高中數學教案集合15篇
作為一名無私奉獻的老師，很有必要精心設計一份教案，編寫教案有利于我們準確把握教材的重點與難點，進而選擇恰當的教學方法。那么什么樣的教案才是好的呢？下面是小編幫大家整理的高中數學教案，歡迎大家分享。
高中數學教案1
一、教學目標
(1)了解含有“或”、“且”、“非”復合命題的概念及其構成形式;
(2)理解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義;
(3)能用邏輯聯結詞和簡單命題構成不同形式的復合命題;
(4)能識別復合命題中所用的邏輯聯結詞及其聯結的簡單命題;
(5)會用真值表判斷相應的復合命題的真假;
(6)在知識學習的基礎上，培養學生簡單推理的技能.
二、教學重點難點：
重點是判斷復合命題真假的方法;難點是對“或”的含義的理解.
三、教學過程
1.新課導入
在當今社會中，人們從事任何工作、學習，都離不開邏輯.具有一定邏輯知識是構成一個公民的文化素質的重要方面.數學的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學的教學比初中更強調邏輯性.如果不學習一定的邏輯知識，將會在我們學習的過程中不知不覺地經常犯邏輯性的錯誤.其實，同學們在初中已經開始接觸一些簡易邏輯的知識.
初一平面幾何中曾學過命題，請同學們舉一個命題的例子.(板書：命題.)
(從初中接觸過的“命題”入手，提出問題，進而學習邏輯的有關知識.)
學生舉例：平行四邊形的對角線互相平. ……(1)
兩直線平行，同位角相等.…………(2)
教師提問：“……相等的角是對頂角”是不是命題?……(3)
(同學議論結果，答案是肯定的)
教師提問：什么是命題?
(學生進行回憶、思考.)
概念總結：對一件事情作出了判斷的語句叫做命題.
(教師肯定了同學的回答，并作板書.)
由于判斷有正確與錯誤之分，所以命題有真假之分，命題(1)、(2)是真命題，而(3)是假命題.
(教師利用投影片，和學生討論以下問題.)
例1 判斷以下各語句是不是命題，若是，判斷其真假：
命題一定要對一件事情作出判斷，(3)、(4)沒有對一件事情作出判斷，所以它們不是命題.
初中所學的命題概念涉及邏輯知識，我們今天開始要在初中學習的基礎上，介紹簡易邏輯的知識.
2.講授新課
大家看課本(人教版，試驗修訂本，第一冊(上))從第25頁至26頁例1前，并歸納一下這段內容主要講了哪些問題?
(片刻后請同學舉手回答，一共講了四個問題.師生一道歸納如下.)
(1)什么叫做命題?
可以判斷真假的語句叫做命題.
判斷一個語句是不是命題，關鍵看這語句有沒有對一件事情作出了判斷，疑問句、祈使句都不是命題.有些語句中含有變量，如 中含有變量 ，在不給定變量的值之前，我們無法確定這語句的真假(這種含有變量的語句叫做“開語句”).
(2)介紹邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”.
“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞.邏輯聯結詞除這三種形式外，還有“若…則…”和“當且僅當”兩種形式.
對“或”的理解，可聯想到集合中“并集”的概念. 中的“或”，它是指“ ”、“ ”中至少一個是成立的，即 且 ;也可以 且 ;也可以 且 .這與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去這種可能.
對“且”的理解，可聯想到集合中“交集”的概念. 中的“且”，是指“ ”、“ 這兩個條件都要滿足的意思.
對“非”的理解，可聯想到集合中的“補集”概念，若命題 對應于集合 ，則命題非 就對應著集合 在全集 中的補集 .
命題可分為簡單命題和復合命題.
不含邏輯聯結詞的命題叫做簡單命題.簡單命題是不含其他命題作為其組成部分(在結構上不能再分解成其他命題)的命題.
由簡單命題和邏輯聯結詞構成的命題叫做復合命題，如“6是自然數且是偶數”就是由簡單命題“6是自然數”和“6是偶數”由邏輯聯結詞“且”構成的復合命題.
(4)命題的表示：用 ， ， ， ，……來表示.
(教師根據學生回答的情況作補充和強調，特別是對復合命題的概念作出分析和展開.)
我們接觸的復合命題一般有“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”、“若 則 ”等形式.
給出一個含有“或”、“且”、“非”的復合命題，應能說出構成它的簡單命題和弄清它所用的邏輯聯結詞;應能根據所給出的兩個簡單命題，寫出含有邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的復合命題.
對于給出“若 則 ”形式的復合命題，應能找到條件 和結論 .
在判斷一個命題是簡單命題還是復合命題時，不能只從字面上來看有沒有“或”、“且”、“非”.例如命題“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合”，此命題字面上無“且”;命題“5的倍數的末位數字不是0就是5”的字面上無“或”，但它們都是復合命題.
3.鞏固新課
例2 判斷下列命題，哪些是簡單命題，哪些是復合命題.如果是復合命題，指出它的構成形式以及構成它的簡單命題.
(1) ;
(2)0.5非整數;
(3)內錯角相等，兩直線平行;
(4)菱形的對角線互相垂直且平分;
(5)平行線不相交;
(6)若 ，則 .
(讓學生有充分的時間進行辨析.教材中對“若…則…”不作要求，教師可以根據學生的情況作些補充.)
例3 寫出下表中各給定語的否定語(用課件打出來).
若給定語為
等于
大于
是
都是
至多有一個
至少有一個
至多有個
其否定語分別為
分析：“等于”的否定語是“不等于”;
“大于”的否定語是“小于或者等于”;
“是”的否定語是“不是”;
“都是”的否定語是“不都是”;
“至多有一個”的否定語是“至少有兩個”;
“至少有一個”的否定語是“一個都沒有”;
“至多有 個”的否定語是“至少有 個”.
(如果時間寬裕，可讓學生討論后得出結論.)
置疑：“或”、“且”的否定是什么?(視學生的情況、課堂時間作適當的辨析與展開.)
4.課堂練習：第26頁練習1
5.課外作業：第29頁習題1.6
高中數學教案2
教學目標：
1．了解復數的幾何意義，會用復平面內的點和向量來表示復數；了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義．
2．通過建立復平面上的點與復數的一一對應關系，自主探索復數加減法的幾何意義．
教學重點：
復數的幾何意義，復數加減法的幾何意義．
教學難點：
復數加減法的幾何意義．
教學過程：
一 、問題情境
我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，實數可以用數軸上的點來表示．那么，復數是否也能用點來表示呢？
二、學生活動
問題1 任何一個復數a＋bi都可以由一個有序實數對（a，b）惟一確定，而有序實數對（a，b）與平面直角坐標系中的點是一一對應的，那么我們怎樣用平面上的點來表示復數呢？
問題2 平面直角坐標系中的點A與以原點O為起點，A為終點的向量是一一對應的，那么復數能用平面向量表示嗎？
問題3 任何一個實數都有絕對值，它表示數軸上與這個實數對應的點到原點的距離．任何一個向量都有模，它表示向量的長度，那么相應的，我們可以給出復數的模（絕對值）的概念嗎？它又有什么幾何意義呢？
問題4 復數可以用復平面的向量來表示，那么，復數的加減法有什么幾何意義呢？它能像向量加減法一樣，用作圖的方法得到嗎？兩個復數差的模有什么幾何意義？
三、建構數學
1．復數的幾何意義：在平面直角坐標系中，以復數a＋bi的實部a為橫坐標，虛部b為縱坐標就確定了點Z（a，b），我們可以用點Z（a，b）來表示復數a＋bi，這就是復數的幾何意義．
2．復平面：建立了直角坐標系來表示復數的平面．其中x軸為實軸，y軸為虛軸．實軸上的點都表示實數，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數．
3．因為復平面上的點Z（a，b）與以原點O為起點、Z為終點的向量一一對應，所以我們也可以用向量來表示復數z＝a＋bi，這也是復數的幾何意義．
6．復數加減法的幾何意義可由向量加減法的平行四邊形法則得到，兩個復數差的模就是復平面內與這兩個復數對應的兩點間的距離．同時，復數加減法的法則與平面向量加減法的坐標形式也是完全一致的．
四、數學應用
例1 在復平面內，分別用點和向量表示下列復數4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
練習 課本P123練習第3，4題（口答）．
思考
1．復平面內，表示一對共軛虛數的兩個點具有怎樣的位置關系？
2．如果復平面內表示兩個虛數的點關于原點對稱，那么它們的實部和虛部分別滿足什么關系？
3．“a＝0”是“復數a＋bi（a，b∈R）是純虛數”的__________條件．
4．“a＝0”是“復數a＋bi（a，b∈R）所對應的點在虛軸上”的_____條件．
例2 已知復數z＝（m2＋m－6）＋（m2＋m－2）i在復平面內所對應的點位于第二象限，求實數m允許的取值范圍．
例3 已知復數z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，試比較它們模的大�。�
思考 任意兩個復數都可以比較大小嗎？
例4 設z∈C，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？
（1）│z│＝2；（2）2＜│z│＜3．
變式：課本P124習題3．3第6題．
五、要點歸納與方法小結
本節課學習了以下內容：
1．復數的幾何意義．
2．復數加減法的幾何意義．
3．數形結合的思想方法．
高中數學教案3
整體設計
教學分析
我們在初中的學習過程中，已了解了整數指數冪的概念和運算性質。從本節開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數。進而推廣到有理數指數，再推廣到實數指數，并將冪的運算性質由整數指數冪推廣到實數指數冪。
教材為了讓學生在學習之外就感受到指數函數的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題。前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數指數冪，也讓學生感受到其中的函數模型，并且還有思想教育價值。后一個問題讓學生體會其中的函數模型的同時，激發學生探究分數指數冪、無理數指數冪的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊。
本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如推廣的思想（指數冪運算律的推廣）、類比的思想、逼近的思想（有理數指數冪逼近無理數指數冪）、數形結合的思想（用指數函數的圖象研究指數函數的性質）等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現數學的應用價值。
根據本節內容的特點，教學中要注意發揮信息技術的力量，盡量利用計算器和計算機創設教學情境，為學生的數學探究與數學思維提供支持。
三維目標
1、通過與初中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質。掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質。培養學生觀察分析、抽象類比的能力。
2、掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學思想。通過運算訓練，養成學生嚴謹治學，一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數學來自生活，數學又服務于生活的哲理。
3、能熟練地運用有理指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力。
4、通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數冪的運算性質。展示函數圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數函數的性質，讓學生體驗數學的簡潔美和統一美。
重點難點
教學重點
�。�1）分數指數冪和根式概念的理解。
�。�2）掌握并運用分數指數冪的運算性質。
�。�3）運用有理指數冪的性質進行化簡、求值。
教學難點
�。�1）分數指數冪及根式概念的理解。
（2）有理指數冪性質的靈活應用。
課時安排
3課時
教學過程
第1課時
作者：路致芳
導入新課
思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發展與進化的，第二個問題我們不太清楚）考古學家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的。教師板書本節課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
思路2.同學們，我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）什么是平方根？什么是立方根？一個數的平方根有幾個，立方根呢？
�。�2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什么呢？
（3）根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？
�。�4）可否用一個式子表達呢？
活動：教師提示，引導學生回憶初中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結論進行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時啟發學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維。
討論結果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如：4的平方根為±2，負數沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.
