初二數學知識點總結

時間：2025-07-07 16:16:39 晶敏知識點總結我要投稿

初二數學知識點總結資料

　　總結在一個時期、一個年度、一個階段對學習和工作生活等情況加以回顧和分析的一種書面材料，它能幫我們理順知識結構，突出重點，突破難點，是時候寫一份總結了。那么你真的懂得怎么寫總結嗎？下面是小編為大家收集的初二數學知識點總結，僅供參考，歡迎大家閱讀。

初二數學知識點總結資料

　　平方根與立方根知識點

　　平方根:

　　概括1：一般地，如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根(或二次方根)。就是說，如果x=a,那么x就叫做a的平方根。如：23與-23都是529的平方根。

　　因為(±23)=529，所以±23是529的平方根。問：(1)16，49，100，1100都是正數，它們有幾個平方根?平方根之間有什么關系?(2)0的平方根是什么?

　　概括2：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數;0有一個平方根，它是0本身;負數沒有平方根。

　　概括3：求一個數a(a≥0)的平方根的運算，叫做開平方。

　　開平方運算是已知指數和冪求底數。平方與開平方互為逆運算。一個數可以是正數、負數或者是0，它的平方數只有一個，正數或負數的平方都是正數，0的平方是0。但一個正數的平方根卻有兩個，這兩個數互為相反數，0的平方根是0。負數沒有平方根。因為平方與開平方互為逆運算，因此我們可以通過平方運算來求一個數的平方根，也可以通過平方運算來檢驗一個數是不是另一個數的平方根。

　　一、算術平方根的概念

　　正數a有兩個平方根(表示為?根，表示為a。0的平方根也叫做0的算術平方根，因此0的算術平方根是0，即0。”是算術平方根的符號，a就表示a的算術平方根。a的意義有兩點：a，我們把其中正的平方根，叫做a的算術平方

　　(1)被開方數a表示非負數，即a≥0;

　　(2)a也表示非負數，即a≥0。也就是說，非負數的“算術”平方根是非負數。負數不存在算術平方根，即a<0時，a無意義。

　　如：=3，8是64的算術平方根，6無意義。9既表示對9進行開平方運算，也表示9的正的平方根。

　　二、平方根與算術平方根的區別在于

　　①定義不同;

　　②個數不同：一個正數有兩個平方根,而一個正數的算術平方根只有一個;③表示方法不同：正數a的平方根表示為?a,正數a的算術平方根表示為a;④取值范圍不同：正數的算術平方根一定是正數,正數的平方根是一正一負.⑤0的平方根與算術平方根都是0.

　　三、例題講解：

　　例1、求下列各數的算術平方根：

　　(1)100;

　　(2)49;

　　(3)0.8164

　　注意：由于正數的算術平方根是正數，零的算術平方根是零，可將它們概括成：非負數的算

　　術平方根是非負數，即當a≥0時，a≥0(當a<0時，a無意義)

　　用幾何圖形可以直觀地表示算術平方根的意義如有一個面積為a(a應是非負數)、邊長為

　　的正方形就表示a的算術平方根。

　　這里需要說明的是，算術平方根的符號“”不僅是一個運算符號，如a≥0時，a表示對非負數a進行開平方運算，另一方面也是一個性質符號，即表示非負數a的正的平方根。

　　3、立方根

　　(1)立方根的定義：如果一個數x的立方等于a，這個數叫做a的立方根(也叫做三次方根)，即如果x?a，那么x叫做a的立方根

　　(2)一個數a的立方根，讀作：“三次根號a”，其中a叫被開方數，3叫根指數，不能省略，若省略表示平方。

　　(3)一個正數有一個正的立方根;0有一個立方根，是它本身;一個負數有一個負的立方根;任何數都有的立方根。

　　(4)利用開立方和立方互為逆運算關系，求一個數的立方根，就可以利用這種互逆關系，檢驗其正確性，求負數的立方根，可以先求出這個負數的絕對值的立方根，再取其相反數。

　　分解因式

　　分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。

　　方法：提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法。

　　以上對分解因式知識點的總結學習，相信同學們對此知識點可以很熟練的掌握了，希望能很好的幫助同學們的考試工作。

　　初中數學知識點總結：平面直角坐標系

　　下面是對平面直角坐標系的內容學習，希望同學們很好的掌握下面的內容。

　　平面直角坐標系

　　平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。

　　水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

　　平面直角坐標系的要素：①在同一平面②兩條數軸③互相垂直④原點重合

　　三個規定：

　　①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向

　　②單位長度的規定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際有時也可不同，但同一數軸上必須相同。

　　③象限的規定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。

　　相信上面對平面直角坐標系知識的講解學習，同學們已經能很好的掌握了吧，希望同學們都能考試成功。

　　1、正方形的概念

　　有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

　　2、正方形的性質

　　(1)具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質;

