淺談數(shù)學(xué)方法論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐論文

　　摘要：數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓。新課程下注重、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成良好思維品質(zhì)的關(guān)鍵。而數(shù)學(xué)方法論給教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中提供了理論指導(dǎo)，通過(guò)對(duì)它的學(xué)習(xí)有利于教師由“經(jīng)驗(yàn)型教學(xué)”轉(zhuǎn)向“理論指導(dǎo)下的自覺(jué)實(shí)踐”，以數(shù)學(xué)思維方法的分析去帶動(dòng)和促進(jìn)具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法論思想方法數(shù)學(xué)教學(xué)

　　數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)造等法則的一門新興學(xué)科。①數(shù)學(xué)方法論很大程度上可以被說(shuō)成對(duì)于數(shù)學(xué)思想（維）方法的研究，其目標(biāo)就是幫助人們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維。或者說(shuō)，如何能夠按照數(shù)學(xué)家的思維模式去進(jìn)行思維。通過(guò)對(duì)具體數(shù)學(xué)事例的研究實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)思維過(guò)程的“理性重建”，獲得各個(gè)方法論原則的深刻體會(huì)，并使之真正成為“可以理解的”“可以學(xué)到手的”和“能夠加以推廣應(yīng)用的”。數(shù)學(xué)方法論對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的積極意義主要在于：以數(shù)學(xué)方法論為指導(dǎo)進(jìn)行具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)有助于我們將數(shù)學(xué)課“講活”“講懂”“講深”。②

　　1問(wèn)題的提出

　　隨著課程改革的進(jìn)行，對(duì)于我們數(shù)學(xué)教學(xué)也提出了更高的要求�！度�日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿）》在總體目標(biāo)重明確要求學(xué)生能夠“獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想法和必要的應(yīng)用技能�！痹诨�本理念中，也要求學(xué)生“真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法……”③顯然數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的核心內(nèi)容。因此，日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維顯得更加重要。首先，只有培養(yǎng)起比較完善的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，才能有利于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性，才能把學(xué)生和教師從題海中解放出來(lái)，減輕教與學(xué)的過(guò)重負(fù)擔(dān)。其次，數(shù)學(xué)是一個(gè)龐大的、有秩序的系統(tǒng)，對(duì)于從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)的教師來(lái)講，必須對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和方法有一個(gè)深入、全面的理解。這種對(duì)于數(shù)學(xué)的理解會(huì)影響到一個(gè)人的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，進(jìn)而影響到學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)的理解、學(xué)習(xí)態(tài)度和應(yīng)用等觀念的形成。由此可見(jiàn)，無(wú)論從學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)方面和教師教學(xué)實(shí)踐方面都需要教師精通數(shù)學(xué)方法論，只有熟知了這些方法論才能開(kāi)展有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

　　2數(shù)學(xué)方法論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

　　2．1數(shù)學(xué)課程目標(biāo)改革的必然要求

　　目前數(shù)學(xué)課程改革，強(qiáng)調(diào)情感、態(tài)度、價(jià)值觀，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“過(guò)程與方法”，強(qiáng)調(diào)探究與發(fā)現(xiàn)。在這種理念下，要使數(shù)學(xué)新課程改得以有效的實(shí)施，教師就必須加強(qiáng)和重視數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)和研究，只有掌握了數(shù)學(xué)方法論的教師，才能培養(yǎng)出具有創(chuàng)新能力的學(xué)生。一位老師曾說(shuō)過(guò)這樣一句話：“教師走多遠(yuǎn)，你的學(xué)生就能走多遠(yuǎn)�！比绻麤](méi)有一雙明亮的眼睛，看不清前面的道路，是無(wú)法走得長(zhǎng)遠(yuǎn)的，而數(shù)學(xué)方法論會(huì)幫我們擦亮數(shù)學(xué)智慧的眼睛。如果沒(méi)有這方面的知識(shí)儲(chǔ)備和良好的專業(yè)訓(xùn)練，將很難適應(yīng)今天的數(shù)學(xué)課程改革。數(shù)學(xué)新課改的成敗，關(guān)鍵在于教師。