（2）類比平方根、立方根的定義，一個數的四次方等于a，則這個數叫a的四次方根。一個數的五次方等于a，則這個數叫a的五次方根。一個數的六次方等于a，則這個數叫a的六次方根。
�。�3）類比(2)得到一個數的n次方等于a，則這個數叫a的n次方根。
�。�4）用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。
教師板書n次方根的意義：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數集。
可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出問題
�。�1）你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
�。�2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數是什么數，有什么特點？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什么性質的數，有什么特點？
（3）問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零，結論有一個的，也有兩個的，你能否總結一般規律呢？
�。�4）任何一個數a的偶次方根是否存在呢？
活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數a的n次方根，就是求出的那個數的n次方等于a，及時點撥學生，從數的分類考慮，可以把具體的數寫出來，觀察數的特點，對問題(2)中的結論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路。
討論結果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
�。�2）方根的指數是2,3,4,5,7…特點是有奇數和偶數�？偟膩砜�，這些數包括正數，負數和零。
�。�3）一個數a的奇次方根只有一個，一個正數a的偶次方根有兩個，是互為相反數。0的任何次方根都是0.
�。�4）任何一個數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在，因為沒有一個數的偶次方是一個負數。
類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：
�、佼攏為偶數時，正數a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
②n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
�、圬摂禌]有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字語言可用下面的式子表示：
a為正數：n為奇數，a的n次方根有一個為na，n為偶數，a的n次方根有兩個為±na.
a為負數：n為奇數，a的n次方根只有一個為na，n為偶數，a的n次方根不存在。
零的n次方根為零，記為n0=0.
可以看出數的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例。
思考
根據n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況？
活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握，即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現在我們給式子na一個名稱——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開方數，n叫做根指數。
如3-27中，3叫根指數，-27叫被開方數。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論。教師點撥，注意歸納整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根據n次方根的意義，可得：(na)n=a.
通過探究得到：n為奇數，nan=a.
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
因此我們得到n次方根的運算性質：
�、�(na)n=a.先開方，再乘方（同次），結果為被開方數。
�、趎為奇數，nan=a.先奇次乘方，再開方（同次），結果為被開方數。
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方（同次），結果為被開方數的絕對值。
應用示例
思路1
例求下列各式的值：
�。�1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。
活動：求某些式子的值，首先考慮的應是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個題目仔細分析。觀察學生的解題情況，讓學生展示結果，抓住學生在解題過程中出現的問題并對癥下藥。求下列各式的值實際上是求數的方根，可按方根的運算性質來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數的符號定準，然后看根指數是奇數還是偶數，如果是奇數，無需考慮符號，如果是偶數，開方的結果必須是非負數。
解：(1)3(-8)3=-8;
�。�2）(-10)2=10;
�。�3)4(3-π）4=π-3;
�。�4）(a-b)2=a-b(a>b)。
點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導致問題出現的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會用，活用。
變式訓練
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，
(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，
(3)4(3a-3)4=
點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。
思路2
例1下列各式中正確的是（）
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質，應首先考慮根據方根的意義和運算性質來解，既要考慮被開方數，又要考慮根指數，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質，當n為偶數時，應先寫nan=|a|，故A項錯。
(2)6(-2)2=3-2，本質上與上題相同，是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32，故B項錯。
(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。
(4)D項是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確。所以答案選D.
答案：D
點評：本題由于考查n次方根的運算性質與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心。
例2 3+22+3-22=__________.
活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節無關，但仔細一想，我們學習的內容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關鍵，教師提示，引導學生解題的思路。
解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，
3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，
所以3+22+3-22=22.
答案：22
點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式。
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消。同時借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。
另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，
兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解。
變式訓練
若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。
解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，
即a-1≥0，
所以a≥1.
點評：利用方根的運算性質轉化為去絕對值符號，是解題的關鍵。
知能訓練
�。ń處熡枚嗝襟w顯示在屏幕上）
1、以下說法正確的是（）
A.正數的n次方根是一個正數
B.負數的n次方根是一個負數
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數集）
答案：C
2、化簡下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、計算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恒等式，為什么？請舉例說明。
活動：組織學生結合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。
通過歸納，得出問題結果，對a是正數和零，n為偶數時，n為奇數時討論一下。再對a是負數，n為偶數時，n為奇數時討論一下，就可得到相應的結論。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數或偶數，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a，|a|，當n為奇數，當n為偶數。
當n為奇數時，a∈R，nan=a恒成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
當n為偶數時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，
即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。
點評：實質上是對n次方根的概念、性質以及運算性質的深刻理解。
課堂小結
學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節課的學習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數，n叫根指數。
�。�1）當n為偶數時，a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
(2)n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
�。�3）負數沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握兩個公式：n為奇數時，(na)n=a，n為偶數時，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
作業
課本習題2.1A組1.
補充作業：
1、化簡下列各式：
(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.
解：(1)681=634=332=39;
(2)15-32=-1525=-32;
(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.
2、若5
解析：因為5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，
不難看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
設計感想
學生已經學習了數的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節課由于方根和根式的概念和性質難以理解，在引入根式的概念時，要結合已學內容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數和偶數兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結合具體例子講解，因此設計了大量的類比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要用多媒體信息技術服務教學。
第2課時
作者：郝云靜
導入新課
思路1.碳14測年法。原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14，并與氧結合成二氧化碳后進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平。而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14，其組織內的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失。對于任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經過一定的時間，變為原來的一半）。引出本節課題：指數與指數冪的運算之分數指數冪。
思路2.同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那么整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的。這就是本節的主講內容，教師板書本節課題——指數與指數冪的運算之分數指數冪。
推進新課
新知探究
提出問題
�。�1）整數指數冪的運算性質是什么？
�。�2）觀察以下式子，并總結出規律：a>0，
①；
②a8=(a4)2=a4=，；
�、�4a12=4(a3)4=a3=；
④2a10=2(a5)2=a5= 。
（3）利用(2)的規律，你能表示下列式子嗎？
，，，(x>0，m，n∈正整數集，且n>1)。
�。�4）你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？
�。�5）你能推廣到一般的情形嗎？
活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數之間的關系，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比(2)的規律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示。
討論結果：(1)整數指數冪的運算性質：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無意義；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
�。�2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實質上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結果的a的指數是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質沒變。
根據4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數作為指數的形式（分數指數冪形式）。
�。�3）利用(2)的規律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的。
（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
綜上所述，我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：
規定：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
提出問題
（1）負整數指數冪的意義是怎樣規定的？
（2）你能得出負分數指數冪的意義嗎？
�。�3）你認為應怎樣規定零的分數指數冪的意義？
（4）綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？
（5）分數指數冪的意義中，為什么規定a>0，去掉這個規定會產生什么樣的后果？
�。�6）既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質是否也適用于有理數指數冪呢？
活動：學生回想初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明a>0的必要性，教師及時作出評價。
討論結果：(1)負整數指數冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
�。�2）既然負整數指數冪的意義是這樣規定的，類比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義。
規定：正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
�。�3）規定：零的分數指數冪的意義是：零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。
�。�4）教師板書分數指數冪的意義。分數指數冪的意義就是：
正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。
�。�5）若沒有a>0這個條件會怎樣呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現了截然不同的結果，這只說明分數指數冪在底數小于零時是無意義的。因此在把根式化成分數指數時，切記要使底數大于零，如無a>0的條件，比如式子3a2=，同時負數開奇次方是有意義的，負數開奇次方時，應把負號移到根式的外邊，然后再按規定化成分數指數冪，也就是說，負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數，而不是負數，負數只是出現在指數上。
�。�6）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。
有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質：
�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
�、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我們利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質可以解決一些問題，來看下面的例題。
應用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質計算出數值或化成最簡根式，根據題目要求，把底數寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數冪的運算性質可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來。
解：(1) =22=4;
�。�2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
�。�4）=23-3=278.
點評：本例主要考查冪值運算，要按規定來解。在進行冪值運算時，要首先考慮轉化為指數運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.
例2用分數指數冪的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活動：學生觀察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算，根式化為分數指數冪時，要由里往外依次進行，把握好運算性質和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算。對于計算的結果，不強求統一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分數指數冪的形式來表示，但結果不能既有分數指數又有根式，也不能既有分母又有負指數。
例3計算下列各式（式中字母都是正數）。
（1）；
（2）。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內的，整數冪的運算性質及運算規律擴充到分數指數冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉后可以簡化步驟。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
（2）=m2n-3=m2n3.