　　(2)正方形的四個角都是直角，四條邊都相等;

　　(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角;

　　(4)正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸;

　　(5)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形;

　　(6)正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。

　　3、正方形的判定

　　(1)判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：

　　先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。

　　先證它是菱形，再證有一個角是直角。

　　(2)判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：

　　先證明它是平行四邊形;

　　再證明它是菱形(或矩形);

　　最后證明它是矩形(或菱形)。

　　實數

　　無理數：無限不循環小數叫無理數

　　平方根：①如果一個正數X的平方等于A，那么這個正數X就叫做A的算術平方根。②如果一個數X的平方等于A，那么這個數X就叫做A的平方根。③一個正數有2個平方根/0的平方根為0/負數沒有平方根。④求一個數A的平方根運算，叫做開平方，其中A叫做被開方數。

　　立方根：①如果一個數X的立方等于A，那么這個數X就叫做A的立方根。②正數的立方根是正數、0的立方根是0、負數的立方根是負數。③求一個數A的立方根的運算叫開立方，其中A叫做被開方數。

　　實數：①實數分有理數和無理數。②在實數范圍內，相反數，倒數，絕對值的意義和有理數范圍內的相反數，倒數，絕對值的意義完全一樣。③每一個實數都可以在數軸上的一個點來表示。

　　相信通過上面的學習，同學們對實數知識點可以很好的掌握了，希望同學們在考試中取得好成績。

　　初中數學知識點總結：平面直角坐標系

　　下面是對平面直角坐標系的內容學習，希望同學們很好的掌握下面的內容。

　　平面直角坐標系

　　平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。

　　水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

　　平面直角坐標系的要素：①在同一平面②兩條數軸③互相垂直④原點重合

　　三個規定：

　　①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向

　　②單位長度的規定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際有時也可不同，但同一數軸上必須相同。

　　③象限的規定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。

　　相信上面對平面直角坐標系知識的講解學習，同學們已經能很好的掌握了吧，希望同學們都能考試成功。

　　初中數學知識點：平面直角坐標系的構成

　　對于平面直角坐標系的構成內容，下面我們一起來學習哦。

　　平面直角坐標系的構成

　　在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系。通常，兩條數軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統稱為坐標軸，它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。

　　通過上面對平面直角坐標系的構成知識的講解學習，希望同學們對上面的內容都能很好的掌握，同學們認真學習吧。

　　初中數學知識點：點的坐標的性質

　　下面是對數學中點的坐標的性質知識學習，同學們認真看看哦。

　　點的坐標的性質

　　建立了平面直角坐標系后，對于坐標系平面內的任何一點，我們可以確定它的坐標。反過來，對于任何一個坐標，我們可以在坐標平面內確定它所表示的一個點。

　　對于平面內任意一點C，過點C分別向Ｘ軸、Ｙ軸作垂線，垂足在Ｘ軸、Ｙ軸上的對應點a，b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有序實數對（a，b）叫做點C的坐標。

　　一個點在不同的象限或坐標軸上，點的坐標不一樣。

　　希望上面對點的坐標的性質知識講解學習，同學們都能很好的掌握，相信同學們會在考試中取得優異成績的。

　　初中數學知識點：因式分解的一般步驟

　　關于數學中因式分解的一般步驟內容學習，我們做下面的知識講解。

　　因式分解的一般步驟

　　如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，

　　通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

　　注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內因式分解，應該是指在有理數范圍內因式分解，因此分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式。

　　相信上面對因式分解的一般步驟知識的內容講解學習，同學們已經能很好的掌握了吧，希望同學們會考出好成績。

　　初中數學知識點：因式分解

　　下面是對數學中因式分解內容的知識講解，希望同學們認真學習。

　　因式分解

　　因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解。

　　因式分解要素：①結果必須是整式②結果必須是積的形式③結果是等式④

　　因式分解與整式乘法的關系：m(a+b+c)

　　公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。

　　公因式確定方法：①系數是整數時取各項最大公約數。②相同字母取最低次冪③系數最大公約數與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。

　　提取公因式步驟：

　　①確定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。

　　分解因式注意；

　　①不準丟字母

　　②不準丟常數項注意查項數

　　③雙重括號化成單括號

　　④結果按數單字母單項式多項式順序排列

　　⑤相同因式寫成冪的形式

　　⑥首項負號放括號外

　　⑦括號內同類項合并。

　　通過上面對因式分解內容知識的講解學習，相信同學們已經能很好的掌握了吧，希望上面的內容給同學們的學習很好的幫助。

　　等腰三角形

　　1.性質：等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).