　　2．2數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)代化的改革要求

　　現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂不在是單純的“傳授式”教學(xué)，在新課標(biāo)中明確指出：“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。”③意在進(jìn)一步改變數(shù)學(xué)的教學(xué)模式，拓寬學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的空間，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。而且把“具有解決問(wèn)題的能力”作為有“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的一個(gè)重要的標(biāo)志。而數(shù)學(xué)方法論在教學(xué)實(shí)踐中以“問(wèn)題解決”為中心組織教學(xué)，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)的思維”，把問(wèn)題作為載體，將數(shù)學(xué)思維方法的分析滲透到具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)中，使學(xué)生真正看到思維的力量，并使之成為可以理解的、可以學(xué)到手的和能夠加以推廣應(yīng)用的。這一教學(xué)理論為我們從更深的層次認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)提供了理論依據(jù)，值得我們?nèi)ド钊雽W(xué)習(xí)研究。因此，為了讓教師更好適應(yīng)和駕馭課堂教學(xué)，必須掌握一定的數(shù)學(xué)方法論。

　　2．3數(shù)學(xué)教師專業(yè)化發(fā)展的客觀要求

　　數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展，不僅要掌握深厚廣博的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且要了解數(shù)學(xué)發(fā)展的學(xué)科歷史，掌握數(shù)學(xué)的思想方法，深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)，理解數(shù)學(xué)的源與流，懂得其來(lái)龍去脈及數(shù)學(xué)的價(jià)值。對(duì)于從事數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，不能不懂得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的原理、規(guī)則和思想方法，它們能使我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中更好地駕馭教材，把數(shù)學(xué)教學(xué)變得更為生動(dòng)，教出方法、教出發(fā)現(xiàn)、教出創(chuàng)新。因此，數(shù)學(xué)方法論是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展及自身成長(zhǎng)的必備知識(shí)。

　　3數(shù)學(xué)方法論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐案例

　　在數(shù)學(xué)方法論中，重點(diǎn)闡述了觀察、聯(lián)想、嘗試、試驗(yàn)、歸納猜想、類比推廣、模擬、化歸、公理化方法、數(shù)學(xué)悖論等數(shù)學(xué)論證方法，數(shù)學(xué)與物理方法，數(shù)學(xué)智力的開(kāi)發(fā)與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)等。如果把這些理論和我們的實(shí)踐教學(xué)活動(dòng)聯(lián)系起來(lái)將使我們的數(shù)學(xué)課更加有數(shù)學(xué)味，幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征和應(yīng)用價(jià)值。

　　3．1數(shù)學(xué)方法論在解題教學(xué)中應(yīng)用

　　必要的知識(shí)與知識(shí)的良好的組織是數(shù)學(xué)方法論中提及的四要素之一。記得數(shù)學(xué)大師波利亞曾說(shuō)過(guò)：“良好的組織使得所提供的知識(shí)易于用上，這甚至可能比知識(shí)的廣泛性更為重要。至少在有些情況下，知識(shí)太多可能反而成了累贅，可能會(huì)妨礙解題者看出一條簡(jiǎn)單的途徑，而良好的組織則有利而無(wú)弊�！崩�如現(xiàn)在的初三復(fù)習(xí)很大程度上是通過(guò)解題教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn)知識(shí)鞏固，同時(shí)題目的綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生對(duì)于題目有一個(gè)很好的認(rèn)識(shí)。在教學(xué)中通常會(huì)碰到學(xué)生對(duì)于這類題目會(huì)無(wú)從下手，或解決問(wèn)題的信心不夠等現(xiàn)象。當(dāng)然這里有學(xué)生對(duì)于題目理解上的原因，關(guān)鍵還是他們沒(méi)有把自己的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)良好的組織起來(lái)，必要的反思把知識(shí)方法歸類。對(duì)于初三的學(xué)生知識(shí)容量應(yīng)該是夠的，但是他們的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)比較零亂，當(dāng)需要去解決某些問(wèn)題的時(shí)候往往找不到對(duì)應(yīng)的“工具”。所以在初三復(fù)習(xí)中的重點(diǎn)我們不是多講幾個(gè)題目、多做幾個(gè)練習(xí)，而應(yīng)通過(guò)典型例題理清知識(shí)體系，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)。