點評：分數指數冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分數指數冪，就可把根式轉化成分數指數冪的形式，用分數指數冪的運算法則進行運算了。
本例主要是指數冪的運算法則的綜合考查和應用。
變式訓練
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4計算下列各式：
�。�1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底。利用分數指數冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數指數冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算，最后寫出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能訓練
課本本節練習1,2,3
【補充練習】
教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發，對做得好的同學給予表揚鼓勵。
1、(1)下列運算中，正確的是（）
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
�。�2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是（）
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
�。�3）(34a6)2?(43a6)2等于（）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
�。�4）把根式-25(a-b)-2改寫成分數指數冪的形式為（）
A. B.
C. D.
�。�5）化簡的結果是（）
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
（2）設5x=4,5y=2，則52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x 答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3、解：。 因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因為x 所以原式= =12-6-63=-33. 拓展提升 1、化簡：。 活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數之間的關系可以得到解題思路，應對原式進行因式分解，根據本題的特點，注意到： x-1= -13=； x+1= +13=； 。 構建解題思路教師適時啟發提示。 解： = = = = 。 點撥：解這類題目，要注意運用以下公式， =a-b， =a± +b， =a±b. 2、已知，探究下列各式的值的求法。 (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。 解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7; �。�2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47; �。�3）由于， 所以有=a+a-1+1=8. 點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。 課堂小結 活動：教師，本節課同學們有哪些收獲？請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流。同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點： �。�1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。 �。�2）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。 �。�3）有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質： �、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)， ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)， �、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。 （4）說明兩點： �、俜謹抵笖祪绲囊饬x是一種規定，我們前面所舉的例子只表明這種規定的合理性，其中沒有推出關系。 �、谡麛抵笖祪绲倪\算性質對任意的有理數指數冪也同樣適用。因而分數指數冪與根式可以互化，也可以利用=am來計算。 作業 課本習題2.1A組2,4. 設計感想 本節課是分數指數冪的意義的引出及應用，分數指數是指數概念的又一次擴充，要讓學生反復理解分數指數冪的意義，教學中可以通過根式與分數指數冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務。 第3課時 作者：鄭芳鳴 導入新課 思路1.同學們，既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數，這樣指數就推廣到有理數，那么它是否也和數的推廣一樣，到底有沒有無理數指數冪呢？回顧數的擴充過程，自然數到整數，整數到分數（有理數），有理數到實數。并且知道，在有理數到實數的擴充過程中，增添的數是無理數。對無理數指數冪，也是這樣擴充而來。既然如此，我們這節課的主要內容是：教師板書本堂課的課題〔指數與指數冪的運算(3)〕之無理數指數冪。 思路2.同學們，在初中我們學習了函數的知識，對函數有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發展，社會的進步，我們還要學習許多函數，其中就有指數函數，為了學習指數函數的知識，我們必須學習實數指數冪的運算性質，為此，我們必須把指數冪從有理數指數冪擴充到實數指數冪，因此我們本節課學習：指數與指數冪的運算(3)之無理數指數冪，教師板書本節課的課題。 推進新課 新知探究 提出問題 （1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？ （2）多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發現什么樣的規律？ 2的過剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 的近似值 2的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … �。�3）你能給上述思想起個名字嗎？ �。�4）一個正數的無理數次冪到底是一個什么性質的數呢？如，根據你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？ （5）借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎？ 活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內容： 問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。 問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關聯。 問題(3)上述方法實際上是無限接近，最后是逼近。 問題(4)對問題給予大膽猜測，從數軸的觀點加以解釋。 問題(5)在(3)(4)的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。 討論結果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數都大于2，稱2的過剩近似值。 （2）第一個表：從大于2的方向逼近2時，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。 第二個表：從小于2的方向逼近2時，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。 從另一角度來看這個問題，在數軸上近似地表示這些點，數軸上的數字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以說從兩個方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數指數冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數指數冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規律變化的結果，事實上表示這些數的點從兩個方向向表示的點靠近，但這個點一定在數軸上，由此我們可得到的結論是一定是一個實數，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5. 充分表明是一個實數。 （3）逼近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識。 �。�4）根據(2)(3)我們可以推斷是一個實數，猜測一個正數的無理數次冪是一個實數。 �。�5）無理數指數冪的意義： 一般地，無理數指數冪aα（a>0，α是無理數）是一個確定的實數。 也就是說無理數可以作為指數，并且它的結果是一個實數，這樣指數概念又一次得到推廣，在數的擴充過程中，我們知道有理數和無理數統稱為實數。我們規定了無理數指數冪的意義，知道它是一個確定的實數，結合前面的有理數指數冪，那么，指數冪就從有理數指數冪擴充到實數指數冪。 提出問題 �。�1）為什么在規定無理數指數冪的意義時，必須規定底數是正數？ �。�2）無理數指數冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數指數冪的運算法則相通呢？ �。�3）你能給出實數指數冪的運算法則嗎？ 活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納。 對問題(1)回顧我們學習分數指數冪的意義時對底數的規定，舉例說明。 對問題（2)結合有理數指數冪的運算法則，既然無理數指數冪aα(a>0，α是無理數）是一個確定的實數，那么無理數指數冪的運算法則應當與有理數指數冪的運算法則類似，并且相通。 對問題(3)有了有理數指數冪的運算法則和無理數指數冪的運算法則，實數的運算法則自然就得到了。 討論結果：(1)底數大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規定了底數是正數后，無理數指數冪aα是一個確定的實數，就不會再造成混亂。 �。�2）因為無理數指數冪是一個確定的實數，所以能進行指數的運算，也能進行冪的運算，有理數指數冪的運算性質，同樣也適用于無理數指數冪。類比有理數指數冪的運算性質可以得到無理數指數冪的運算法則： ①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是無理數）。 �、冢╝r)s=ars(a>0，r，s都是無理數）。 �、郏╝?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數）。 （3）指數冪擴充到實數后，指數冪的運算性質也就推廣到了實數指數冪。 實數指數冪的運算性質： 對任意的實數r，s，均有下面的運算性質： �、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 �、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 �、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 應用示例 例1利用函數計算器計算。