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高中數學教案【薦】
作為一名為他人授業解惑的教育工作者，通常需要用到教案來輔助教學，教案是備課向課堂教學轉化的關節點。優秀的教案都具備一些什么特點呢？以下是小編為大家整理的高中數學教案，歡迎閱讀與收藏。
高中數學教案1
教學目標
理解數列的概念，掌握數列的運用
教學重難點
理解數列的概念，掌握數列的運用
教學過程
【知識點精講】
1、數列：按照一定次序排列的一列數(與順序有關)
2、通項公式：數列的第n項an與n之間的函數關系用一個公式來表示an=f(n)。
(通項公式不)
3、數列的表示:
(1)列舉法:如1,3,5,7,9……;
(2)圖解法:由(n,an)點構成;
(3)解析法:用通項公式表示,如an=2n+1
(4)遞推法:用前n項的值與它相鄰的項之間的關系表示各項,如a1=1,an=1+2an-1
4、數列分類：有窮數列，無窮數列;遞增數列，遞減數列，擺動數列，常數數列;有界數列，xx數列
5、任意數列{an}的前n項和的性質
高中數學教案2
內容分析：
1、 集合是中學數學的一個重要的基本概念
在小學數學中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進一步應用集合的語言表述一些問題。例如，在代數中用到的有數集、解集等；在幾何中用到的有點集。至于邏輯，可以說，從開始學習數學就離不開對邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中，也是認識問題、研究問題不可缺少的工具。這些可以幫助學生認識學習本章的意義，也是本章學習的基礎。
把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數學的最開始，是因為在高中數學中，這些知識與其他內容有著密切聯系，它們是學習、掌握和使用數學語言的基礎
例如，下一章講函數的概念與性質，就離不開集合與邏輯。
本節首先從初中代數與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結合實例對集合的概念作了說明
然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。
這節課主要學習全章的引言和集合的基本概念
學習引言是引發學生的學習興趣，使學生認識學習本章的意義
本節課的教學重點是集合的基本概念。
集合是集合論中的原始的、不定義的概念
在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個初步認識
教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集
”這句話，只是對集合概念的描述性說明。
教學過程：
一、復習引入：
1．簡介數集的發展，復習最大公約數和最小公倍數，質數與和數；
2．教材中的章頭引言；
3．集合論的創始人——康托爾（德國數學家）（見附錄）；
4．“物以類聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P4）。
二、講解新課：
閱讀教材第一部分，問題如下：
（1）有那些概念？是如何定義的？
（2）有那些符號？是如何表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有關概念：由一些數、一些點、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說，每一組對象的全體形成一個集合，或者說，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集.集合中的每個對象叫做這個集合的元素.
定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合．
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合（簡稱集）
（2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素
2、常用數集及記法
（1）非負整數集（自然數集）：全體非負整數的集合，記作N，N={0,1,2,…}
（2）正整數集：非負整數集內排除0的集，記作N*或N+，N*={1,2,3,…}
（3）整數集：全體整數的集合，記作Z ,Z={0,±1,±2,…}
（4）有理數集：全體有理數的集合，記作Q，Q={整數與分數}
（5）實數集：全體實數的集合，記作R，R={數軸上所有點所對應的數}
注：（1）自然數集與非負整數集是相同的，也就是說，自然數集包括數0
（2）非負整數集內排除0的集，記作N*或N+
Q、Z、R等其它數集內排除0的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除0的集，表示成Z*
3、元素對于集合的隸屬關系
（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A
（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作aA
4、集合中元素的特性
（1）確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可
（2）互異性：集合中的元素沒有重復
（3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序寫出）
5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
⑵“∈”的開口方向，不能把a∈A顛倒過來寫。
高中數學教案3
1.教學目標
(1)知識目標: 1.在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程;
2.會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據條件寫出圓的方程.
(2)能力目標: 1.進一步培養學生用解析法研究幾何問題的能力;
2.使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解;
3.增強學生用數學的意識.
(3)情感目標:培養學生主動探究知識、合作交流的意識,在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣.
2.教學重點.難點
(1)教學重點:圓的標準方程的求法及其應用.
(2)教學難點:會根據不同的已知條件,利用待定系數法求圓的標準方程以及選擇恰
當的坐標系解決與圓有關的實際問題.
3.教學過程
(一)創設情境(啟迪思維)
問題一:已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛入這個隧道?