　　為了讓學(xué)生能形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，教師在問(wèn)題解決過(guò)程中應(yīng)更多的暴露思維過(guò)程，通過(guò)問(wèn)題的合理設(shè)置激活學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)他們形成新的理解、新的認(rèn)識(shí)。因此數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效開(kāi)展離不開(kāi)教師的合理引導(dǎo)，教學(xué)中突出以問(wèn)題為主線，啟迪學(xué)生思考，使學(xué)生在課堂中深刻的感受如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程，理解和認(rèn)識(shí)發(fā)生和發(fā)展的必然的因果關(guān)系，從而領(lǐng)悟到分析、思考和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法，最終內(nèi)化為自身知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要部分。

　　案例1這是我在復(fù)習(xí)課上講的一道習(xí)題。

　　如圖所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90？SPAN，AC=8，BC=6。沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成和兩個(gè)三角形（如圖2所示）。將紙片沿直線D2B（AB）方向平移（點(diǎn)AD1D2B始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)D1于點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移。在平移過(guò)程中，C1D1與BC2交于點(diǎn)E，AC1與C2D2、BC2分別交于點(diǎn)F、P。

　　（1）當(dāng)平移到如圖3所示的位置時(shí)，猜想圖中的D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

　　（2）設(shè)D2D1平移距離為x，與重疊部分面積為y，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；

　　（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

　　本例的難點(diǎn)是問(wèn)題（2），很多同學(xué)都思路受阻，如何去表示這個(gè)陰影面積呢？因此教學(xué)中設(shè)置了以下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去分析、解決問(wèn)題。

　　（1）看清問(wèn)題

　　問(wèn)1：不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，通常用什么方法？

　　生1：（有所悟）割補(bǔ)法，轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形。

　　問(wèn)2：這里有沒(méi)有熟悉可計(jì)算的圖形？

　　生2：三角形

　　問(wèn)3：如何表示這些三角形的面積？還記得三角形面積的計(jì)算的方法嗎？

　　這樣的問(wèn)題，思維指向清晰，又明確的教學(xué)目標(biāo)，確定陰影面積y應(yīng)該如何表示。當(dāng)然這里“結(jié)果”啟發(fā)式的問(wèn)題沿著教師事先設(shè)置好的“軌跡”前進(jìn)，缺少了一定的開(kāi)放性，但關(guān)鍵要看這樣的“問(wèn)”是否調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性，是否符合學(xué)生的認(rèn)知水平，同時(shí)要注意問(wèn)題的層次性，有易到難，前兩個(gè)問(wèn)題的設(shè)置有助于增強(qiáng)學(xué)生解題的信心。問(wèn)3在此題解決中起到關(guān)鍵作用，學(xué)生剛開(kāi)始腦海里還沒(méi)合適的求三角形面積的方法，容易聯(lián)想到最熟悉的公式。

　　問(wèn)4：這些三角形的底能表示嗎？高能表示嗎？

　　生4：底比較容易分別是，高比較麻煩？

　�。�2）繞過(guò)障礙

　　問(wèn)5：我們不求高可否直接求三角形的面積？你有好方法嗎？

　　生：三角形的面積計(jì)算通常用的方法還可以利用相似三角形的性質(zhì)相似比的平方等于面積比。

　　此問(wèn)引起學(xué)生認(rèn)知上沖突而促進(jìn)他們更深入進(jìn)行思考，引導(dǎo)他們從知識(shí)倉(cāng)庫(kù)中提取用的東西，從而產(chǎn)生一個(gè)好的思路。把求不規(guī)則圖形的問(wèn)題劃歸為學(xué)生熟悉的求三角形問(wèn)題，有利學(xué)生調(diào)動(dòng)頭腦中儲(chǔ)存的關(guān)于這類問(wèn)題的各種知識(shí)。同時(shí)概括了三角形面積計(jì)算的三種方法，涉及了相似，解直角三角形等有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，把原來(lái)相對(duì)孤立的知識(shí)點(diǎn)有效的串連起來(lái)，優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)體系。