（精確到0.001） (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。 活動：教師教會學生利用函數計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數，算出數值，對于(1)，可先按底數0.3，再按xy鍵，再按冪指數2.1，最后按=，即可求得它的值； 對于(2)，先按底數3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可； 對于(3)，先按底數3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可； 對于(4)，這種無理指數冪，可先按底數3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵。有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。 學生可以相互交流，挖掘計算器的用途。 解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705. 點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現代技術的威力，逐步把自己融入現代信息社會；用四舍五入法求近似值，若保留小數點后n位，只需看第(n+1)位能否進位即可。 例2求值或化簡。 (1)a-4b23ab2(a>0，b>0)； �。�2）(a>0，b>0)； (3)5-26+7-43-6-42. 活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數則化為常數，若不能化為常數則應使所化式子達到最簡，對既有分數指數冪又有根式的式子，應該把根式統一化為分數指數冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數指數冪，要緊扣分數指數冪的意義和運算性質，對(2)既有分數指數冪又有根式，應當統一起來，化為分數指數冪，對(3)有多重根號的式子，應先去根號，這里是二次根式，被開方數應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學生作及時的評價，注意總結解題的方法和規律。 解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。 點評：根式的運算常�；蓛绲倪\算進行，計算結果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示。 【教學目標】 1、知識與技能 （1）理解等差數列的定義，會應用定義判斷一個數列是否是等差數列： �。�2）賬務等差數列的通項公式及其推導過程： （3）會應用等差數列通項公式解決簡單問題。 2、過程與方法 在定義的理解和通項公式的推導、應用過程中，培養學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數與方程的思想。 3、情感、態度與價值觀 通過教師指導下學生的自主學習、相互交流和探索活動，培養學生主動探索、用于發現的求知精神，激發學生的學習興趣，讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學生養成細心觀察、認真分析、善于總結的'良好習慣。 【教學重點】 �、俚炔顢盗械母拍�； �、诘炔顢盗械耐椆� 【教學難點】 �、倮斫獾炔顢盗小暗炔睢钡奶攸c及通項公式的含義； ②等差數列的通項公式的推導過程。 【學情分析】 我所教學的學生是我校高一(7)班的學生（平行班學生），經過一年的高中數學學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，他們的智力發展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發，注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理發展特點，從而促進思維能力的進一步發展。 【設計思路】 1、教法 �、賳l引導法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。 �、诜纸M討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。 �、壑v練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。 2、學法 引導學生首先從三個現實問題（數數問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數組特點并抽象出等差數列的概念；接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式；可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。 【教學過程】 一、創設情境，引入新課 1、從0開始，將5的倍數按從小到大的順序排列，得到的數列是什么？ 2、水庫管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位（單位：m）組成一個什么數列？ 3、我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×存期）。按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末的本利和（單位：元）組成一個什么數列？ 教師：以上三個問題中的數蘊涵著三列數。 學生： ①0，5，10，15，20，25，…。 �、�18，15.5，13，10.5，8，5.5. �、�10072，10144，10216，10288，10360. (設置意圖：從實例引入，實質是給出了等差數列的現實背景，目的是讓學生感受到等差數列是現實生活中大量存在的數學模型。通過分析，由特殊到一般，激發學生學習探究知識的自主性，培養學生的歸納能力。 二、觀察歸納，形成定義 �、�0，5，10，15，20，25，…。 �、�18，15.5，13，10.5，8，5.5. �、�10072，10144，10216，10288，10360. 思考1上述數列有什么共同特點？ 思考2根據上數列的共同特點，你能給出等差數列的一般定義嗎？ 思考3你能將上述的文字語言轉換成數學符號語言嗎？ 教師：引導學生思考這三列數具有的共同特征，然后讓學生抓住數列的特征，歸納得出等差數列概念。 學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數和后數的差符合一定規律；這些數都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定。 教師引導歸納出：等差數列的定義；另外，教師引導學生從數學符號角度理解等差數列的定義。 �。ㄔO計意圖：通過對一定數量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性；使學生體會到等差數列的規律和共同特點；一開始抓�。骸皬牡诙椘�，每一項與它的前一項的差為同一常數”，落實對等差數列概念的準確表達。） 三、舉一反三，鞏固定義 1、判定下列數列是否為等差數列？若是，指出公差d. (1)1,1,1,1,1; (2)1,0,1,0,1; (3)2,1,0,-1,-2; (4)4,7,10,13,16. 教師出示題目，學生思考回答。教師訂正并強調求公差應注意的問題。 注意：公差d是每一項（第2項起）與它的前一項的差，防止把被減數與減數弄顛倒，而且公差可以是正數，負數，也可以為0. �。ㄔO計意圖：強化學生對等差數列“等差”特征的理解和應用）。 2、思考4:設數列{an}的通項公式為an=3n+1，該數列是等差數列嗎？為什么？ �。ㄔO計意圖：強化等差數列的證明定義法） 四、利用定義，導出通項 1、已知等差數列：8，5，2，…，求第200項？ 2、已知一個等差數列{an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢？ 教師出示問題，放手讓學生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示。根據學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導，總結推導方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法；讓學生初步嘗試處理數列問題的常用方法。 （設計意圖：引導學生觀察、歸納、猜想，培養學生合理的推理能力。學生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創新的品質，激發學生的創造意識。鼓勵學生自主解答，培養學生運算能力） 五、應用通項，解決問題 1、判斷100是不是等差數列2，9，16，…的項？如果是，是第幾項？ 2、在等差數列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an. 3、求等差數列3,7,11，…的第4項和第10項 教師：給出問題，讓學生自己操練，教師巡視學生答題情況。 學生：教師叫學生代表總結此類題型的解題思路，教師補充：已知等差數列的首項和公差就可以求出其通項公式 �。ㄔO計意圖：主要是熟悉公式，使學生從中體會公式與方程之間的聯系。初步認識“基本量法”求解等差數列問題。） 六、反饋練習：教材13頁練習1 七、歸納總結： 1、一個定義： 等差數列的定義及定義表達式 2、一個公式： 等差數列的通項公式 3、二個應用： 定義和通項公式的應用 教師：讓學生思考整理，找幾個代表發言，最后教師給出補充 �。ㄔO計意圖：引導學生去聯想本節課所涉及到的各個方面，溝通它們之間的聯系，使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念。） 【設計反思】 本設計從生活中的數列模型導入，有助于發揮學生學習的主動性，增強學生學習數列的興趣。在探索的過程中，學生通過分析、觀察，歸納出等差數列定義，然后由定義導出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力。本節課教學采用啟發方法，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率。 一、教材分析 1、教材地位和作用：二面角是我們日常生活中經常見到的、很普通的一個空間圖形。“二面角”是人教版《數學》第二冊（下B）中9.7的內容。它是在學生學過兩條異面直線所成的角、直線和平面所成角、又要重點研究的一種空間的角，它是為了研究兩個平面的垂直而提出的一個概念，也是學生進一步研究多面體的基礎。因此，它起著承上啟下的作用。通過本節課的學習還對學生系統地掌握直線和平面的知識乃至于創新能力的培養都具有十分重要的意義。 2、教學目標: 知識目標：（1）正確理解二面角及其平面角的概念，并能初步運用它們解決實際問題。 �。�2）進一步培養學生把空間問題轉化為平面問題的化歸思想。 能力目標：(1)突出對類比、直覺、發散等探索性思維的培養，從而提高學生的創新能力。（2）通過對圖形的觀察、分析、比較和操作來強化學生的動手操作能力。 德育目標：(1)使學生認識到數學知識來自實踐，并服務于實踐，增強學生應用數學的意識(2)通過揭示線線、線面、面面之間的內在聯系，進一步培養學生聯系的辯證唯物主義觀點。 情感目標：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，拉近學生之間、師生之間的情感距離。 