。

　　3、如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

　　4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。

　　口訣：先提首項負號，再看有無公因式，后看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。

　　因式分解公式法講解

　　平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)