競賽題平方數(shù)解法與推廣的分析論文

　　競賽題平方數(shù)解法與推廣的分析論文

　　一、選題依據(jù)（背景與意義、國內外研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢）

　　在某種程度上，數(shù)學的整個對象就是在原來似乎混沌占統(tǒng)治地位的地方創(chuàng)造秩序，從無序和混沌之中抽取出結構和不變量。所以，把無序的數(shù)字轉化為有序的模型，這才是數(shù)學家乃至所有數(shù)學愛好者所追求的。

　　平方數(shù)，也叫完全平方數(shù)或正方形數(shù)，是可以寫成整數(shù)的二次方的數(shù)。它是一種很“完美”的數(shù)，有關于它有許多很有序的規(guī)律，至今為止，已經(jīng)有很多的數(shù)學愛好者樂此不疲地去研究它，而且也得出了不少有趣而且有用的結論。至今為止，平方數(shù)的一些基本的性質。例如，性質1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。性質2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。等等。

　　還有很多著名的數(shù)學家長久以來樂此不疲地研究平方數(shù)，也把它的有關知識作為一種工具用于證明、計算其他定理、命題。例如，意大利著名的數(shù)學家Lagrange，他在整數(shù)論上也有有關平方數(shù)的Lagrange定理：任何一個正整數(shù)都可寫成四個平方數(shù)之和。并且在證明中他運用了歐拉恒等式：若則

　　此類例子還有很多，在此不一一列舉了。

　　本論文是對一道有關平方數(shù)的競賽題的解法與推廣，我的目標是從無序的題目中找出有序的、有規(guī)律的結果，從而體會數(shù)學的規(guī)律美。過程主要是猜想——計算機輔助驗證——數(shù)學方法證明。

　　猜想在一般的觀念里，似乎是具有一定的偶然性，但實際上，猜想要靠長期積累下來的對數(shù)學的直覺和經(jīng)驗形成一種敏銳的洞察力和技巧。這是一個長期的過程。

　　數(shù)學題不一定單純地做出答案就行了，很多情況下還可以更深入地研究，挖掘出它的背景，進行再推廣、再發(fā)散。很多看似簡單的數(shù)學題其背后的內容卻是十分豐富的，需要有心人去探討研究，這樣才能真正深刻的理解。有些計算量相當大的數(shù)學題應用筆算和一般的計算器已經(jīng)不能滿足需求，這時我們要借助計算機，利用程序設計來解。現(xiàn)在我就要解一道有關于平方數(shù)的競賽題，由于計算量相當?shù)拇�，筆算和一般的計算器已經(jīng)不能滿足需求，所以我通過在VisualBasic6.0環(huán)境下對算法進行分析和驗證，驗證結論的正確性。

　　那些最初表現(xiàn)為令人懷疑的東西，只有經(jīng)過某種思維過程后，再通過起批準和保證作用的證明，才能最終表現(xiàn)為無可置疑的真理。證明通過揭示事物的核心而增強理解，是數(shù)學的力量。

　　二、研究目標與主要內容（含論文提綱）

　　研究目標：本論文主要研究型如平方數(shù)的結構，我們知道，，，，等關于的結果是無序的，而對于，先關于n代入幾個數(shù)，例如，，，，……，由此猜想：，并且這個結果可以用數(shù)學歸納法證明，所以是有序的。再進一步可得，關于的輸出結果也是有序的。在競賽數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn)有關平方數(shù)的一些問題，因此系統(tǒng)研究型如平方數(shù)，當取什么值時，其結果是有序的，既有理論價值又有應用價值。

　　論文提綱：首先，尋找可能的取值。當n取比較小的值時，可以采用筆算的方法來計算結果、找尋規(guī)律，但當n取比較大的值時，發(fā)現(xiàn)計算量相當大，用筆算和一般的計算器已經(jīng)遠遠不能滿足需求，這時就會想到借助計算機輔助計算，利用程序設計來解。我采用的是VisualBasic（簡稱VB）這種常見的程序設計語言。一種語言就是一種思想。經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)當取任意正整數(shù)，而時，都可以產(chǎn)生有序的結果。

　　找規(guī)律：當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，……

　　由此可猜想得出：的一個有序的結果。同樣道理，、也可得出有序的結果，也可發(fā)現(xiàn)、、、、的結果沒有一定的規(guī)律可尋。猜想在一般的觀念里，似乎是具有一定的偶然性，但實際上，猜想要靠長期積累下來的對數(shù)學的直覺和經(jīng)驗形成一種敏銳的洞察力和技巧。這是一個長期的過程。

　　然后，利用計算機輔助計算驗證預期結果對某些初值的正確性。

　　最后，利用數(shù)學方法給出嚴謹?shù)恼撟C，而我所采用的論證方法是簡單易懂的數(shù)學歸納法。

　　三、擬采取的研究方法、研究手段及技術路線、實驗方案等

　　利用文獻研究法與理論研究法，通過圖書館、書店、網(wǎng)絡等途徑對平方數(shù)相關各方面的資料進行查閱、研究、歸納、總結。理論與實踐研究法相結合。先是通過對一些簡單的n值進行觀察，再用筆算和計算器進行初步計算，根據(jù)已得的結果，推廣到極大的n值，進行理論上的猜想，然后運用計算機輔助（VisualBasic）這種常見的程序設計語言計算驗證，最后證明猜想的結果。

　　四、研究的整體方案與工作進度安排（內容、步驟、時間）

　　進度安排：

　　序號時間內容

　　112.1-2.14明確選題并完成文獻綜述和外文資料翻譯

　　22.14-2.28完成開題報告并舉行開題報告會

　　33.1-3.20完成計算、實驗和繪圖，并完成論文的引言部分

　　43.20-3.30完成論文的初稿

　　53.30-4.20指導教師閱讀審看并修改，完成終稿

　　64.20-4.30論文答辯，學生材料上交教務科

　　75.1-5.15教務科材料匯總整理上

　　五、研究的預期目標及主要特點

　　預期目標：在某種程度上，數(shù)學的整個對象就是在原來似乎混沌占統(tǒng)治地位的地方創(chuàng)造秩序，從無序和混沌之中抽取出結構和不變量。所以，把無序的數(shù)字轉化為有序的模型，這才是數(shù)學家乃至所有數(shù)學愛好者所追求的。本論文就是研究一種平方數(shù)，從一種無序的結果轉化為有序的、有規(guī)律的結果。

　　主要特點：進行大膽的猜想，運用計算機輔助計算幫助驗證結果，得出的結論很有規(guī)律性。

　　六、指導教師意見：

　　指導教師簽名：

　　年月日

　　七、教研室或系審核意見：

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