3、重點、難點： 重點：“二面角”和“二面角的平面角”的概念 難點：“二面角的平面角”概念的形成過程 二、教法分析 1、教學方法：在引入課題時，我采用多媒體、實物演示法，在新課探究中采用問題啟導、活動探究和類比發現法，在形成技能時以訓練法、探究研討法為主。 �。病⒔虒W控制與調節的措施：本節課由于充分運用了多媒體和實物教具，預計學生對二面角及二面角平面角的概念能夠理解，根據學生及教學的實際情況，估計二面角的具體求法一節課內完成有一定的困難，所以將其放在下節課。 3、教學手段：教學手段的現代化有利于提高課堂效益，有利于創新人才的培養，根據本節課的教學需要，確定利用多媒體課件來輔助教學；此外，為加強直觀教學，還要預先做好一些二面角的模型。 三、學法指導 1、樂學：在整個學習過程中學生要保持強烈的好奇心和求知欲，不斷強化自己的創新意識，全身心地投入到學習中去，成為學習的主人。 2、學會：在掌握基礎知識的同時，學生要注意領會化歸、類比聯想等數學思想方法的運用，學會建立完善的認知結構。 3、會學：通過自己親身參與，學生要領會復習類比和深入研究這兩種知識創新的方法，從而既學到知識，又學會創新，既能解決問題，更能發現問題。 四、教學過程 心理學研究表明，當學生明確數學概念的學習目的和意義時，就會對概念的學習產生濃厚的興趣。創設問題情境，激發了學生的創新意識，營造了創新思維的氛圍。 �。ㄒ唬�、二面角 1、揭示概念產生背景。 問題情境1、在平面幾何中“角”是怎樣定義的？ 問題情境2、在立體幾何中我們還學習了哪些角？ 問題情境3、運用多媒體和身邊的實例，展示我們遇到的另一種空間的角——二面角（板書課題）。 通過這三個問題，打開了學生的原有認知結構，為知識的創新做好了準備；同時也讓學生領會到，二面角這一概念的產生是因為它與我們的生活密不可分，激發學生的求知欲。2、展現概念形成過程。 問題情境4、那么，應該如何定義二面角呢？ 創設這個問題情境，為學生創新思維的展開提供了空間。引導學生回憶平面幾何中“角”這一概念的引入過程。教師應注意多讓學生說，對于學生的創新意識和創新結果，教師要給與積極的評價。 問題情境5、同學們能舉出一些二面角的實例嗎？通過實際運用，可以促使學生更加深刻地理解概念。 �。ǘ⒍娼堑钠矫娼� 1、揭示概念產生背景。平面幾何中可以把角理解為是一個旋轉量，同樣一個二面角也可以看作是一個半平面以其棱為軸旋轉而成的，也是一個旋轉量。說明二面角不僅有大小，而且其大小是唯一確定的。平面 與平面的位置關系，總的說來只有相交或平行兩種情況，為了對相交平面的相互位置作進一步的探討，我們有必要來研究二面角的度量問題。 問題情境6、二面角的大小應該怎么度量？能否轉化為平面角來處理？這樣就從度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念產生的背景。 2、展現概念形成過程 �。�1）、類比。教師啟發，尋找類比聯想的對象。 問題情境7、我們以前碰到過類似的問題嗎？引導學生回憶前面所學過的兩種空間角的定義，電腦演示以提高效率。 問題情境8、兩定義的共同點是什么？生：空間角總是轉化為平面的角，并且這個角是唯一確定的。 問題情境9、這個平面的角的頂點及兩邊是如何確定的？ （2）、提出猜想：二面角的大小也可通過平面的角來定義。對學生提出的猜想，教師應該給予充分的肯定，以培養他們大膽猜想的意識和習慣，這對強化他們的創新意識大有幫助。 問題情境10、那么，這個角的頂點及兩邊應如何確定呢？生：頂點放在棱上，兩邊分別放在兩個面內。這也是學生直覺思維的結果。 �。�3）、探索實驗。通過實驗，激發了學生的學習興趣，培養了學生的動手操作能力。 �。�4）、繼續探索，得到定義。 問題情境11、那么，怎樣使這個角的大小唯一確定呢？師生共同探討后發現，角的頂點確定后，要使此角的大小唯一確定，只須使它的兩條邊在平面內唯一確定，聯想到平面內過直線上一點的垂線的唯一性，由此發現二面角的大小的一種描述方法。 �。�5）、自我驗證：要求學生閱讀課本上的定義。并說明定義的合理性，教師作適當的引導，并加以理論證明。 �。ㄈ⒍娼羌捌淦矫娼堑漠嫹� 主要分為直立式和平臥式兩種，用電腦《幾何畫板》作圖。 �。ㄋ模�、范例分析 為鞏固學生所學知識，由于時間的關系設置了一道例題。來源于實際生活，不但培養了學生分析問題和解決問題的能力，也讓學生領會到數學概念來自生活實際，并服務于生活實際，從而增強他們應用數學的意識。 例：一張邊長為10厘米的正三角形紙片ABc，以它的高AD為折痕，折成一個1200二面角，求此時B、c兩點間的距離。 分析：涉及二面角的計算問題，關鍵是找出（或作出）該二面角的平面角。引導學生充分利用已知圖形的性質，最后發現可由定義找出該二面角的平面角�？勺寣W生先做，為調動學生的積極性，并增加學生的參與感，活躍課堂的氣氛，教師可給學生板演的機會。教師講評時強調解題規范即必須證明∠BDc是二面角B—AD—c的平面角。 變式訓練：圖中共有幾個二面角？能求出它們的大小嗎？根據課堂實際情況，本題的變式訓練也可作為課后思考題。 題后反思：（1）解題過程中必須證明∠BDc是二面角B—AD—c的平面角。 �。�2）求二面角的平面角的方法是：先找（或作）——后證——再解（三角形） �。ㄎ澹⒕毩暋⑿〗Y與作業 練習：習題９．７的第３題 小結在復習完二面角及其平面角的概念后，要求學生對空間中三種角加以比較、歸納，以促成學生建立起空間中角這一概念系統。同時要求學生對本節課的學習方法進行總結，領會復習類比和深入研究這兩種知識創新的方法。 作業：習題９．７的第４題 思考題：見例題 五、板書設計（見課件） 以上是我對《二面角》授課的初步設想，不足之處，懇請大家批評指正，謝謝！ 一.教材分析： 集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現代數學的一個重要的基礎，一方面，許多重要的數學分支，都建立在集合理論的基礎上。另一方面，集合論及其所反映的數學思想，在越來越廣泛的領域種得到應用。 二.目標分析： 教學重點.難點 重點：集合的含義與表示方法. 難點：表示法的恰當選擇. 教學目標 l.知識與技能 (1)通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系; (2)知道常用數集及其專用記號; (3)了解集合中元素的確定性.互異性.無序性; (4)會用集合語言表示有關數學對象; 2.過程與方法 (1)讓學生經歷從集合實例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義. (2)讓學生歸納整理本節所學知識. 3.情感.態度與價值觀 使學生感受到學習集合的必要性，增強學習的積極性. 三.教法分析 1.教學方法：學生通過閱讀教材，自主學習.思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節課的教學目標.2.教學手段：在教學中使用投影儀來輔助教學. 四.過程分析 (一)創設情景，揭示課題 1.教師首先提出問題：(1)介紹自己的家庭、原來就讀的學校、現在的班級。 (2)問題：像“家庭”、“學�！薄ⅰ鞍嗉墶钡�，有什么共同特征? 引導學生互相交流.與此同時，教師對學生的活動給予評價. 2.活動：(1)列舉生活中的集合的例子;(2)分析、概括各實例的共同特征 由此引出這節要學的內容。 設計意圖:既激發了學生濃厚的學習興趣，又為新知作好鋪墊 (二)研探新知，建構概念 1.教師利用多媒體設備向學生投影出下面7個實例： (1)1—20以內的所有質數;(2)我國古代的四大發明; (3)所有的安理會常任理事國; (4)所有的正方形; (5)海南省在20xx年9月之前建成的所有立交橋; (6)到一個角的兩邊距離相等的所有的點; (7)國興中學20xx年9月入學的高一學生的全體. 2.教師組織學生分組討論：這7個實例的共同特征是什么? 3.每個小組選出——位同學發表本組的討論結果，在此基礎上，師生共同概括出7個實例的特征，并給出集合的含義.一般地，指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集).集合中的每個對象叫作這個集合的元素. 4.教師指出：集合常用大寫字母A，B，C，D，?表示，元素常用小寫字母a,b,c,d?表示. 設計意圖:通過實例讓學生感受集合的概念，激發學習的興趣，培養學生樂于求索的精神 (三)質疑答辯，發展思維 1.教師引導學生閱讀教材中的相關內容，思考：集合中元素有什么特點?并注意個別輔導，解答學生疑難.使學生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無序性.只要構成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合相等. 2.教師組織引導學生思考以下問題： 判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由： (1)大于3小于11的偶數;(2)我國的小河流.讓學生充分發表自己的建解. 3.讓學生自己舉出一些能夠構成集合的例子以及不能構成集合的例子，并說明理由.教師對學生的學習活動給予及時的評價. 4.教師提出問題，讓學生思考 b是(1)如果用A表示高—(3)班全體學生組成的集合，用a表示高一(3)班的一位同學， 高一(4)班的一位同學，那么a,b與集合A分別有什么關系?由此引導學生得出元素與集合的關系有兩種：屬于和不屬于. 如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a?A. 如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A. (2)如果用A表示“所有的安理會常任理事國”組成的集合，則中國.日本與集合A的關系分別是什么?請用數學符號分別表示. (3)讓學生完成教材第6頁練習第1題. 5.教師引導學生回憶數集擴充過程，然后閱讀教材中的相交內容，寫出常用數集的記號.并讓學生完成習題1.1A組第1題. 6.教師引導學生閱讀教材中的相關內容，并思考.討論下列問題： (1)要表示一個集合共有幾種方式? (2)試比較自然語言.列舉法和描述法在表示集合時，各自的特點?適用的對象是什么? (3)如何根據問題選擇適當的集合表示法? 使學生弄清楚三種表示方式的優缺點和體會它們存在的必要性和適用對象。 設計意圖:明確集合元素的三大特性，使學生弄清楚三種表示方式的優缺點，從而突破難點。 (四)鞏固深化，反饋矯正 教師投影學習： (1)用自然語言描述集合{1，3，5，7，9}; (2)用例舉法表示集合A?{x?N|1?x?8} (3)試選擇適當的方法表示下列集合：教材第6頁練習第2題. 設計意圖:使學生及時鞏固所學新知，體會三種表示方式存在的必要性和適用對象 (五)歸納小結，布置作業 小結：在師生互動中，讓學生了解或體會下例問題： 1.本節課我們學習了哪些知識內容? 2.你認為學習集合有什么意義? 3.選擇集合的表示法時應注意些什么? 設計意圖:通過回顧，對概念的發生與發展過程有清晰的認識，回顧集合元素的三大特性及集合的三種表示方式。 作業：1.課后書面作業：第13頁習題1.1A組第4題. 2.元素與集合的關系有多少種?如何表示?類似地集合與集合間的關系又有多少種 呢?如何表示?請同學們通過預習教材. 五.板書分析 教學目標： 1。了解反函數的概念，弄清原函數與反函數的定義域和值域的關系。 2。會求一些簡單函數的反函數。 3。在嘗試、探索求反函數的過程中，深化對概念的認識，總結出求反函數的一般步驟，加深對函數與方程、數形結合以及由特殊到一般等數學思想方法的認識。 4。進一步完善學生思維的深刻性，培養學生的逆向思維能力，用辯證的觀點分析問題，培養抽象、概括的能力。 教學重點： 求反函數的方法。 教學難點： 反函數的概念。 教學過程： 教學活動 設計意圖一、創設情境，引入新課 1。復習提問 �、俸瘮档母拍� ②y=f（x）中各變量的意義 2。同學們在物理課學過勻速直線運動的位移和時間的函數關系，即S=vt和t=（其中速度v是常量），在S=vt 中位移S是時間t的函數；在t=中，時間t是位移S的函數。在這種情況下，我們說t=是函數S=vt的反函數。什么是反函數，如何求反函數，就是本節課學習的內容。 3。板書課題 由實際問題引入新課，激發了學生學習興趣，展示了教學目標。這樣既可以撥去"反函數"這一概念的神秘面紗，也可使學生知道學習這一概念的必要性。 