　　2.判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊).

　　3.推論：等腰三角形、、互相重合(即“”).

　　4.等邊三角形的性質及判定定理

　　性質定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于;等邊三角形是軸對稱圖形，有條對稱軸.

　　判定定理：(1)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形;

　　(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形.

　　直角三角形

　　1.勾股定理及其逆定理

　　定理：直角三角形的兩條直角邊的等于的平方.

　　逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是.

　　2.含30°的直角三角形的邊的性質

　　定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么等于的一半.

　　3.直角三角形斜邊上的中線等于的一半。

　　要點詮釋：①勾股定理的逆定理在語言敘述的時候一定要注意，不能說成“兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應該說成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”。

　　②直角三角形的全等判定方法，HL還有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5種判定方法。

　　線段的垂直平分線

　　1.線段垂直平分線的性質及判定

　　性質：線段垂直平分線上的點到的距離相等.

　　判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的

　　2.三角形三邊的垂直平分線的性質

　　三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

　　角平分線

　　1.角平分線的性質及判定定理

　　性質：角平分線上的點到的距離相等;

　　判定：在一個角的內部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。

　　2.三角形三條角平分線的性質定理

　　性質：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。這個點叫內心。

　　一次函數

　　一、正比例函數與一次函數的概念：

　　一般地，形如y=kx(k為常數，且k≠0)的函數叫做正比例函數.其中k叫做比例系數。

　　一般地，形如y=kx+b(k,b為常數，且k≠0)的函數叫做一次函數.

　　當b=0時,y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數，是一次函數的特例.

　　二、正比例函數的圖象與性質：

　　(1)圖象:正比例函數y=kx(k是常數，k≠0))的圖象是經過原點的一條直線，我們稱它為直線y=kx。

　　(2)性質:當k>0時,直線y=kx經過第三，一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大;當k0，b>0圖像經過一、二、三象限;

　　(2)k>0，b<0圖像經過一、三、四象限;

　　(3)k>0，b=0圖像經過一、三象限;

　　(4)k<0，b>0圖像經過一、二、四象限;

　　(5)k<0，b<0圖像經過二、三、四象限;

　　(6)k<0，b=0圖像經過二、四象限。

　　一次函數表達式的確定

　　求一次函數y=kx+b(k、b是常數，k≠0)時，需要由兩個點來確定;求正比例函數y=kx(k≠0)時，只需一個點即可.

　　5.一次函數與二元一次方程組：

　　解方程組

　　從“數”的角度看，自變量(x)為何值時兩個函數的值相等.并

　　求出這個函數值

　　解方程組從“形”的角度看，確定兩直線交點的坐標.

　　數據的分析

　　數據的代表：平均數、眾數、中位數、極差、方差

　　分式方程

　　一、理解定義

　　1、分式方程：含分式，并且分母中含未知數的方程——分式方程。

　　2、解分式方程的思路是：

　　(1)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程。

　　(2)解這個整式方程。

　　(3)把整式方程的根帶入最簡公分母，看結果是不是為零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去。

　　(4)寫出原方程的根。

　　“一化二解三檢驗四總結”

　　3、增根：分式方程的增根必須滿足兩個條件：

　　(1)增根是最簡公分母為0;(2)增根是分式方程化成的整式方程的根。

　　4、分式方程的解法：

　　(1)能化簡的先化簡(2)方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程;

　　(3)解整式方程;(4)驗根;

　　注：解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最簡公分母有可能為0，這樣就產生了增根，因此分式方程一定要驗根。

　　分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解;否則，這個解不是原分式方程的解。

　　5、分式方程解實際問題

　　步驟：審題—設未知數—列方程—解方程—檢驗—寫出答案，檢驗時要注意從方程本身和實際問題兩個方面進行檢驗。

　　二、軸對稱圖形：

　　一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合。這條直線叫做對稱軸。互相重合的點叫做對應點。

　　1、軸對稱：

　　兩個圖形沿一條直線對折，其中一個圖形能夠與另一個圖形完全重合。這條直線叫做對稱軸。互相重合的點叫做對應點。

　　2、軸對稱圖形與軸對稱的區別與聯系：

　　(1)區別。軸對稱圖形討論的是“一個圖形與一條直線的對稱關系”;軸對稱討論的是“兩個圖形與一條直線的對稱關系”。

　　(2)聯系。把軸對稱圖形中“對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形”便是軸對稱;把軸對稱的“兩個圖形看作一個整體”便是軸對稱圖形。