[引導] 畫圖建系
[學生活動]:嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習)
解:以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑ab所在直線為x軸,建立直角坐標系,則半圓的方程為x2 y2=16(y≥0)
將x=2.7代入,得 .
即在離隧道中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛入這個隧道。
(二)深入探究(獲得新知)
問題二:1.根據問題一的探究能不能得到圓心在原點,半徑為 的圓的方程?
答:x2 y2=r2
2.如果圓心在 ,半徑為 時又如何呢?
[學生活動] 探究圓的方程。
[教師預設] 方法一:坐標法
如圖,設m(x,y)是圓上任意一點,根據定義點m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}
由兩點間的距離公式,點m適合的條件可表示為 ①
把①式兩邊平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2
方法二:圖形變換法
方法三:向量平移法
(三)應用舉例(鞏固提高)
i.直接應用(內化新知)
問題三:1.寫出下列各圓的方程(課本p77練習1)
(1)圓心在原點,半徑為3;
(2)圓心在 ,半徑為 ;
(3)經過點 ,圓心在點 .
2.根據圓的方程寫出圓心和半徑
(1) ; (2) .
ii.靈活應用(提升能力)
問題四:1.求以 為圓心,并且和直線 相切的圓的方程.
[教師引導]由問題三知:圓心與半徑可以確定圓.
2.已知圓的方程為 ,求過圓上一點 的切線方程.
[學生活動]探究方法
[教師預設]
方法一:待定系數法(利用幾何關系求斜率-垂直)
方法二:待定系數法(利用代數關系求斜率-聯立方程)
方法三:軌跡法(利用勾股定理列關系式) [多媒體課件演示]
方法四:軌跡法(利用向量垂直列關系式)
3.你能歸納出具有一般性的結論嗎?
已知圓的方程是 ,經過圓上一點 的切線的方程是: .
iii.實際應用(回歸自然)
問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱 的長度(精確到0.01m).
[多媒體課件演示創設實際問題情境]
(四)反饋訓練(形成方法)
問題六:1.求以c(-1,-5)為圓心,并且和y軸相切的圓的方程.
2.已知點a(-4,-5),b(6,-1),求以ab為直徑的圓的方程.
3.求圓x2 y2=13過點(-2,3)的切線方程.
4.已知圓的方程為 ,求過點 的切線方程.
高中數學教案4
教學目的：掌握圓的標準方程，并能解決與之有關的問題
教學重點：圓的標準方程及有關運用
教學難點：標準方程的靈活運用
教學過程：
一、導入新課，探究標準方程
二、掌握知識，鞏固練習
練習：⒈說出下列圓的方程
⑴圓心（3，-2）半徑為5⑵圓心（0，3）半徑為3
⒉指出下列圓的圓心和半徑
⑴（x-2）2+(y+3)2=3
⑵x2+y2=2
⑶x2+y2-6x+4y+12=0
⒊判斷3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置關系
⒋圓心為（1，3），并與3x-4y-7=0相切，求這個圓的方程
三、引伸提高，講解例題
例1、圓心在y=-2x上，過p(2，-1)且與x-y=1相切求圓的方程（突出待定系數的數學方法）
練習：1、某圓過(-2，1)、(2，3)，圓心在x軸上，求其方程。
2、某圓過A(-10，0)、B(10，0)、C(0，4)，求圓的方程。
例2：某圓拱橋的跨度為20米，拱高為4米，在建造時每隔4米加一個支柱支撐，求A2P2的長度。
例3、點M(x0，y0)在x2+y2=r2上，求過M的圓的切線方程(一題多解，訓練思維)
四、小結練習P771，2，3，4
五、作業P811，2，3，4
高中數學教案5
=
=425a0b0=425.
點評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負指數冪的定義把負指數化成正指數，另一個方法是采用分式的基本性質把負指數化成正指數。
(3)5-26+7-43-6-42
=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2
=3-2+2-3-2+2=0.
點評：考慮根號里面的數是一個完全平方數，千萬注意方根的性質的運用。
例3已知，n∈正整數集，求(x+1+x2)n的值。
活動：學生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應先化簡，然后再求值，要有預見性，與具有對稱性，它們的積是常數1，為我們解題提供了思路，教師引導學生考慮問題的思路，必要時給予提示。
= 。
這時應看到1+x2=，
這樣先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可。
解：將代入1+x2，得1+x2=，
所以(x+1+x2)n=
=
= =5.