二、實例分析，組織探究 1。問題組一： �。ㄓ猛队敖o出函數與；與（）的圖象） �。�1）這兩組函數的圖像有什么關系？這兩組函數有什么關系？（生答：與的圖像關于直線y=x對稱；與（）的圖象也關于直線y=x對稱。是求一個數立方的運算，而是求一個數立方根的運算，它們互為逆運算。同樣，與（）也互為逆運算。） �。�2）由，已知y能否求x？ �。�3）是否是一個函數？它與有何關系？ �。�4）與有何聯系？ 2。問題組二： �。�1）函數y=2x 1（x是自變量）與函數x=2y 1（y是自變量）是否是同一函數？ （2）函數（x是自變量）與函數x=2y 1（y是自變量）是否是同一函數？ �。�3）函數 （）的定義域與函數（）的值域有什么關系？ 3。滲透反函數的概念。 �。ń處燑c明這樣的函數即互為反函數，然后師生共同探究其特點） 從學生熟知的函數出發，抽象出反函數的概念，符合學生的認知特點，有利于培養學生抽象、概括的能力。 通過這兩組問題，為反函數概念的引出做了鋪墊，利用舊知，引出新識，在"最近發展區"設計問題，使學生對反函數有一個直觀的粗略印象，為進一步抽象反函數的概念奠定基礎。 三、師生互動，歸納定義 1。（根據上述實例，教師與學生共同歸納出反函數的定義） 函數y=f（x）（x∈A） 中，設它的值域為 C。我們根據這個函數中x，y的關系，用 y 把 x 表示出來，得到 x = j （y） 。如果對于y在C中的任何一個值，通過x = j （y），x在A中都有的值和它對應，那么， x = j （y）就表示y是自變量，x是自變量 y 的函數。這樣的函數 x = j （y）（y ∈C）叫做函數y=f（x）（x∈A）的反函數。記作： �？紤]到"用 x表示自變量， y表示函數"的習慣，將中的x與y對調寫成。 2。引導分析： 1）反函數也是函數； 2）對應法則為互逆運算； 3）定義中的"如果"意味著對于一個任意的函數y=f（x）來說不一定有反函數； 4）函數y=f（x）的定義域、值域分別是函數x=f（y）的值域、定義域； 5）函數y=f（x）與x=f（y）互為反函數； 6）要理解好符號f； 7）交換變量x、y的原因。 3。兩次轉換x、y的對應關系 �。ㄔ瘮抵械淖宰兞縳與反函數中的函數值y 是等價的，原函數中的函數值y與反函數中的自變量x是等價的） 4。函數與其反函數的關系 函數y=f（x） 函數 定義域 A C 值 域 C A 四、應用解題，總結步驟 1。（投影例題） 【例1】求下列函數的反函數 �。�1）y=3x—1 （2）y=x 1 【例2】求函數的反函數。 �。ń處煱鍟}過程后，由學生總結求反函數步驟。） 2。總結求函數反函數的步驟： 1° 由y=f（x）反解出x=f（y）。 2° 把x=f（y）中 x與y互換得。 3° 寫出反函數的定義域。 �。ê営洖椋悍唇�、互換、寫出反函數的定義域）【例3】（1）有沒有反函數？ （2）的反函數是________。 （3）（x<0）的反函數是__________。 在上述探究的基礎上，揭示反函數的定義，學生有針對性地體會定義的特點，進而對定義有更深刻的認識，與自己的預設產生矛盾沖突，體會反函數。在剖析定義的過程中，讓學生體會函數與方程、一般到特殊的數學思想，并對數學的符號語言有更好的把握。 通過動畫演示，表格對照，使學生對反函數定義從感性認識上升到理性認識，從而消化理解。 通過對具體例題的講解分析，在解題的步驟上和方法上為學生起示范作用，并及時歸納總結，培養學生分析、思考的習慣，以及歸納總結的能力。 題目的設計遵循了從了解到理解，從掌握到應用的不同層次要求，由淺入深，循序漸進。并體現了對定義的反思理解。學生思考練習，師生共同分析糾正。 五、鞏固強化，評價反饋 1。已知函數 y=f（x）存在反函數，求它的反函數 y =f（ x） �。�1）y=—2x 3（xR） （2）y=—（xR，且x） （ 3 ） y=（xR，且x） 2。已知函數f（x）=（xR，且x）存在反函數，求f（7）的值。 五、反思小結，再度設疑 本節課主要研究了反函數的定義，以及反函數的求解步驟�；榉春瘮档膬蓚�函數的圖象到底有什么特點呢？為什么具有這樣的特點呢？我們將在下節研究。 �。ㄗ寣W生談一下本節課的學習體會，教師適時點撥） 進一步強化反函數的概念，并能正確求出反函數。反饋學生對知識的掌握情況，評價學生對學習目標的落實程度。具體實踐中可采取同學板演、分組競賽等多種形式調動學生的積極性。"問題是數學的心臟"學生帶著問題走進課堂又帶著新的問題走出課堂。 六、作業 習題2。4 第1題，第2題 進一步鞏固所學的知識。 教學設計說明 "問題是數學的心臟"。一個概念的形成是螺旋式上升的，一般要經過具體到抽象，感性到理性的過程。本節教案通過一個物理學中的具體實例引入反函數，進而又通過若干函數的圖象進一步加以誘導剖析，最終形成概念。 反函數的概念是教學中的難點，原因是其本身較為抽象，經過兩次代換，又采用了抽象的符號。由于沒有一一映射，逆映射等概念的支撐，使學生難以從本質上去把握反函數的概念。為此，我們大膽地使用教材，把互為反函數的兩個函數的圖象關系預先揭示，進而探究原因，尋找規律，程序是從問題出發，研究性質，進而得出概念，這正是數學研究的順序，符合學生認知規律，有助于概念的建立與形成。另外，對概念的剖析以及習題的配備也很精當，通過不同層次的問題，滿足學生多層次需要，起到評價反饋的作用。通過對函數與方程的分析，互逆探索，動畫演示，表格對照、學生討論等多種形式的教學環節，充分調動了學生的探求欲，在探究與剖析的過程中，完善學生思維的深刻性，培養學生的逆向思維。使學生自然成為學習的主人。 兩角差的余弦公式 【使用說明】 1、復習教材P124-P127頁，40分鐘時間完成預習學案 2、有余力的學生可在完成探究案中的部分內容。 【學習目標】 知識與技能：理解兩角差的余弦公式的推導過程及其結構特征并能靈活運用。 過程與方法：應用已學知識和方法思考問題，分析問題，解決問題的能力。 情感態度價值觀：通過公式推導引導學生發現數學規律，培養學生的創新意識和學習數學的興趣。 【重點】通過探索得到兩角差的余弦公式以及公式的靈活運用 【難點】兩角差余弦公式的推導過程 預習自學案 一、知識鏈接 1、寫出的三角函數線： 2、向量，的數量積， ①定義： �、谧鴺诉\算法則： 3、，，那么是否等于呢？ 下面我們就探討兩角差的余弦公式 二、教材導讀 1、、兩角差的余弦公式的推導思路 如圖，建立單位圓O �。�1）利用單位圓上的三角函數線 設 則 又OM=OB+BM =OB+CP =OA_____ +AP_____ = 從而得到兩角差的余弦公式： ____________________________________ （2）利用兩點間距離公式 如圖，角的終邊與單位圓交于A( ) 角的終邊與單位圓交于B( ) 角的終邊與單位圓交于P( ) 點T( ) AB與PT關系如何？ 從而得到兩角差的余弦公式： ____________________________________ （3）利用平面向量的知識 用表示向量， =（，）=（，） 則。 = 設與的夾角為 �、佼敃r: = 從而得出 �、诋敃r顯然此時已經不是向量的夾角，在范圍內，是向量夾角的補角。我們設夾角為，則+ = 此時= 從而得出 2、兩角差的余弦公式 ____________________________ 三、預習檢測 1、利用余弦公式計算的值。 2、怎樣求的值 你的疑惑是什么？ ________________________________________________________ ______________________________________________________ 探究案 例1.利用差角余弦公式求的值。 例2.已知，是第三象限角，求的值。 訓練案 一、基礎訓練題 1、 2、 3、 二、綜合題 教學準備 教學目標 掌握等差數列與等比數列的概念，通項公式與前n項和公式，等差中項與等比中項的概念，并能運用這些知識解決一些基本問題。 教學重難點 掌握等差數列與等比數列的概念，通項公式與前n項和公式，等差中項與等比中項的概念，并能運用這些知識解決一些基本問題。 教學過程 等比數列性質請同學們類比得出。 【方法規律】 1、通項公式與前n項和公式聯系著五個基本量，“知三求二”是一類最基本的運算題。方程觀點是解決這類問題的基本數學思想和方法。 2、判斷一個數列是等差數列或等比數列，常用的方法使用定義。特別地，在判斷三個實數 a,b,c成等差（比)數列時，常用(注：若為等比數列，則a,b,c均不為0） 3、在求等差數列前n項和的最大(小)值時，常用函數的思想和方法加以解決。 【示范舉例】 例1： （1）設等差數列的前n項和為30，前2n項和為100，則前3n項和為。 �。�2）一個等比數列的前三項之和為26，前六項之和為728，則a1=，q=。 例2：四數中前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，首末兩項之和為21，中間兩項之和為18，求此四個數。 例3：項數為奇數的等差數列，奇數項之和為44，偶數項之和為33，求該數列的中間項。 [學習目標] �。�1）會用坐標法及距離公式證明Cα+β； （2）會用替代法、誘導公式、同角三角函數關系式，由Cα+β推導Cα—β、Sα±β、Tα±β，切實理解上述公式間的關系與相互轉化； �。�3）掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用簡單的三角變換，解決求值、化簡三角式、證明三角恒等式等問題。 [學習重點] 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 [學習難點] 余弦和角公式的推導 [知識結構] 1、兩角和的余弦公式是三角函數一章和、差、倍公式系列的基礎。其公式的證明是用坐標法，利用三角函數定義及平面內兩點間的距離公式，把兩角和α+β的余弦，化為單角α、β的三角函數（證明過程見課本） 2、通過下面各組數的值的比較：①cos（30°—90°）與cos30°—cos90°②sin（30°+60°）和sin30°+sin60°。我們應該得出如下結論：一般情況下，cos（α±β）≠cosα±cosβ，sin（α±β）≠sinα±sinβ。但不排除一些特例，如sin（0+α）=sin0+sinα=sinα。 3、當α、β中有一個是的整數倍時，應首選誘導公式進行變形。注意兩角和與差的三角函數是誘導公式等的基礎，而誘導公式是兩角和與差的三角函數的特例。 4、關于公式的正用、逆用及變用 一、課程性質與任務 數學是研究空間形式和數量關系的科學，是科學和技術的基礎，是人類文化的重要組成部分。數學課程是中等職業學校學生必修的一門公共基礎課。本課程的任務是：使學生掌握必要的數學基礎知識，具備必需的相關技能與能力，為學習專業知識、掌握職業技能、繼續學習和終身發展奠定基礎。二、課程教學目標 1.在九年義務教育基礎上，使學生進一步學習并掌握職業崗位和生活中所必要的數學基礎知識。2.培養學生的計算技能、計算工具使用技能和數據處理技能，培養學生的觀察能力、空間想象能力、分析與解決問題能力和數學思維能力。 3.引導學生逐步養成良好的學習習慣、實踐意識、創新意識和實事求是的科學態度，提高學生就業能力與創業能力。三、教學內容結構 本課程的教學內容由基礎模塊、職業模塊和拓展模塊三個部分構成。 1.基礎模塊是各專業學生必修的基礎性內容和應達到的基本要求，教學時數為128學時。2.職業模塊是適應學生學習相關專業需要的限定選修內容，各學校根據實際情況進行選擇和安排教學，教學時數為32~64學時。 3.拓展模塊是滿足學生個性發展和繼續學習需要的任意選修內容，教學時數不做統一規定。四、教學內容與要求 �。ㄒ唬┍敬缶V教學要求用語的表述1.認知要求（分為三個層次） 了解：初步知道知識的含義及其簡單應用。 理解：懂得知識的概念和規律（定義、定理、法則等）以及與其他相關知識的聯系。掌握：能夠應用知識的概念、定義、定理、法則去解決一些問題。2.技能與能力培養要求（分為三項技能與四項能力） 計算技能：根據法則、公式，或按照一定的操作步驟，正確地進行運算求解。計算工具使用技能：正確使用科學型計算器及常用的數學工具軟件。數據處理技能：按要求對數據（數據表格）進行處理并提取有關信息。