　　3、軸對稱的性質：

　　(1)成軸對稱的兩個圖形全等。

　　(2)對稱軸與連結“對應點的線段”垂直。

　　(3)對應點到對稱軸的距離相等。

　　(4)對應點的連線互相平行。

　　三、用坐標表示軸對稱

　　1、點(x，y)關于x軸對稱的點的坐標為(x，-y);

　　2、點(x，y)關于y軸對稱的點的坐標為(-x，y);

　　3、點(x，y)關于原點對稱的點的坐標為(-x，-y)。

　　四、關于坐標軸夾角平分線對稱

　　點P(x，y)關于第一、三象限坐標軸夾角平分線y=x對稱的點的坐標是(y，x)

　　點P(x，y)關于第二、四象限坐標軸夾角平分線y=-x對稱的點的坐標是(-y，-x)

　　(一)運用公式法：

　　我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過來就是把多項式分解因式。于是有：

　　a2-b2=(a+b)(a-b)

　　a2+2ab+b2=(a+b)2

　　a2-2ab+b2=(a-b)2

　　如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用公式法。

　　(二)平方差公式

　　1.平方差公式

　　(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)

　　(2)語言：兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積。這個公式就是平方差公式。

　　(三)因式分解

　　1.因式分解時，各項如果有公因式應先提公因式，再進一步分解。

　　2.因式分解，必須進行到每一個多項式因式不能再分解為止。

　　(四)完全平方公式

　　(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反過來，就可以得到：

　　a2+2ab+b2 =(a+b)2

　　a2-2ab+b2 =(a-b)2

　　這就是說，兩個數的平方和，加上(或者減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或者差)的平方。

　　把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫完全平方式。

　　上面兩個公式叫完全平方公式。

　　(2)完全平方式的形式和特點

　　①項數：三項

　　②有兩項是兩個數的的平方和，這兩項的符號相同。

　　③有一項是這兩個數的積的兩倍。

　　(3)當多項式中有公因式時，應該先提出公因式，再用公式分解。

　　(4)完全平方公式中的a、b可表示單項式，也可以表示多項式。這里只要將多項式看成一個整體就可以了。

　　(5)分解因式，必須分解到每一個多項式因式都不能再分解為止。

　　(五)分組分解法

　　我們看多項式am+ an+ bm+ bn，這四項中沒有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.

　　如果我們把它分成兩組(am+ an)和(bm+ bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式.

　　原式=(am +an)+(bm+ bn)

　　=a(m+ n)+b(m +n)

　　做到這一步不叫把多項式分解因式，因為它不符合因式分解的意義.但不難看出這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續分解，所以

　　原式=(am +an)+(bm+ bn)

　　=a(m+ n)+b(m+ n)

　　=(m +n)??(a +b).

　　這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.從上面的例子可以看出，如果把一個多項式的項分組并提取公因式后它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式.

　　(六)提公因式法

　　1.在運用提取公因式法把一個多項式因式分解時，首先觀察多項式的結構特點，確定多項式的公因式.當多項式各項的公因式是一個多項式時，可以用設輔助元的方法把它轉化為單項式，也可以把這個多項式因式看作一個整體，直接提取公因式;當多項式各項的公因式是隱含的時候，要把多項式進行適當的變形，或改變符號，直到可確定多項式的公因式.

　　2.運用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)進行因式分解要注意：

　　1.必須先將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數的代數和等于一次項的系數.

　　2.將常數項分解成滿足要求的兩個因數積的多次嘗試，一般步驟：

　　①列出常數項分解成兩個因數的積各種可能情況;

　　②嘗試其中的哪兩個因數的和恰好等于一次項系數.

　　3.將原多項式分解成(x+q)(x+p)的形式.

　　(七)分式的乘除法

　　1.把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.

　　2.分式進行約分的目的是要把這個分式化為最簡分式.

　　3.如果分式的分子或分母是多項式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式.如果分子或分母中的多項式不能分解因式，此時就不能把分子、分母中的某些項單獨約分.

　　4.分式約分中注意正確運用乘方的符號法則，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.