　�。�3）解決問(wèn)題

　　帶參數(shù)的問(wèn)題，通常把給定參數(shù)作為已知量運(yùn)用如本題中的，表示出所需的未知量，特別注意其中相等的量。引導(dǎo)學(xué)生找到對(duì)應(yīng)的相似三角形，盡可能多的表示出相關(guān)的線段。

　　這一環(huán)節(jié)學(xué)生順著教師預(yù)設(shè)的“軌跡”到達(dá)了目的地，在這一過(guò)程中學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到了完善，使得他們通過(guò)對(duì)題目的重新認(rèn)識(shí)，有了自己的思考和領(lǐng)悟。

　�。�4）回到起點(diǎn)

　　題目解完后是否真正解決了這個(gè)問(wèn)題呢？首先，在問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)生的“疑”和教師假想的“疑”并不一定完全吻合，通過(guò)問(wèn)題的回顧可對(duì)教學(xué)進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化。其次，學(xué)生的解題過(guò)程是在教師的“安排”下進(jìn)行，思維有很大的直覺(jué)性和依賴性，可能顧及不到對(duì)自己思維過(guò)程進(jìn)行分析、整理。所以解完后的總結(jié)反思就非常的必要。正是對(duì)于解題總結(jié)的重要性的認(rèn)識(shí)，波利亞指出：“工作中最重要的那部分就是回去看一下完整的解答。通過(guò)考察他的工作過(guò)程和最后的解答形式。他會(huì)發(fā)現(xiàn)要觀察認(rèn)識(shí)的東西真是千變?nèi)f化，層出不窮。”④

　　問(wèn)6：解完后你對(duì)題目有沒(méi)有新的發(fā)現(xiàn)和想法。

　　生5：通過(guò)上面的解答我發(fā)現(xiàn)利用相似比可求出三角形的高，公式也可行。

　　生6：Rt的三邊之比非常特殊3：4：5，因此與它相似的.三角形都可以利用這一特性來(lái)計(jì)算，如Rt的面積都可以利用這一特性簡(jiǎn)化計(jì)算。

　　生7：我發(fā)現(xiàn)剛才在計(jì)算可以把它們拼在一起就是一個(gè)Rt（E和F重合），而且它與Rt相似，因此利用相似比和面積比的關(guān)系計(jì)算出它們的面積。

　　生5，生6是在回顧解法后進(jìn)一步理解了相似在求線段和面積的作用提出的一個(gè)解法，原先的障礙得到了解決，而生7是打破了原有思路的的束縛有了更為巧妙的解法，抓住不規(guī)則圖形求面積的“割補(bǔ)”的原理。這是我沒(méi)有想到的，有了他的啟發(fā)下面的學(xué)生也有了更多的精彩的解答。

　　生10：有了他的啟發(fā)Rt的面積可以這樣求，因?yàn)椋�用上面的方法可以求�?，所以

　　割補(bǔ)方式的不同可以產(chǎn)生不同的方法，目的是把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。生8把其轉(zhuǎn)化為平行四邊形是一個(gè)突破，而生8，生9則充分挖掘了平行四邊形的特性，利用等底等高的面積轉(zhuǎn)化方式非常巧妙，計(jì)算簡(jiǎn)便。

　　這節(jié)課雖然我只完成了一道例題但是學(xué)生給出了很多好的想法和思路是我沒(méi)想到的，也給了我很多啟發(fā)。教師在教學(xué)中如果能很好的抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，以此為問(wèn)題的載體，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的認(rèn)知，那么學(xué)生則會(huì)產(chǎn)生更多智慧的火花。教師在教學(xué)中不僅應(yīng)使學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思維方法。