點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關鍵，要深刻理解這種做法。
知能訓練
課本習題2.1A組3.
利用投影儀投射下列補充練習：
1、化簡：的結果是（）
A. B.
C. D.
解析：根據本題的特點，注意到它的整體性，特別是指數的規律性，我們可以進行適當的變形。
因為，所以原式的分子分母同乘以。
依次類推，所以。
答案：A
2、計算2790.5+0.1-2+ -3π0+9-0.5+490.5×2-4.
解：原式=
=53+100+916-3+13+716=100.
3、計算a+2a-1+a-2a-1(a≥1)。
解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1)。
本題可以繼續向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習。
4、設a>0，，則(x+1+x2)n的值為__________.
解析：1+x2= 。
這樣先算出1+x2，再算出1+x2，
將代入1+x2，得1+x2= 。
所以(x+1+x2)n=
= =a.
答案：a
拓展提升
參照我們說明無理數指數冪的意義的過程，請你說明無理數指數冪的意義。
活動：教師引導學生回顧無理數指數冪的意義的過程，利用計算器計算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據這些近似值計算的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意義，學生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結果。
解：3=1.732 050 80…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表。
3的過剩近似值
的過剩近似值
3的不足近似值
的不足近似值
1.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 585
1.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 183
1.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 342
1.732 1 3.322 110 36 1.731 9 3.321 649 849
1.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 2
1.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 923
1.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 838
1.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045
… … … …
我們把用2作底數，3的不足近似值作指數的各個冪排成從小到大的一列數
21.7,21.72,21.731,21.731 9，…，
同樣把用2作底數，3的過剩近似值作指數的各個冪排成從大到小的一列數：
21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數的冪2α會越來越趨近于同一個數，我們把這個數記為，
即21.7<21.73<21.731<21.731 9<…< <…<21.732 1<21.733<21.74<21.8.
也就是說是一個實數，=3.321 997 …也可以這樣解釋：
當3的過剩近似值從大于3的方向逼近3時，23的近似值從大于的方向逼近；
當3的不足近似值從小于3的方向逼近3時，23的近似值從小于的方向逼近。
所以就是一串有理指數冪21.7,21.73,21.731,21.731 9，…，和另一串有理指數冪21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述規律變化的結果，即≈3.321 997.
課堂小結
（1）無理指數冪的意義。
一般地，無理數指數冪aα（a>0，α是無理數）是一個確定的實數。
（2）實數指數冪的運算性質：
對任意的實數r，s，均有下面的運算性質：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。
（3）逼近的思想，體會無限接近的含義。
作業
課本習題2.1 B組2.
設計感想
無理數指數是指數概念的又一次擴充，教學中要讓學生通過多媒體的演示，理解無理數指數冪的意義，教學中也可以讓學生自己通過實際情況去探索，自己得出結論，加深對概念的理解，本堂課內容較為抽象，又不能進行推理，只能通過多媒體的教學手段，讓學生體會，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習，提高學生理解問題、分析問題的能力。
備課資料
【備用習題】
1、以下各式中成立且結果為最簡根式的是（）
A.a?5a3a?10a7=10a4
B.3xy2(xy)2=y?3x2
C.a2bb3aab3=8a7b15
D.(35-125)3=5+125125-235?125
答案：B
2、對于a>0，r，s∈Q，以下運算中正確的是（）
A.ar?as=ars B.(ar)s=ars
C.abr=ar?bs D.arbs=(ab)r+s
答案：B
3、式子x-2x-1=x-2x-1成立當且僅當（）
A.x-2x-1≥0 B.x≠1 C.x<1 D.x≥2
解析：方法一：
要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-1>0，x-2≥0，即x≥2.
若x≥2，則式子x-2x-1=x-2x-1成立。
故選D.
方法二：
對A，式子x-2x-1≥0連式子成立也保證不了，尤其x-2≤0，x-1<0時式子不成立。
對B，x-1<0時式子不成立。
對C，x<1時x-1無意義。
對D正確。
答案：D
4、化簡b-(2b-1)(1
解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1
5、計算32+5+32-5.
解：令x=32+5+32-5，
兩邊立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.
∵x2+x+4=x+122+154>0，∴x-1=0，即x=1.
∴32+5+32-5=1.