　　5.分式的分子或分母帶符號的n次方，可按分式符號法則，變成整個分式的符號，然后再按-1的偶次方為正、奇次方為負來處理.當然，簡單的分式之分子分母可直接乘方.

　　6.注意混合運算中應先算括號，再算乘方，然后乘除，最后算加減.

　　(八)分數的加減法

　　1.通分與約分雖都是針對分式而言，但卻是兩種相反的變形.約分是針對一個分式而言，而通分是針對多個分式而言;約分是把分式化簡，而通分是把分式化繁，從而把各分式的分母統一起來.

　　2.通分和約分都是依據分式的基本性質進行變形，其共同點是保持分式的值不變.

　　3.一般地，通分結果中，分母不展開而寫成連乘積的形式，分子則乘出來寫成多項式，為進一步運算作準備.

　　4.通分的依據：分式的基本性質.

　　5.通分的關鍵：確定幾個分式的公分母.

　　通常取各分母的所有因式的次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母.

　　6.類比分數的通分得到分式的通分：

　　把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

　　7.同分母分式的加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。

　　同分母的分式加減運算，分母不變，把分子相加減，這就是把分式的運算轉化為整式運算。

　　8.異分母的分式加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變為同分母的分式，然后再加減.

　　9.作為最后結果，如果是分式則應該是最簡分式.

　　(九)含有字母系數的一元一次方程

　　1.含有字母系數的一元一次方程

　　引例：一數的a倍(a≠0)等于b，求這個數。用x表示這個數，根據題意，可得方程ax=b(a≠0)

　　在這個方程中，x是未知數，a和b是用字母表示的已知數。對x來說，字母a是x的系數，b是常數項。這個方程就是一個含有字母系數的一元一次方程。

　　含有字母系數的方程的解法與以前學過的只含有數字系數的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等于零。

　　10.同分母分式相加減，分母不變，只須將分子作加減運算，但注意每個分子是個整體，要適時添上括號.

　　11.對于整式和分式之間的加減運算，則把整式看成一個整體，即看成是分母為1的分式，以便通分.

　　12.異分母分式的加減運算，首先觀察每個公式是否最簡分式，能約分的先約分，使分式簡化，然后再通分，這樣可使運算簡化.

　　第十一章全等三角形復習

　　一、全等三角形

　　1.定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

　　理解：①全等三角形形狀與大小完全相等，與位置無關;②一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形;③三角形全等不因位置發生變化而改變。

　　2、全等三角形有哪些性質

　　(1)全等三角形的對應邊相等、對應角相等。

　　理解：①長邊對長邊，短邊對短邊;角對角，最小角對最小角;②對應角的對邊為對應邊，對應邊對的角為對應角。

　　(2)全等三角形的周長相等、面積相等。

　　(3)全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。

　　3、全等三角形的判定

　　邊邊邊：三邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“SSS”)

　　1、性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

　　2、判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

　　三、學習全等三角形應注意以下幾個問題：

　　(1)要正確區分“對應邊”與“對邊”，“對應角”與“對角”的不同含義;

　　(2表示兩個三角形全等時，表示對應頂點的字母要寫在對應的位置上;

　　(3) “有三個角對應相等”或“有兩邊及其中一邊的對角對應相等”的兩個三角形不一定全等;

　　(4)時刻注意圖形中的隱含條件，如“公共角” 、“公共邊”、“對頂角”

　　(5)截長補短法證三角形全等。

　　第十二章軸對稱

　　一、軸對稱圖形

　　1.把一個圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱。

　　2.把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個圖形完全重合，那么就說這兩個圖關于這條直線

　　4.軸對稱與軸對稱圖形的性質

　　①關于某直線對稱的兩個圖形是全等形。

　　②如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。 ③軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。

　　④如果兩個圖形的對應點連線被同條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。

　　⑤兩個圖形關于某條直線成軸對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。

　　二、線段的垂直平分線

　　1.定義：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。

　　2.性質：線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等

　　3.判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在線段的垂直平分線上

　　三、用坐標表示軸對稱小結：

　　1.在平面直角坐標系中

　　①關于x軸對稱的點橫坐標相等,縱坐標互為相反數;

　　②關于y軸對稱的點橫坐標互為相反數,縱坐標相等;

　　③關于原點對稱的點橫坐標和縱坐標互為相反數;

　　④與X軸或Y軸平行的直線的兩個點橫(縱)坐標的關系;

　　⑤關于與直線X=C或Y=C對稱的坐標

　　點(x, y)關于x軸對稱的點的坐標為_ (x, -y)_____.