　　3．2數(shù)學(xué)方法論在概念教學(xué)中應(yīng)用

　　每一個(gè)概念的產(chǎn)生，都是由于知識(shí)體系擴(kuò)充的需要。在教學(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生明白為什么要產(chǎn)生這個(gè)概念，它有什么意義，這個(gè)概念的產(chǎn)生是為了解決什么問(wèn)題。讓學(xué)生理解概念產(chǎn)生的必要性。例如，在數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程中，為什么要引入負(fù)數(shù)？我們可以這樣解釋：為了表示相反意義的量，向東走10米記為+10米，則向西走5米記為—5米�；蛘哒f(shuō)是運(yùn)算的需要4—7不夠減，則引入負(fù)數(shù)得4—7=—3。后來(lái)有理數(shù)也不能滿足需要了，在解方程X2=2就沒(méi)有有理數(shù)解，但它的解卻是客觀存在的，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)之比就是這個(gè)方程的解，但這個(gè)比不能用有理數(shù)表示，因此就添入無(wú)理數(shù)，這促使數(shù)的范圍擴(kuò)大到全體實(shí)數(shù)。同樣，為什么要規(guī)定i2=—1？它也是有實(shí)際背景的。當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，方程，當(dāng)時(shí)總有解，但是當(dāng)a0沒(méi)有解。即使x2=—1這樣簡(jiǎn)單的方程也沒(méi)有解，一1沒(méi)有平方根。這啟發(fā)我們對(duì)數(shù)系作再一次的擴(kuò)充，從而引入i2=—1，形成復(fù)數(shù)系。

　　概念的形成有兩種途徑：一種是直接從客觀事物的空間形式或數(shù)量關(guān)系的反映而得到的，另一種是在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)多層次的抽象概括而成。在教學(xué)過(guò)程中，要擅于啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、探究新概念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。而概念的形成本身有著一定的發(fā)展過(guò)程，凝聚著前人探索的智慧。我們不可能重復(fù)歷史的“原始創(chuàng)造”，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造出有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，這對(duì)學(xué)生理解概念非常有意義的。一位數(shù)學(xué)家說(shuō)過(guò)：“一堆沒(méi)有親身體驗(yàn)和視覺(jué)形象所支持的概念、定義不能開(kāi)發(fā)智力，而只能關(guān)閉思路�！痹诟拍钤賱�(chuàng)造過(guò)程種，應(yīng)對(duì)學(xué)生的思維給予暴露的機(jī)會(huì)，充分經(jīng)歷概念形成的兩個(gè)階段，從具體到抽象，再?gòu)某橄蟮骄唧w，有利于學(xué)生對(duì)概念的自我意識(shí)和自我反省。

　　案例2在浙教版七年級(jí)圖形的初步知識(shí)7。2節(jié)中，直線公理：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且僅有一條直線。即兩點(diǎn)確定一條直線。這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，特別是“有且僅有”這里包含了存在性和唯一性兩層含義。為了讓學(xué)生理解這條公理，我設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)生活動(dòng)環(huán)節(jié)：

　　首先隨機(jī)請(qǐng)一位學(xué)生甲起立，要求與學(xué)生甲在同一直線的學(xué)生也起立。剛開(kāi)始只有學(xué)生甲周圍的其他人起立，突然一位學(xué)生說(shuō)：“全班起立！”，頓時(shí)所有的學(xué)生都起來(lái)了。學(xué)生發(fā)現(xiàn)大家都和站起的那位學(xué)生在同一直線。這一活動(dòng)讓學(xué)生體驗(yàn)了一點(diǎn)無(wú)法確定一條直線，而是有無(wú)數(shù)條，因?yàn)槿魏我幻麑W(xué)生與學(xué)生甲都能構(gòu)成一條直線。然后我隨機(jī)的教了兩位學(xué)生乙、丙，要求和他們?cè)谕�一直線的學(xué)生起立。這時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)論這兩位同學(xué)在哪個(gè)位子，站起的學(xué)生都只有一列。從而在活動(dòng)中讓學(xué)生真正體驗(yàn)了“兩點(diǎn)確定一條直線”的含義，學(xué)生親身經(jīng)歷了概念的“理性重建”對(duì)它的理解將會(huì)更加的深刻，何謂“有且僅有”也形成了學(xué)生自己的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)。概念是從生活中抽象而來(lái)，同樣概念也運(yùn)用于實(shí)際。最后環(huán)節(jié)要求學(xué)生找找生活中運(yùn)用直線公理的例子，從而加深、豐富和鞏固學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握和應(yīng)用。