觀察能力：根據數據趨勢，數量關系或圖形、圖示，描述其規律。 空間想象能力：依據文字、語言描述，或較簡單的幾何體及其組合，想象相應的空間圖形；能夠在基本圖形中找出基本元素及其位置關系，或根據條件畫出圖形。 分析與解決問題能力：能對工作和生活中的簡單數學相關問題，作出分析并運用適當的數學方法予以解決。 數學思維能力：依據所學的數學知識，運用類比、歸納、綜合等方法，對數學及其應用問題能進行有條理的思考、判斷、推理和求解；針對不同的問題（或需求），會選擇合適的模型（模式）。 （二）教學內容與要求1.基礎模塊（128學時）第1單元集合（10學時） 第2單元不等式（8學時） 第3單元函數（12學時） 第4單元指數函數與對數函數（12學時） 第5單元三角函數（18學時） 第6單元數列（10學時） 第7單元平面向量（矢量）（10學時） 第8單元直線和圓的方程（18學時） 第9單元立體幾何（14學時） 第10單元概率與統計初步（16學時） 2.職業模塊 第1單元三角計算及其應用（16學時） 第2單元坐標變換與參數方程（12學時） 第3單元復數及其應用（10學時） = =425a0b0=425. 點評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負指數冪的定義把負指數化成正指數，另一個方法是采用分式的基本性質把負指數化成正指數。 (3)5-26+7-43-6-42 =(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2 =3-2+2-3-2+2=0. 點評：考慮根號里面的數是一個完全平方數，千萬注意方根的性質的運用。 例3已知，n∈正整數集，求(x+1+x2)n的值。 活動：學生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應先化簡，然后再求值，要有預見性，與具有對稱性，它們的積是常數1，為我們解題提供了思路，教師引導學生考慮問題的思路，必要時給予提示。 = 。 這時應看到1+x2=， 這樣先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可。 解：將代入1+x2，得1+x2=， 所以(x+1+x2)n= = = =5. 點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關鍵，要深刻理解這種做法。 知能訓練 課本習題2.1A組3. 利用投影儀投射下列補充練習： 1、化簡：的結果是（） A. B. C. D. 解析：根據本題的特點，注意到它的整體性，特別是指數的規律性，我們可以進行適當的變形。 因為，所以原式的分子分母同乘以。 依次類推，所以。 答案：A 2、計算2790.5+0.1-2+ -3π0+9-0.5+490.5×2-4. 解：原式= =53+100+916-3+13+716=100. 3、計算a+2a-1+a-2a-1(a≥1)。 解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1)。 本題可以繼續向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習。 4、設a>0，，則(x+1+x2)n的值為__________. 解析：1+x2= 。 這樣先算出1+x2，再算出1+x2， 將代入1+x2，得1+x2= 。 所以(x+1+x2)n= = =a. 答案：a 拓展提升 參照我們說明無理數指數冪的意義的過程，請你說明無理數指數冪的意義。 活動：教師引導學生回顧無理數指數冪的意義的過程，利用計算器計算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據這些近似值計算的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意義，學生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結果。 解：3=1.732 050 80…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表。 3的過剩近似值 的過剩近似值 3的不足近似值 的不足近似值 1.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 585 1.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 183 1.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 342 1.732 1 3.322 110 36 1.731 9 3.321 649 849 1.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 2 1.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 923 1.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 838 1.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045 … … … … 我們把用2作底數，3的不足近似值作指數的各個冪排成從小到大的一列數 21.7,21.72,21.731,21.731 9，…， 同樣把用2作底數，3的過剩近似值作指數的各個冪排成從大到小的一列數： 21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數的冪2α會越來越趨近于同一個數，我們把這個數記為， 即21.7<21.73<21.731<21.731 9<…< <…<21.732 1<21.733<21.74<21.8. 也就是說是一個實數，=3.321 997 …也可以這樣解釋： 當3的過剩近似值從大于3的方向逼近3時，23的近似值從大于的方向逼近； 當3的不足近似值從小于3的方向逼近3時，23的近似值從小于的方向逼近。 所以就是一串有理指數冪21.7,21.73,21.731,21.731 9，…，和另一串有理指數冪21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述規律變化的結果，即≈3.321 997. 課堂小結 �。�1）無理指數冪的意義。 一般地，無理數指數冪aα（a>0，α是無理數）是一個確定的實數。 �。�2）實數指數冪的運算性質： 對任意的實數r，s，均有下面的運算性質： �、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 �、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 �、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 （3）逼近的思想，體會無限接近的含義。 作業 課本習題2.1 B組2. 設計感想 無理數指數是指數概念的又一次擴充，教學中要讓學生通過多媒體的演示，理解無理數指數冪的意義，教學中也可以讓學生自己通過實際情況去探索，自己得出結論，加深對概念的理解，本堂課內容較為抽象，又不能進行推理，只能通過多媒體的教學手段，讓學生體會，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習，提高學生理解問題、分析問題的能力。 備課資料 【備用習題】 1、以下各式中成立且結果為最簡根式的是（） A.a?5a3a?10a7=10a4 B.3xy2(xy)2=y?3x2 C.a2bb3aab3=8a7b15 D.(35-125)3=5+125125-235?125 答案：B 2、對于a>0，r，s∈Q，以下運算中正確的是（） A.ar?as=ars B.(ar)s=ars C.abr=ar?bs D.arbs=(ab)r+s 答案：B 3、式子x-2x-1=x-2x-1成立當且僅當（） A.x-2x-1≥0 B.x≠1 C.x<1 D.x≥2 解析：方法一： 要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-1>0，x-2≥0，即x≥2. 若x≥2，則式子x-2x-1=x-2x-1成立。 故選D. 方法二： 對A，式子x-2x-1≥0連式子成立也保證不了，尤其x-2≤0，x-1<0時式子不成立。 對B，x-1<0時式子不成立。 對C，x<1時x-1無意義。 對D正確。 答案：D 4、化簡b-(2b-1)(1 解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1 5、計算32+5+32-5. 解：令x=32+5+32-5， 兩邊立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0. ∵x2+x+4=x+122+154>0，∴x-1=0，即x=1. ∴32+5+32-5=1. 教學目標： (1)理解子集、真子集、補集、兩個集合相等概念; (2)了解全集、空集的意義。 (3)掌握有關子集、全集、補集的符號及表示方法，會用它們正確表示一些簡單的集合，培養學生的符號表示的能力; (4)會求已知集合的子集、真子集，會求全集中子集在全集中的補集; (5)能判斷兩集合間的包含、相等關系，并會用符號及圖形(文氏圖)準確地表示出來，培養學生的數學結合的數學思想; (6)培養學生用集合的觀點分析問題、解決問題的能力。 教學重點： 子集、補集的概念 教學難點： 弄清元素與子集、屬于與包含之間的區別 教學用具： 幻燈機 教學過程設計 (一)導入新課 上節課我們學習了集合、元素、集合中元素的三性、元素與集合的關系等知識。 【提出問題】(投影打出) 已知xx，xx，xx，問： 1、哪些集合表示方法是列舉法。 2、哪些集合表示方法是描述法。 3、將集M、集從集P用圖示法表示。 4、分別說出各集合中的元素。 5、將每個集合中的元素與該集合的關系用符號表示出來、將集N中元素3與集M的關系用符號表示出來。 6、集M中元素與集N有何關系、集M中元素與集P有何關系。 【找學生回答】 1、集合M和集合N;(口答) 2、集合P;(口答) 3、(筆練結合板演) 4、集M中元素有-1，1;集N中元素有-1，1，3;集P中元素有-1，1、(口答) 5、xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx(筆練結合板演) 6、集M中任何元素都是集N的元素、集M中任何元素都是集P的元素、(口答) 【引入】在上面見到的集M與集N;集M與集P通過元素建立了某種關系，而具有這種關系的兩個集合在今后學習中會經常出現，本節將研究有關兩個集合間關系的問題、 (二)新授知識 1、子集 (1)子集定義：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。 記作：xx讀作：A包含于B或B包含A 當集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時，則記作：AxxB或BxxA、 性質：①xx(任何一個集合是它本身的子集) �、趚x(空集是任何集合的子集) 【置疑】能否把子集說成是由原來集合中的部分元素組成的集合? 【解疑】不能把A是B的子集解釋成A是由B中部分元素所組成的集合。 因為B的子集也包括它本身，而這個子集是由B的全體元素組成的空集也是B的子集，而這個集合中并不含有B中的元素、由此也可看到，把A是B的子集解釋成A是由B的部分元素組成的集合是不確切的。 (2)集合相等：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B。 例：xx，可見，集合xx，是指A、B的所有元素完全相同。 (3)真子集：對于兩個集合A與B，如果xx，并且xx，我們就說集合A是集合B的真子集，記作：xx(或xx)，讀作A真包含于B或B真包含A。 【思考】能否這樣定義真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集�！