　　點(x, y)關于y軸對稱的點的坐標為___(-x, y)___.

　　2.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等

　　四、(等腰三角形)知識點回顧

　　平方差公式:

　　平方差公式有兩項，符號相反切記牢，首加尾乘首減尾，莫與完全公式相混淆。

　　平面直角坐標系

　　平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。

　　水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

　　平面直角坐標系的要素：①在同一平面。②兩條數軸。③互相垂直。④原點重合。

　　三個規定：

　　①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向。

　　②單位長度的規定;一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同;實際有時也可不同，但同一數軸上必須相同。

　　③象限的規定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。

　　平面直角坐標系的構成

　　點的坐標的性質

　　對于平面內任意一點C，過點C分別向X軸、Y軸作垂線，垂足在X軸、Y軸上的對應點a，b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有序實數對(a，b)叫做點C的坐標。

　　一個點在不同的象限或坐標軸上，點的坐標不一樣。

　　因式分解的一般步驟

　　如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法;若是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

　　等邊三角形的性質：

　　等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于600。

　　等邊三角形的判定：

　　①三個角都相等的三角形是等邊三角形。

　　②有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形。

　　在直角三角形中，如果一個銳角等于300，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

　　等腰三角形的性質

　　(1)等腰三角形的性質定理及推論：

　　定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡稱：等邊對等角)

　　推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

　　推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。

　　(2)等腰三角形的其他性質：

　　①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°

　　②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角(或直角)，但頂角可為鈍角(或直角)。

　　③等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則

　　④等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=

　　等腰三角形的判定

　　等腰三角形的判定定理及推論：

　　定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱：等角對等邊)。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。

　　推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形

　　推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

　　推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

　　初二上冊知識點

　　第一章一次函數

　　1 函數的定義,函數的定義域、值域、表達式,函數的圖像

　　2 一次函數和正比例函數,包括他們的表達式、增減性、圖像

　　3 從函數的觀點看方程、方程組和不等式

　　第二章數據的描述

　　1 了解幾種常見的統計圖表：條形圖、扇形圖、折線圖、復合條形圖、直方圖,了解各種圖表的特點

　　條形圖特點：

　　（1）能夠顯示出每組中的具體數據；

　　（2）易于比較數據間的差別

　　扇形圖的特點：

　　（1）用扇形的面積來表示部分在總體中所占的百分比；

　　（2）易于顯示每組數據相對與總數的大小

　　折線圖的特點；

　　易于顯示數據的變化趨勢

　　直方圖的特點：

　　（1）能夠顯示各組頻數分布的情況；

　　（2）易于顯示各組之間頻數的差別

　　2 會用各種統計圖表示出一些實際的問題

　　第三章全等三角形

　　1 全等三角形的性質：

　　全等三角形的對應邊、對應角相等

　　2 全等三角形的判定

　　邊邊邊、邊角邊、角邊角、角角邊、直角三角形的HL定理

　　3 角平分線的性質

　　角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；

　　到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

　　第四章軸對稱

　　1 軸對稱圖形和關于直線對稱的兩個圖形

　　2 軸對稱的性質

　　軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；

　　如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應點所連的線段的垂直平分線；

　　線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；

　　到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

　　3 用坐標表示軸對稱

　　點（x,y）關于x軸對稱的點的坐標是(x,-y),關于y軸對稱的點的坐標是(-x,y),關于原點對稱的點的坐標是(-x,-y).

　　4 等腰三角形

　　等腰三角形的兩個底角相等；（等邊對等角）

　　等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合；（三線合一）

　　一個三角形的兩個相等的角所對的邊也相等.（等角對等邊）

　　5 等邊三角形的性質和判定

　　等邊三角形的三個內角都相等,都等于60度；

　　三個角都相等的三角形是等邊三角形；

　　有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形；

　　推論：

　　直角三角形中,如果有一個銳角是30度,那么他所對的直角邊等于斜邊的一半.

　　在三角形中,大角對大邊,大邊對大角.

　　第五章整式

　　1 整式定義、同類項及其合并

　　2 整式的加減

　　3 整式的乘法

　　（1）同底數冪的乘法：

　　（2）冪的乘方

　　（3）積的乘方

　　（4）整式的乘法

　　4 乘法公式

　　（1）平方差公式

　　（2）完全平方公式

　　5 整式的除法

　　（1）同底數冪的除法

　　（2）整式的除法

　　6 因式分解

　　（1）提共因式法

　　（2）公式法

　　（3）十字相乘法

　　初二下冊知識點

　　第一章分式

　　1 分式及其基本性質

　　分式的分子和分母同時乘以（或除以）一個不等于零的整式,分式的只不變

　　2 分式的運算

　　（1）分式的乘除

　　乘法法則：分式乘以分式,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母

　　除法法則：分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.