　　3．3數(shù)學(xué)方法論對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的作用

　　數(shù)學(xué)是一門使人創(chuàng)造性思維嚴(yán)格化和理論體系嚴(yán)謹(jǐn)化的科學(xué)。數(shù)學(xué)方法論強(qiáng)調(diào)用演繹與推理的理念，來(lái)論證概念間轉(zhuǎn)換的恒等變化，從中體現(xiàn)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔地揭示有條件到結(jié)論嚴(yán)密的邏輯關(guān)系。②而缺乏演繹與推理的人，會(huì)犯“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤。在初一起始教育的第一節(jié)課中我舉了一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。

　　案例3假設(shè)我們可以沿地球赤道緊緊地拉一根繩子，打上結(jié)，此時(shí)，繩子長(zhǎng)度與赤道相等。然后把繩子剪開(kāi)，加長(zhǎng)10米，這樣繩子已不緊扣在赤道上，產(chǎn)生了縫隙，問(wèn)該分析有多少大？

　　如果光憑想象去猜測(cè)，很多學(xué)生會(huì)想：赤道這么長(zhǎng)，加長(zhǎng)10米算不了什么，恐怕伸一只手過(guò)去都困難，似乎只能塞一張紙過(guò)去，差不多可以忽略不計(jì)，那么，縫隙到底有多少大，我們不妨計(jì)算一下。

　　解：設(shè)地球赤道為L(zhǎng)，地球的半徑為R，縫隙為a

　　實(shí)際情況讓學(xué)生大吃一驚，縫隙居然有1。59米，大多說(shuō)學(xué)生都可以從縫隙中走過(guò)。做事如此，做事也是如此。數(shù)學(xué)教育能培養(yǎng)正確的認(rèn)知態(tài)度，使主觀想象符合客觀實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的個(gè)性品質(zhì)。演繹與推理的理念，使人克服想當(dāng)然的錯(cuò)誤，正確認(rèn)識(shí)自己，正確認(rèn)識(shí)世界，這是學(xué)生走向社會(huì)的必備素質(zhì)。

　　同時(shí)數(shù)學(xué)方法論在教學(xué)中特別指出數(shù)學(xué)史的重要性。著名數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”。歷史能揭示出數(shù)學(xué)知識(shí)的顯示、來(lái)源與應(yīng)用，它不僅告訴我們數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)時(shí)如何出現(xiàn)在人們頭腦中的——即如何產(chǎn)生的。例如直角坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何上架起了一座橋粱，它使幾何概念用數(shù)來(lái)表示，幾何圖形也可以用代數(shù)形式來(lái)表示�？梢韵�?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)造它的過(guò)程。據(jù)說(shuō)有一天，法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾生病臥床，病情很重，盡管如此他還反復(fù)思考一個(gè)問(wèn)題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數(shù)方程結(jié)合起來(lái)。他苦苦思索，拼命琢磨，通過(guò)什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來(lái)。突然，他看見(jiàn)屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來(lái)，一會(huì)功夫，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開(kāi)朗……。這不僅可以活躍課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生全方位的思維能力。在這個(gè)過(guò)程也能讓學(xué)生明白任何一項(xiàng)成就都需要付出艱辛的努力。引導(dǎo)學(xué)生正確看待學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困難、挫折和失敗，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，培養(yǎng)刻苦專研的學(xué)習(xí)態(tài)度。