高中數學教案6
教學目標：
1、使學生了解角的形成，理解角的概念掌握角的各種表示法；
2、通過觀察、操作培養學生的觀察能力和動手操作能力。
3、使學生掌握度、分、秒的進位制,會作度、分、秒間的單位互化
4、采用自學與小組合作學習相結合的方法，培養學生主動參與、勇于探究的精神。
教學重點：
理解角的概念，掌握角的三種表示方法
教學難點：
掌握度、分、秒的進位制, ,會作度、分、秒間的單位互化
教學手段：
教具：電腦課件、實物投影、量角器
學具：量角器需測量的角
教學過程：
一、建立角的概念
（一）引入角（利用課件演示）
1、從生活中引入
提問：
A、以前我們曾經認識過角，那你們能從這兩個圖形中指出哪些地方是角嗎？
B、在我們的生活當中存在著許許多多的角。一起看一看。誰能從這些常用的物品中找出角？
2、從射線引入
提問：
A、昨天我們認識了射線，想從一點可以引出多少條射線？
B、如果從一點出發任意取兩條射線，那出現的是什么圖形？
C、哪兩條射線可以組成一個角？誰來指一指。
（二）認識角，總結角的定義
3、 過渡：角是怎么形成的呢？一起看
（1）、演示：老師在這畫上一個點，現在從這點出發引出一條射線，再從這點出發引出第二條射線。
提問：觀察從這點引出了幾條射線？此時所組成的圖形是什么圖形？
（2）、判斷下列哪些圖形是角。
（√） （×） （√） （×） （√）
為何第二幅和第四幅圖形不是角？（學生回答）
誰能用自己的話來概括一下怎樣組成的圖形叫做角？
總結：有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角（angle）
角的第二定義：角也可以看做由一條射線繞端點旋轉所形成的圖形.如下圖中的角，可以看做射線OA繞端點0按逆時針方向旋轉到OB所形成的我們把OA叫做角的始邊，OB叫做角的終邊.
B
0 A
4、認識角的各部分名稱，明確頂點、邊的作用
（1）觀看角的圖形提問：這個點叫什么？這兩條射線叫什么？（學生邊說師邊標名稱）
（2）角可以畫在本上、黑板上，那角的位置是由誰決定的?
（3）頂點可以確定角的位置，從頂點引出的兩條邊可以組成一個角。
5、學會用符號表示角
提問：那么,角的符號是什么?該怎么寫,怎么讀的呢?(電腦顯示)
（1）可以標上三個大寫字母,寫作:∠ABC或∠CBA,讀作:角ABC或角CBA.
（2）觀察這兩種方法,有什么特點?(字母B都在中間)
（3）所以,在只有一個角的時候,我們還可以寫作: ∠B,讀作:角B
（4）為了方便,有時我們還可以標上數字,寫作∠1,讀作:角1
（5）注:區別 “∠”和“<”的不同。請同學們指著用學具折出的一個角,訓練一下這三種讀法。
6、強調角的大小與兩邊張開的程度有關，與兩條邊的長短無關。
二、 角的度量
1、學習角的度量
（1）教學生認識量角器
(2) 認識了量角器，那怎樣使用它去測量角的度數呢？這部分知識請同學們合作學習。
提出要求：小組合作邊學習測量方法邊嘗試測量
第一個角，想想有幾種方法？
1、要求合作學習探究、測量。
2、反饋匯報：學生邊演示邊復述過程
3、教師利用課件演示正確的操作過程，糾正學生中存在的問題。
4、歸納概括測量方法（兩重合一對）
（1）用量角器的中心點與角的頂點重合
（2）零刻度線與角的一邊重合（可與內零度刻度線重合；也可與外零度刻度線重合）
（3）另一條邊所對的角的度數，就是這個角的度數。
5、小結：同一個角無論是用內刻度量角，還是用外刻度量角，結果都一樣。
6、獨立練習測量角的度數（書做一做中第一題1，3與第二題）
（1） 獨立測量，師注意查看學生中存在的問題。
（2） 課件演示糾正問題
三、度、分、秒的進位制及這些單位間的互化
為了更精細地度量角，我們引入更小的角度單位：分、秒.把1°的角等分成60份，每份叫做1分記作1′；把1′的角再等分成60份，每份叫做1秒的角，1秒記作1″.
1°=60′，1′=60″；
1′=（ ）°，1″=（ ）′.
例1 將57.32°用度、分、秒表示.
解：先把0.32°化為分，
0.32°=60′×0.32=19.2′.
再把0.2′化為秒，
0.2′=60″×0.2=12″.
所以 57.32″=57°19′12″.