　　(2) 分式的加減

　　加減法法則：同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減；

　　異分母分式相加減,先通分,變為同分母的分式,再加減

　　3 整數指數冪的加減乘除法

　　4 分式方程及其解法

　　第二章反比例函數

　　1 反比例函數的表達式、圖像、性質

　　圖像：雙曲線

　　表達式：y=k/x(k不為0)

　　性質：兩支的增減性相同；

　　2 反比例函數在實際問題中的應用

　　第三章勾股定理

　　1 勾股定理：直角三角形的兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方

　　2 勾股定理的逆定理：如果一個三角形中,有兩個邊的平方和等于第三條邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.

　　第四章四邊形

　　1 平行四邊形

　　性質：對邊相等；對角相等；對角線互相平分.

　　判定：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

　　兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

　　對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

　　一組對邊平行而且相等的四邊形是平行四邊形.

　　推論：三角形的中位線平行第三邊,并且等于第三邊的一半.

　　2 特殊的平行四邊形：矩形、菱形、正方形

　　（1）矩形

　　性質：矩形的四個角都是直角；

　　矩形的對角線相等；

　　矩形具有平行四邊形的所有性質

　　判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

　　對角線相等的平行四邊形是矩形；

　　推論：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.

　　（2）菱形

　　性質：菱形的四條邊都相等；

　　菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角；

　　菱形具有平行四邊形的一切性質

　　判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

　　對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

　　四邊相等的四邊形是菱形.

　　（3）正方形：既是一種特殊的矩形,又是一種特殊的菱形,所以它具有矩形和菱形的所有性質.

　　3 梯形：直角梯形和等腰梯形

　　等腰梯形：等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；

　　等腰梯形的兩條對角線相等；

　　同一個底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形.

　　第五章數據的分析

　　加權平均數、中位數、眾數、極差、方差

　　一、函數：

　　一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。

　　二、自變量取值范圍

　　使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。

　　三、函數的三種表示法及其優缺點

　　（1）關系式（解析）法

　　兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關系式（解析）法。

　　（2）列表法

　　把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。

　　（3）圖象法

　　用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。

　　四、由函數關系式畫其圖像的一般步驟

　　（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值

　　（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點

　　（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

　　五、正比例函數和一次函數

　　1、正比例函數和一次函數的概念

　　一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。

　　特別地，當一次函數中的b=0時（即）（k為常數，k0），稱y是x的正比例函數。

　　2、一次函數的圖像：所有一次函數的圖像都是一條直線

　　3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：一次函數的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的直線。

　　初二數學上學期知識點總結

　　不同位置的點的坐標的特征

　　（1）、各象限內點的坐標的特征

　　點P（x，y）在第一象限：x；0，y；0

　　點P（x，y）在第二象限：x；0，y；0

　　點P（x，y）在第三象限：x；0，y；0

　　點P（x，y）在第四象限：x；0，y；0

　　（2）、坐標軸上的點的特征

　　點P（x，y）在x軸上，y=0，x為任意實數

　　點P（x，y）在y軸上，x=0，y為任意實數

　　點P（x，y）既在x軸上，又在y軸上，x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）即原點

　　（3）、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

　　點P（x，y）在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上，x與y相等

　　點P（x，y）在第二、四象限夾角平分線上，x與y互為相反數

　　（4）、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

　　位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。

　　位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。

　　（5）、關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征

　　點P與點p’關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，—y）

　　點P與點p’關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（—x，y）

　　點P與點p’關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P’（—x，—y）

　　等腰三角形判定

　　中線

　　1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；

　　2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等。

　　1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；

　　2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形

　　角平分線

　　1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；

　　2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。

　　1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊（平分對邊），那么這個三角形是等腰三角形；

　　2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三角形是等腰三角形。

　　高線

　　1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；

　　2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和底邊兩端點距離相等。

　　1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形；

　　2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。

　　分式的加減法

　　1、分式與分數類似，也可以通分。根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

　　2、分式的加減法：分式的加減法與分數的加減法一樣，分為同分母的分式相加減與異分母的分式相加減。

　　（1）同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則用式子表示是：

　　（2）異號分母的分式相加減，先通分，變為同分母的分式，然后再加減；上述法則用式子表示是：

　　3、概念內涵：

　　通分的關鍵是確定最簡分母，其方法如下：最簡公分母的系數，取各分母系數的最小公倍數；最簡公分母的字母，取各分母所有字母的次冪的積，如果分母是多項式，則首先對多項式進行因式分解。

