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空間向量的數量積及其應用說課稿
一、教材分析：
（一） 教材的地位、作用：
向量作為一種基本工具，在數學解題中有著極其重要的地位和作用。利用向量知識，可以解決不少復雜的的代數幾何問題。《空間向量數量積及其應用》，計劃安排兩節課時，本節課是第2課時。也就是，在有了平面向量數量積公式，空間向量坐標表示，以及空間向量數量積的基礎知識之后，本節課是進一步去認識、掌握空間向量數量積的變形公式，然后，圍繞著空間向量的幾何應用展開討論和研究。
通常，按照傳統方法解立體幾何題，需要有較強的空間想象能力、邏輯推理能力以及作圖能力，學生往往由于這些能力的不足造成解題困難。用向量處理立體幾何問題，可使學生克服空間想象力的障礙而順利解題，為研究立體幾何提供了新的思想方法和工具，具有相當大的優越性；而且，在豐富學生思維結構的同時，應用數學的能力也得到了鍛煉和提高。
（二） 教學目標：
知識目標：① 掌握空間向量的數量積公式及向量的夾角公式；
② 運用公式解決立體幾何中的有關問題。
能力目標：① 比較平面、空間向量，培養學生觀察、分析、類比轉化的能力；
② 探究空間幾何圖形，將幾何問題代數化，提高分析問題、解決問題的能力。
情感態度、價值觀目標：
① 通過師生的合作與交流，體現教師為主導、學生為主體的教學模式；
② 通過空間向量在立體幾何中的應用，提高學生的空間想象力，培養學生探索精神和創新意識，讓學生感受數學，體會數學美的魅力，激發學生學數學、用數學的熱情。
（三）教學重點、難點：
重點：空間向量數量積公式及其應用。
難點：如何將幾何問題等價轉化為向量問題；在此基礎上，通過向量運算解決幾何問題。
二、教法、學法分析：
教法：采取啟發引導、形數轉化、反饋評價等方式；
學法：體現自主探索、觀察發現、類比猜想、合作交流等形式。
三、教學過程分析：
根據二期課改的精神，本著“以學生發展為本”的教學理念，結合學生實際，對教學內容作了如下的調整：基于教材中主要是運用向量夾角求異面直線所成的角，所以，首先讓學生掌握教材所要求的基本面；其次，鑒于向量兼容了代數、幾何的特色，有著其獨特的魅力和發展前景，為進一步讓學生感受“向量法”的優勢，安排了兩個分別運用向量的“代數運算”和“幾何運算”來處理空間幾何問題的典型例題，為解決空間的度量、位置關系問題找到一種新方法，進一步拓展了學生的思維渠道。以下，是我制定的教學流程：
創設情境，提出問題 類比猜想，探求新知 公式運用，鞏固提高 回顧小結，整體感知 課外探究，激發熱情
教學過程如下：
（一） 創設情境：
給出問題一：已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AE=EA1，
D1F= ，如何確定 的夾角？
[設計意圖]：問題的給出，一時之間可能會使學生感到突然，但預計應該會讓他們聯想到平面向量的夾角公式，由此作一番類比猜想，起到溫故知新的作用。
[處理過程]：
設問：平面向量的夾角問題如何求得的？
是否可將平面內求得兩向量的夾角公式推廣到空間？公式的形式是否會有所變化？
學生活動：回顧平面向量數量積、向量夾角公式及其坐標表示；類比猜想，認識空間向量的夾角問題。
（二） 建構數學：（板書）
對于空間兩個非零向量
（三） 公式運用：
1、問題一的解決：
①學生活動：解決上述問題。
②.變式運用：已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
AE=EA1，D1F= ，求BE、FD所成的角？
[設計意圖]：初步體會立幾法、向量法來解決幾何問題，并注意區分兩個向量夾角與兩條異面直線間的夾角。
[處理過程]：（由以往教學實踐，部分學生可能想到用傳統的幾何方法）
設問：如何用向量方法求BE、FD所成的角？
（引導學生建立空間直角坐標系，求得B、D、E、F的坐標，進一步得到 的坐標，最后代入空間向量夾角公式…計算得出的向量夾角是鈍角，而異面直線成銳角。）
[評價]：
① 異面直線所成的角可由向量的夾角來解決，可見，解決立體幾何的有關問題時，方法并不唯一。在此，可以比較向量法和幾何法，選擇適當方法，解決問題。
② 兩個向量夾角與兩條異面直線間的夾角是有區別的。
2.問題二的探究：
如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，
AC=1，CB= ，側棱AA1=1，側面AA1B1B的
兩條對角線交點為D，B1C1中點為M。
（1）求證：CD⊥平面BDM；
（2）求面B1BD與面CBD所成二面角的大小。
[設計意圖]：通過立幾法、向量法的嘗試，讓學生明顯感受到運用向量法的優越性。
[處理過程]：
① 學生活動：讓學生先試行用傳統方法解決問題，估計不少學生會感到有一定困難。
[設問]：類似于上題做法，能否用向量法解決這一問題？
② 學生活動：進入思考討論
③ 相互分析交流——達成共識：
（i） 證明線面垂直可轉化為證線線垂直，進一步轉化為證向量間的垂直，即向量的數量積等于零;
（ii） 求二面角的平面角，轉化為求那兩條與二面角的棱垂直的射線所成的角，在此，可構造兩向量（提醒其方向，及向量始點的自由、不唯一性），然后求其夾角，從而解決問題。
④ 解題過程：
[評價]：“傳統解法”需作輔助線，有時不易作出；而使用“向量解法”，程序化強，便于操作，求解的關鍵在于建立適當的空間直角坐標系（基本原則：使圖中盡可能多的點落在坐標軸上，這樣便于用坐標表示相關的點及向量），然后利用坐標系確定各相關的點及向量坐標，再借助向量坐標運算法則及公式，無需添加輔助線，即可達到解題的目的。
3.小結，利用空間向量解決立體幾何中有關問題的一般步驟：(學生回答，教師補充，板書)
（1）適當地構建空間直角坐標系；
（2）用坐標表示相關的點、空間向量；
（3）進行空間向量的運算；
（4）體煉共性，轉化為幾何結論。
（四） 歸納總結：
引導學生總結本節課的收獲，相互交流。
（五） 課外探究：
（這是2000年高考題）如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的
底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，
當 的值是多少時，能使A1C⊥平面C1BD，請給出證明。
[設計意圖]：這是2000年高考第18題第3小題，是個探索型問題。把它放在這里，一方面：在高二階段，接觸到高考題，學生的興趣頗高，可調動學生的學習熱情，增強學生的主體意識；另一方面，解題中，再次讓學生感受到：單純用立體幾何知識解答較繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目標明確，從而大大降低了求解的難度，同時亦可激發他們不斷求知、不斷探索的欲望。
（六） 布置作業
[板書設計]
課題引入： 問題一的解決： 課外探究：
空間向量數量積、夾角公式：
問題二的解決： 布置作業：
用向量解幾何題的步驟：
四、教學反思：
本節課的設計，力求體現“以學生發展為本”的教學理念。教學過程中，以問題為載體，學生活動為主線，為學生提供了探究問題、分析問題、解決問題的活動空間。例題內容的安排上，注意逐步推進，力求使教師的啟發引導與學生的思維同步，順應學生學習數學的過程，促進學生認知結構的發展；另外，課外探究題給學生留下廣闊的思維空間和拓展探索的余地，讓學生體驗到數學活動充滿了探索和創造。在教學過程中，注意到培養學生合作交流的意識和能力。
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