例2 把10°6′36″用度表示.
解：先把36″化為分，
36″=（ ）′×36=0.6′
6′+0.6′=6.6′.
再把6.6′化為度，
6.6′=（ ）°×6.6=0.11°.
所以 10°6′36″=10.11°.
四、鞏固練習
課本P122練習
五、總結：請大家回憶一下，今天都學了那些知識，通過學習你想說些什么？
六、作業：課本P123 3、4.（1）（3）、5.（2）（4）
高中數學教案7
一、單元教學內容
(1)算法的基本概念
(2)算法的基本結構：順序、條件、循環結構
(3)算法的基本語句：輸入、輸出、賦值、條件、循環語句
二、單元教學內容分析
算法是數學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎。隨著現代信息技術飛速發展，算法在科學技術、社會發展中發揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養。需要特別指出的是，中國古代數學中蘊涵了豐富的算法思想。在本模塊中，學生將在中學教育階段初步感受算法思想的基礎上，結合對具體數學實例的分析，體驗程序框圖在解決問題中的作用;通過模仿、操作、探索，學習設計程序框圖表達解決問題的過程;體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力
三、單元教學課時安排：
1、算法的基本概念3課時
2、程序框圖與算法的基本結構5課時
3、算法的基本語句2課時
四、單元教學目標分析
1、通過對解決具體問題過程與步驟的分析體會算法的思想，了解算法的含義
2、通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件、循環結構。
3、經歷將具體問題的程序框圖轉化為程序語句的過程，理解幾種基本算法語句：輸入、輸出、斌值、條件、循環語句，進一步體會算法的基本思想。
4、通過閱讀中國古代數學中的算法案例，體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻。
五、單元教學重點與難點分析
1、重點
(1)理解算法的含義(2)掌握算法的基本結構(3)會用算法語句解決簡單的實際問題
2、難點
(1)程序框圖(2)變量與賦值(3)循環結構(4)算法設計
六、單元總體教學方法
本章教學采用啟發式教學，輔以觀察法、發現法、練習法、講解法。采用這些方法的原因是學生的邏輯能力不是很強，只能通過對實例的認真領會及一定的練習才能掌握本節知識。
七、單元展開方式與特點
1、展開方式
自然語言→程序框圖→算法語句
2、特點
(1)螺旋上升分層遞進(2)整合滲透前呼后應(3)三線合一橫向貫通(4)彈性處理多樣選擇
八、單元教學過程分析
1.算法基本概念教學過程分析
對生活中的實際問題通過對解決具體問題過程與步驟的分析(喝茶，如二元一次方程組求解問題)，體會算法的思想，了解算法的含義，能用自然語言描述算法。
2.算法的流程圖教學過程分析
對生活中的實際問題通過模仿、操作、探索，經歷通過設計流程圖表達解決問題的過程，了解算法和程序語言的區別;在具體問題的解決過程中，理解流程圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環，會用流程圖表示算法。
3.基本算法語句教學過程分析
經歷將具體生活中問題的流程圖轉化為程序語言的過程，理解表示的幾種基本算法語句：賦值語句、輸入語句、輸出語句、條件語句、循環語句，進一步體會算法的基本思想。能用自然語言、流程圖和基本算法語句表達算法，
4.通過閱讀中國古代數學中的算法案例，體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻。
九、單元評價設想
1.重視對學生數學學習過程的評價
關注學生在數學語言的學習過程中，是否對用集合語言描述數學和現實生活中的問題充滿興趣;在學習過程中，能否體會集合語言準確、簡潔的特征;是否能積極、主動地發展自己運用數學語言進行交流的能力。
2.正確評價學生的數學基礎知識和基本技能
關注學生在本章(節)及今后學習中，讓學生集中學習算法的初步知識，主要包括算法的基本結構、基本語句、基本思想等。算法思想將貫穿高中數學課程的相關部分，在其他相關部分還將進一步學習算法
高中數學教案8
1. 該生能以校規班規嚴格要求自己。有較強的集體榮譽感，學習態度認真，能吃苦，肯下功夫，成績穩定。生活艱苦樸素，待人熱情大方，是個基礎扎實，品德兼優的好學生。
2. 該生能嚴格遵守學校的規章制度。尊敬師長，團結同學。熱愛集體，積極配合其他同學搞好班務工作，勞動積極肯干。學習刻苦認真，勤學好問，學習成績穩定，學風和工作作風都較為踏實，堅持出滿勤，并能積極參加社會實踐和文體活動，勞動積極。是一位發展全面的好學生。
3. 你是同學擁護、老師信任的班委，乖巧懂事、伶俐開朗、自信大方、樂觀合群，是同學們學習的榜樣。你愛護集體榮譽，有很強的工作能力，總是及時協助老師完成班務工作，是老師的得力幫手。你心性坦蕩，個性鮮明，能大膽說出自己的想法，難能可貴。而你在運動場上的爆發力更讓老師同學們驚嘆!潛力深厚，希望在高中時期能逐漸發掘出來!