� 集合B同它的真子集A之間的關系，可用文氏圖表示，其中兩個圓的內部分別表示集合A，B。 【提問】 (1)xx寫出數集N，Z，Q，R的包含關系，并用文氏圖表示。 (2)xx判斷下列寫法是否正確 �、賦xAxx②xxAxx③xx④AxxA 性質： (1)空集是任何非空集合的真子集。若xxAxx，且A≠xx，則xxA; (2)如果xx，xx，則xx。 例1xx寫出集合xx的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集、 解：集合xx的所有的子集是xx，xx，xx，xx，其中xx，xx，xx是xx的真子集。 【注意】(1)子集與真子集符號的方向。 (2)易混符號 �、佟皒x”與“xx”：元素與集合之間是屬于關系;集合與集合之間是包含關系。如xxR，{1}xx{1，2，3} �、趝0}與xx：{0}是含有一個元素0的集合，xx是不含任何元素的集合。 如：xx{0}。不能寫成xx={0}，xx∈{0} 例2xx見教材P8(解略) 例3xx判斷下列說法是否正確，如果不正確，請加以改正、 (1)xx表示空集; (2)空集是任何集合的真子集; (3)xx不是xx; (4)xx的所有子集是xx; (5)如果xx且xx，那么B必是A的真子集; (6)xx與xx不能同時成立、 解：(1)xx不表示空集，它表示以空集為元素的集合，所以(1)不正確; (2)不正確、空集是任何非空集合的真子集; (3)不正確、xx與xx表示同一集合; (4)不正確、xx的所有子集是xx; (5)正確 (6)不正確、當xx時，xx與xx能同時成立、 例4xx用適當的符號(xx，xx)填空： (1)xx;xx;xx; (2)xx;xx; (3)xx; (4)設xx，xx，xx，則AxxBxxC、 解：(1)0xx0xx; (2)xx=xx，xx; (3)xx，xx∴xx; (4)A，B，C均表示所有奇數組成的集合，∴A=B=C、 【練習】教材P9 用適當的符號(xx，xx)填空： (1)xx;xx(5)xx; (2)xx;xx(6)xx; (3)xx;xx(7)xx; (4)xx;xx(8)xx、 解：(1)xx;(2)xx;(3)xx;(4)xx;(5)=;(6)xx;(7)xx;(8)xx、 提問：見教材P9例子 (二)xx全集與補集 1、補集：一般地，設S是一個集合，A是S的一個子集(即xx)，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)，記作xx，即 、 A在S中的補集xx可用右圖中陰影部分表示、 性質：xxS(xxSA)=A 如：(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，則xxSA={2，4，6}; (2)若A={0}，則xxNA=N; (3)xxRQ是無理數集。 2、全集： 如果集合S中含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用xx表示。 注：xx是對于給定的全集xx而言的，當全集不同時，補集也會不同。 例如：若xx，當xx時，xx;當xx時，則xx。 例5xx設全集xx，xx，xx，判斷xx與xx之間的關系。 解： 練習：見教材P10練習 1、填空： xx，xx，那么xx，xx。 解：xx， 2、填空： (1)如果全集xx，那么N的補集xx; (2)如果全集，xx，那么xx的補集xx(xx)=xx、 解：(1)xx;(2)xx。 (三)小結：本節課學習了以下內容： 1、五個概念(子集、集合相等、真子集、補集、全集，其中子集、補集為重點) 2、五條性質 (1)空集是任何集合的子集。ΦxxA (2)空集是任何非空集合的真子集。ΦxxAxx(A≠Φ) (3)任何一個集合是它本身的子集。 (4)如果xx，xx，則xx、 (5)xxS(xxSA)=A 3、兩組易混符號：(1)“xx”與“xx”：(2){0}與 (四)課后作業：見教材P10習題1、2 1.課題 填寫課題名稱（高中代數類課題） 2.教學目標 （1）知識與技能： 通過本節課的學習，掌握。.。.。.知識，提高學生解決實際問題的能力； �。�2）過程與方法： 通過。.。.。.（討論、發現、探究），提高。.。.。.（分析、歸納、比較和概括）的能力； �。�3）情感態度與價值觀： 通過本節課的學習，增強學生的學習興趣，將數學應用到實際生活中，增加學生數學學習的樂趣。 3.教學重難點 （1）教學重點：本節課的知識重點 �。�2）教學難點：易錯點、難以理解的知識點 4、教學方法（一般從中選擇3個就可以了） �。�1）討論法 �。�2）情景教學法 �。�3）問答法 （4）發現法 （5）講授法 5、教學過程 （1）導入 簡單敘述導入課題的方式和方法（例：復習、類比、情境導出本節課的課題） �。�2）新授課程（一般分為三個小步驟） �、俸唵沃v解本節課基礎知識點（例：奇函數的定義）。 ②歸納總結該課題中的重點知識內容，尤其對該注意的一些情況設置易錯點，進行強調。可以設計分組討論環節（分組判斷幾組函數圖像是否為奇函數，并歸納奇函數圖像的特點。設置定義域不關于原點對稱的函數是否為奇函數的易錯點）。 �、弁卣寡由�，將所學知識拓展延伸到實際題目中，去解決實際生活中的問題。 （在新授課里面一定要表下出講課的大體流程，但是不必太過詳細。） �。�3）課堂小結 教師提問，學生回答本節課的收獲。 （4）作業提高 布置作業（盡量與實際生活相聯系，有所創新）。 6、教學板書 2.高中數學教案格式 一．課題（說明本課名稱） 二．教學目的（或稱教學要求，或稱教學目標，說明本課所要完成的教學任務） 三．課型（說明屬新授課，還是復習課） 四．課時（說明屬第幾課時） 五．教學重點（說明本課所必須解決的關鍵性問題） 六．教學難點（說明本課的學習時易產生困難和障礙的知識傳授與能力培養點） 七．教學方法要根據學生實際，注重引導自學，注重啟發思維 八．教學過程（或稱課堂結構，說明教學進行的內容、方法步驟） 九．作業處理（說明如何布置書面或口頭作業） 十．板書設計（說明上課時準備寫在黑板上的內容） 十一．教具（或稱教具準備，說明輔助教學手段使用的工具） 十二．教學反思：（教者對該堂課教后的感受及學生的收獲、改進方法） 教學準備 教學目標 1、數學知識：掌握等比數列的概念，通項公式，及其有關性質； 2、數學能力：通過等差數列和等比數列的類比學習，培養學生類比歸納的能力； 歸納——猜想——證明的數學研究方法； 3、數學思想：培養學生分類討論，函數的數學思想。 教學重難點 重點：等比數列的概念及其通項公式，如何通過類比利用等差數列學習等比數列； 難點：等比數列的性質的探索過程。 教學過程 教學過程： 1、問題引入： 前面我們已經研究了一類特殊的數列——等差數列。 問題1：滿足什么條件的數列是等差數列？如何確定一個等差數列？ �。▽W生口述，并投影）：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。 要想確定一個等差數列，只要知道它的首項a1和公差d。 已知等差數列的首項a1和d，那么等差數列的通項公式為：（板書）an=a1+(n-1)d。 師：事實上，等差數列的關鍵是一個“差”字，即如果一個數列，從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。 �。ǖ谝淮晤惐龋╊愃频模覀兲岢鲞@樣一個問題。 問題2：如果一個數列，從第2項起，每一項與它的前一項的……等于同一個常數，那么這個數列叫做……數列。 （這里以填空的形式引導學生發揮自己的想法，對于“和”與“積”的情況，可以利用具體的例子予以說明：如果一個數列，從第2項起，每一項與它的前一項的“和”（或“積”）等于同一個常數的話，這個數列是一個各項重復出現的“周期數列”，而與等差數列最相似的是“比”為同一個常數的情況。而這個數列就是我們今天要研究的等比數列了。） 2、新課： 1)等比數列的定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做公比。 師：這就牽涉到等比數列的通項公式問題，回憶一下等差數列的通項公式是怎樣得到的？類似于等差數列，要想確定一個等比數列的通項公式，要知道什么？ 師生共同簡要回顧等差數列的通項公式推導的方法：累加法和迭代法。 公式的推導：（師生共同完成） 若設等比數列的公比為q和首項為a1，則有： 方法一：（累乘法） 3)等比數列的性質： 下面我們一起來研究一下等比數列的性質 通過上面的研究，我們發現等比數列和等差數列之間似乎有著相似的地方，這為我們研究等比數列的性質提供了一條思路：我們可以利用等差數列的性質，通過類比得到等比數列的性質。 問題4：如果{an}是一個等差數列，它有哪些性質？ (根據學生實際情況，可引導學生通過具體例子，尋找規律，如： 3、例題鞏固： 例1、一個等比數列的第二項是2，第三項與第四項的和是12，求它的第八項的值。 答案：1458或128。 例2、正項等比數列{an}中，a6·a15+a9·a12=30，則log15a1a2a3…a20=_10____. 例3、已知一個等差數列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，能否在這個數列中取出一些項組成一個新的數列{cn}，使得{cn}是一個公比為2的等比數列，若能請指出{cn}中的第k項是等差數列中的第幾項？ （本題為開放題，沒有唯一的答案，如對于{cn}：2，4，8，16，……，2n，……，則ck=2k=2×2k-1，所以{cn}中的第k項是等差數列中的第2k-1項。關鍵是對通項公式的理解） 1、小結： 今天我們主要學習了有關等比數列的概念、通項公式、以及它的性質，通過今天的學習 我們不僅學到了關于等比數列的有關知識，更重要的是我們學會了由類比——猜想——證明的科學思維的過程。 2、作業： P129：1，2，3 思考題：在等差數列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，中取出一些項：6，12，24，48，……，組成一個新的數列{cn}，{cn}是一個公比為2的等比數列，請指出{cn}中的第k項是等差數列中的第幾項？ 教學設計說明： 1、教學目標和重難點：首先作為等比數列的第一節課，對于等比數列的概念、通項公式及其性質是學生接下來學習等比數列的基礎，是必須要落實的；其次，數學教學除了要傳授知識，更重要的是傳授科學的研究方法，等比數列是在等差數列之后學習的因此對等比數列的學習必然要和等差數列結合起來，通過等比數列和等差數列的類比學習，對培養學生類比——猜想——證明的科學研究方法是有利的。這也就成了本節課的重點。 2、教學設計過程：本節課主要從以下幾個方面展開： 1)通過復習等差數列的定義，類比得出等比數列的定義； 2)等比數列的通項公式的推導； 3)等比數列的性質； 有意識的引導學生復習等差數列的定義及其通項公式的探求思路，一方面使學生回顧舊 知識，另一方面使學生通過聯想，為類比地探索等比數列的定義、通項公式奠定基礎。 在類比得到等比數列的定義之后，再對幾個具體的數列進行鑒別，旨在遵循“特殊——一般——特殊”的認識規律，使學生體會觀察、類比、歸納等合情推理方法的應用。培養學生應用知識的能力。 在得到等比數列的定義之后，探索等比數列的通項公式又是一個重點。這里通過問題3的設計，使學生產生不得不考慮通項公式的心理傾向，造成學生認知上的沖突，從而使學生主動完成對知識的接受。 通過等差數列和等比數列的通項公式的比較使學生初步體會到等差和等比的相似性，為下面類比學習等比數列的性質，做好鋪墊。 等比性質的研究是本節課的高潮，通過類比 關于例題設計：重知識的應用，具有開放性，為使學生更好的掌握本節課的內容。 【高中數學教案】相關文章： 高中數學教案07-11 高中數學教案07-20 高中數學教案范文07-20 高中數學教案模板11-18 高中數學教案15篇07-20 新課標高中數學教案07-20 高中數學教案(15篇)07-21 高中數學教案精選15篇08-22 高中數學教案模板范文11-18 高中數學教案(精選15篇)09-28高中數學教案4
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