　　4數(shù)學(xué)方法論在教學(xué)實(shí)踐中注意的問(wèn)題

　　數(shù)學(xué)方法論是一門實(shí)踐性的學(xué)科，它在教學(xué)實(shí)踐中主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。教學(xué)中重視如何能將所學(xué)到的各種方法和策略應(yīng)用到實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去，包括以數(shù)學(xué)思維方法的分析去帶動(dòng)和促進(jìn)具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)。

　　4．1注重滲透的循序漸進(jìn)和逐步積累

　　數(shù)學(xué)思想方法是在啟發(fā)學(xué)生思維過(guò)程中逐步積累和形成的，為此，在教學(xué)中首先要強(qiáng)調(diào)解決問(wèn)題以后的“反思”。因?yàn)樵谝粋�(gè)過(guò)程中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)才是易于體會(huì)、易于接受的；其次，要注意滲透的長(zhǎng)期性，應(yīng)該看到，對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是一朝一夕就能見(jiàn)到學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高的，需要一個(gè)過(guò)程。數(shù)學(xué)思想方法必須經(jīng)過(guò)循序漸進(jìn)的滲透和反復(fù)訓(xùn)練，才能使學(xué)生真正地有所領(lǐng)悟。正如數(shù)學(xué)大師波利亞所說(shuō)：“一個(gè)想法使用一次是技巧，經(jīng)過(guò)多次使用，變成為一種方法。”

　　4．2關(guān)注學(xué)生最近發(fā)展區(qū)和層次性

　　在貫徹?cái)?shù)學(xué)思想方法地教學(xué)中，要關(guān)注學(xué)生的最進(jìn)發(fā)展區(qū)，盡可能幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法并根據(jù)學(xué)生的差異，采取不同的思想方法解決問(wèn)題，幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)遷移。布魯姆認(rèn)為，教育的基本任務(wù)是找到這樣的策略，既考慮到個(gè)別的差異，又能促進(jìn)個(gè)體最充分地發(fā)展。因此，教師盡可能設(shè)計(jì)有利于學(xué)生發(fā)展的教學(xué)環(huán)節(jié)，如在教案設(shè)計(jì)，課堂探究等過(guò)程中，都應(yīng)該注意不同層次的學(xué)生能不同程度的領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，使全體學(xué)生盡量使用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維策略，促成其最近發(fā)展區(qū)的形成。最終實(shí)現(xiàn)使“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展�！雹�

　　4．3提高教師的自身認(rèn)識(shí)和可行性

　　數(shù)學(xué)的思想方法通常隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，不是一個(gè)顯性的知識(shí)點(diǎn)。只有掌握了這些數(shù)學(xué)知識(shí)背后的歷史背景和發(fā)展的來(lái)龍去脈以及當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程，才能在教學(xué)設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情景，啟發(fā)學(xué)生積極的思考。教師自身對(duì)于這一知識(shí)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)將直接影響教學(xué)中學(xué)生對(duì)于它的理解。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)必須通過(guò)具體的教學(xué)過(guò)程加以實(shí)現(xiàn)，通常以具體的知識(shí)內(nèi)容為載體。因此，必須把握好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的契機(jī)——概念的形成，結(jié)論推導(dǎo)的過(guò)程，方法思考的過(guò)程，思路探索的過(guò)程，規(guī)律揭示的過(guò)程等。同時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要注意有機(jī)結(jié)合、自然滲透、依勢(shì)而行、潛移默化的啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)中各種數(shù)學(xué)思想方法。不可因?yàn)橹v“方法”而方法，生搬硬套。同時(shí)注意到在教學(xué)活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)，教學(xué)實(shí)踐總會(huì)突破教學(xué)理論設(shè)置的框架，并按照自己的要求，確立起新的應(yīng)對(duì)情景性需要的靈活多變的思維策略。因此教學(xué)理論應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐的過(guò)程，決不是機(jī)械地對(duì)號(hào)入座，這也是對(duì)教師教學(xué)智慧的一種考驗(yàn)。