4. 你是個做事小心翼翼，感情細膩豐富的女孩，每次看你認真的樣子老師都很感動。你也是幸運的，周邊有很多人都在關愛著你，所以，對他們，尤其是父母，記得不要太莽撞，不要太任性，要學著體諒，學著換位思考，學著懂事。另外，今后要多運動、多鍛煉，有健康才能成就美好未來!
5. 你堅強勇敢、樂觀大方的性格讓老師非常欣賞。學習上始終保持著上進好學的決心和韌性，生活中始終能做到豁達開朗，還有著良好的審美和繪畫的專長，令人欽佩!以入世的態度做事，以出世的態度做人，這是我送你的一句話，希望你保持好心態，迎接新的學習生活。
6. 最有希望得成功者，并不是才干出眾的人，而是那些最善于利用時機去努力開創的人。你是很有才華的孩子，老師希望你能把握好機會，求得上進。你聰明，但也有著許多人共同的毛病——粗心大意和缺乏毅力，若能集中精力持之以恒，堅定目標致力于學習，定能大限度地發揮你的聰明才智!
7. 該生遵紀守法，積極參加社會實踐和文體活動，集體觀念強，勞動積極肯干。是一位誠實守信，思想上進，尊敬老師，團結同學，熱心助人，積極參加班集體活動，有體育特長，學習認真，具有較好綜合素質的優秀學生。
8. 你聰穎活潑，渾身洋溢青春氣息。你愛好廣泛，善鉆精思，具備一定能力，潛質無限。但是在有些時候，在面臨一些問題的時候，你總表現得太過緊張，其實，征服畏懼、建立自信的最快最確實的方法，就是大膽地去做你認為害怕的事，直到你獲得成功的經驗。繼續努力!
9. 你是對3班這個集體的成長貢獻很大的孩子，是老師的得力幫手。你干練沉穩，堅強隱忍，能從大局出發考慮問題，在很多時候能獨當一面。你獨立能力強，能夠吃苦，但在進入高中的學習上卻顯得有些吃力。其實你還有很深的潛力尚未挖掘，找對方法，好好加油，世上沒有絕望的處境，只有對處境絕望的人，請樂觀一點，踏實地走好接下來的每一步!
10. 你是個能獨立、有主見的女孩，有自己的想法，有一定的決斷力。但是獨立不代表乖張，有想法不代表恣意妄為。令人高興的是，你在這點上做的還是不錯的。晟君，老師希望你能一如既往地關注于學習而不懈怠，能堅持懷揣著平和感恩的心態簡單快樂地生活。
11. 你給我的第一印象是有些沉默，其實和朋友在一起時還是很有自己想法的對吧?你看，你布置的新年教室多么出彩!請繼續秀出真實而精彩的你!這半個學期的學習有點力不從心，請保持謹慎和細心，保持好的學習習慣，及時彌補所缺漏的環節，大步向前進!
12. 該生認真遵守學校的規章制度，積極參加社會實踐和文體活動，集體觀念強，勞動積極肯干。尊敬師長，團結同學。學習態度認真，能吃苦，肯下功夫，成績穩定上升。是有理想有抱負，基礎扎實，心理素質過硬、全面發展的優秀學生。
13. 你是一個真誠待人、溫柔可愛的女生。也許是因為你有些不緊不慢的性格，所以在學習上有時候行動力不夠堅決，造成了學習成績的不穩定。請多利用假期時間好好補缺補漏，向上的姿態才是最重要的!
14. 老師同學們都在說你是個很有責任心和上進心的孩子，在班級需要的時候，你承擔了勞動委員的重任，經常最后一個離開，就為了班級能有個整潔的環境。老師很感謝你!而更可貴的是，你懂得安排自己的時間，在工作的空隙抓緊時間做作業。希望下學期你的學習成績也能隨你的毅力和執著步步攀升，加油，羽騰!