　　如何養成良好的數學學習習慣

　　制定計劃，成為習慣

　　無論是學習哪一科，明確的目標計劃都是最基本的方法，也是要被大家說爛了的提高成績的基本。數學也是一樣，雖然公式多，定義多，圖形多，但完全不影響制定數學的學習計劃。學習是一個長久性的打算，因此在制定數學學習內容的過程中可以盡量的詳細一點。比如說每天做多少道題，掌握多少個公式，記住幾個定義等等。這樣才是學好高中數學應該做的步驟。其次就是每天按照自己給自己的規定去做，不要想著偷懶，今天不愛做就留給明天，想著明天多做點補回來。這種想法是非常錯誤的，今天的任務就要今天完成，想著自己為了提高數學成績，無論如何都要努力。

　　預習與復習相結合

　　預習幫助大家在數學課上對知識有一個大概的了解，也對老師要講的內容有個先知，不至于驚訝驚訝老師接下來要講什么。而復習就是對這一堂課的數學學習進行一個驗收和反饋，檢驗自己是否學會數學老師講的內容；反饋自己的學習成效，及時找到自己數學學習的問題以便及時解決。這樣在學習新的數學知識的時候就不會帶著之前留下來的疑問了。這對于學好高中數學，提高數學成績非常有幫助。

　　高質量的完成作業

　　作業是一個很好查缺補漏的過程，因此同學們想要學好數學，就一定要認真完成作業。不要依賴不會就空著等數學老師上課講這樣的想法，這樣只會退步。數學學習就是要不斷的動腦解決問題，所以作業要完成，還要高質量的去完成，這樣才能不斷提高自己的能力。不要空太多的題不寫，就只等著老師公布正確答案和解題過程，這樣一來，需要自己消化的數學問題就因為自己的懶惰變得越來越多，以至于影響之后的學習效率。

　　數學最常用且非常實用的學習方法

　　1、預習很重要：

　　往往被忽略，理由：沒時間，看不懂，不必要等。預習是學習的必要過程，還是提高自學能力的好方法。

　　2、聽講有學問：

　　聽分析、聽思路、聽應用，關鍵內容一字不漏，注意記錄。

　　3、做好錯題本：

　　每個會學習的學生都會有。最好再加個“好題本”。發現許多同學沒有錯題本，或者是只做不用。這樣學習效果都不好。

　　4、用好課外書：

　　正確認識網絡課程和課外書籍，是副食，是幫助吸收的良藥，絕對不是課堂學習的替代品。

　　5、注意總結和反思：

　　知識點、解題方法和技巧、經驗和教訓。

　　6、接受數學思想方法的指導：

　　要注意數學思想和方法的指導，站得高，才能看得遠。

　　關于數學常見誤區有哪些

　　1、被動學習

　　許多同學進入高中后，還像初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習主動權。表現在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”，沒有真正理解所學內容。

　　2、學不得法

　　老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課后又不能及時鞏固、總結、尋找知識間的聯系，只是趕做作業，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背。也有的晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍功半，收效甚微。

　　3、不重視基礎

　　一些“自我感覺良好”的同學，常輕視基本知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經常是知道怎么做就算了，而不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高鶩遠，重“量”輕“質”，陷入題海。到正規作業或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”。

　　4、進一步學習條件不具備

　　高中數學與初中數學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好準備。高中數學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數在閉區間上的最值問題，函數值域的求法，實根分布與參變量方程，三角公式的變形與靈活運用，空間概念的形成，排列組合應用題及實際應用問題等。客觀上這些觀點就是分化點，有的內容還是高初中教材都不講的脫節內容，如不采取補救措施，查缺補漏，分化是不可避免的。

　　數據的分析

　　將一組數據按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數(median);如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數。

　　一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數(mode)。

　　一組數據中的最大數據與最小數據的差叫做這組數據的極差(range)。

　　方差越大，數據的波動越大;方差越小，數據的波動越小，就越穩定。

　　數據的收集與整理的步驟：1.收集數據 2.整理數據 3.描述數據 4.分析數據 5.撰寫調查報告

　　平面直角坐標系

　　平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。

　　水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

　　平面直角坐標系的要素：①在同一平面②兩條數軸③互相垂直④原點重合

　　三個規定：

　　①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向