　　5實(shí)踐中的啟示與思考

　　數(shù)學(xué)方法論給教師許多啟發(fā)性的例子，其中蘊(yùn)含了很多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的智慧。在波利亞的《怎樣解題》等方法論的著作中，對(duì)于數(shù)學(xué)解題的過(guò)程的分析完全可以給中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)以借鑒，我們可以將數(shù)學(xué)概念、定理的教學(xué)按著他的研究方法，將每個(gè)細(xì)節(jié)都呈現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)前輩們的心路歷程，相信數(shù)學(xué)不是已開(kāi)始就是以現(xiàn)在完美的形式表現(xiàn)出來(lái)的，它也是無(wú)數(shù)先輩們經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的失敗才形成現(xiàn)在比較完美的形式。學(xué)生在學(xué)習(xí)中面臨的一些困惑在數(shù)學(xué)思想發(fā)展上也曾經(jīng)是那些數(shù)學(xué)家的困惑，從而激發(fā)學(xué)生極大的求知欲和好奇感，無(wú)形中增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。數(shù)學(xué)方法論的研究中我們可以發(fā)現(xiàn)注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程和方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。通過(guò)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程和典型問(wèn)題的解題過(guò)程分析搭建學(xué)生學(xué)習(xí)的平臺(tái)，以數(shù)學(xué)思維方法的分析去帶動(dòng)和促進(jìn)具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)。

　　數(shù)學(xué)方法論的教學(xué)實(shí)踐，有利于提高教師的專業(yè)素質(zhì)。由“經(jīng)驗(yàn)型教學(xué)”轉(zhuǎn)向“理論指導(dǎo)下的自覺(jué)實(shí)踐”，這需要教師不斷充實(shí)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高自身的施教水平，通過(guò)理論指導(dǎo)和教學(xué)實(shí)踐逐漸形成有個(gè)性的教學(xué)方法和教學(xué)理念，同時(shí)教師的專業(yè)成長(zhǎng)離不開(kāi)自己的反思活動(dòng)。教師的實(shí)踐和反思是有機(jī)結(jié)合的，是相輔相成的。通過(guò)教師的教學(xué)活動(dòng)可以讓教師獲得豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)通過(guò)反思在真實(shí)的教學(xué)情景中改進(jìn)實(shí)踐。美國(guó)一位學(xué)者提出了教師成長(zhǎng)公式：經(jīng)驗(yàn)+反思=成長(zhǎng)，可見(jiàn)實(shí)踐與反思是教師積累教育教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提高教學(xué)素養(yǎng)的有效方法。在數(shù)學(xué)方法論的實(shí)踐和反思中我們也應(yīng)看到了它存在的一些局限性，絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)方法論的研究偏重于理論論證，而很少有實(shí)踐證明，更少研究在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透和應(yīng)用。因?yàn)榻虒W(xué)理論更多的是追求普遍和一般，而實(shí)踐更多地體現(xiàn)為個(gè)別和特殊。所以我們?cè)跀?shù)學(xué)方法論的實(shí)踐應(yīng)用中還需有自己的反思和改進(jìn)，把理論內(nèi)化為自己的觀念，正真發(fā)揮理論指導(dǎo)實(shí)踐、改造實(shí)踐的力量。

　　參考書(shū)目：

　�、傩炖�治，《數(shù)學(xué)方法論選講》華中工學(xué)院出版社1983

　　②鄭毓信，《數(shù)學(xué)方法論入門》浙江教育出版社2008

　�、蹌⒓鎸O曉天，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》北京師范大學(xué)出版社2002

　�、芾瞵|，《應(yīng)重視和加強(qiáng)數(shù)學(xué)教育理論研究》數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)2006。

　�、莶ɡ麃�，《怎樣解題》上�？萍冀逃�出版社2007

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