15. 其實你擁有你自己都不確知的才華，從你的文字中可以讀出這樣的信息：你時常沉醉在自己的小世界中，做自己喜歡做的事情。老師希望你能敞開心扉，多與旁人交流你快樂的體驗和想法，不要吝嗇展示自己!還有，成功需要成本，時間也是一種成本，對時間的珍惜就是對成本的節約。請務必抓緊每寸光陰，努力學習!
16. 你知道嗎?在世界上那些最容易的事情中，拖延時間是最不費力的。而學習卻是艱辛的勞動過程。表面安靜的你其實心里有著自己的想法和煩憂。于是在不經意間，精力被不自覺地轉移到一些瑣事上，卻總無法完全集中心智于學業。也許你也已經意識到，也有了些許進步，那么請千萬記住要持之以恒，要付出比別人更多倍的努力!
17. 你是班級的數學科代表，老師很高興選擇你擔任這個職務，不僅能促進自己的進步，而且也展現了你負責工作的一面。但是學習是要和工作一樣，需要一絲不茍的態度，包括上課的聽講是否及時而有效，包括功課的完成是否嚴謹而認真。下學期，愿看到一個更加全神貫注更加專心致志的你!
18. 我一直難忘在運動會上你擔任前導牌的樣子，為班級添光增彩了不少!你有著繪畫的特長，是個善良、真誠的女孩，有著細膩豐富的內心，也許只需一點鼓勵，你便會勇敢走下去，希望能在平時多聽見你爽朗的笑聲!
19. 可愛、熱情、謹小慎微，這都是你的代名詞。你略為靦腆的微笑讓人印象深刻。老師一直認為你是能夠認真仔細地作好每一件事情、成就每一個細節的，因此，希望你能珍惜時間，提高效率，在學習上狠狠加油!
20. 其實，任何事都是有重量的，那么，就看你把它變成壓力還是重力了。在這個方面，我很高興地看到你做的很好，你學習自覺，成績便是努力的證明。老師安排你做物理科代表就是希望能多培養你的責任意識、大局意識和管理能力，希望以后在這方面能看到你更加出色的表現!
21. 你是個可愛善良，懂事乖巧的女孩。作為語文科代表，兢兢業業，一絲不茍。你對人也是特別真誠熱情，偶爾透露出的憂郁是旁人不易察覺的。但是你知道，成長就是破蛹成蝶的過程，高中是人生的重要階段，勇敢地邁好每一步吧，享受成長帶來的所有痛苦和快樂!
22. 你很有能力，也很潛力，但欠缺的卻是耐力和毅力。君子厚積而薄發，希望你能振作精神，跟上進度，迎頭趕上，期待你獲得更大的進步!
23. 你曾經和我說過你的理想，但你對理想的憧憬和你所付出的努力程度卻總是難成正比。若現在你覺得有障礙擋在前行之路上，那就說明你還沒有把目標看的足夠清楚。寧在事前心力交瘁的努力，事后悠然自得;也不要在事前悠然自得，而在臨事時無法適從。你現在欠缺的就是對自己發狠奮進的恒心，柏宇，“要想人前顯貴，必定人后受罪”，成功要靠實踐去爭取，而不是光靠幾句好聽的決心話!
24. 你乖巧大方，組織能力一流，但在學習上總顯得有些力不從心。快馬加鞭迎頭趕上固然是必需，但也別太心急，要知道，欲速則不達，只要踏實努力，不懂就問，采用適合自己的學習方法，就會看到進步。也許剛開始的時候進步很小，小到你看不見，但是不要灰心，萬事開頭難!將事前的憂慮，換為事前的思考和計劃，徹底放松，加強鍛煉，養足精神再迎戰!你能做到的，蔡煒，加油!
25. 該生能遵守校紀班規，尊敬師長，能與同學和睦相處，勤學好問，有較強的獨立鉆研能力，分析問題比較深入、全面，在某些問題上有獨特的見解，學習成績在班上一直能保持前茅，樂于助人，能幫助學習有困難的同學。
26. 不論在體育場還是教室里，看到你神采奕奕的樣子，總讓人聯想到“英姿颯爽”這四個字。這確是一個高中生應該有的精神面貌。你做事認真，顧全大局，真的非常難得。希望能保持這樣良好的狀態，繼續前進!也希望能夠多和老師同學交流，多提些對班集體建設的好建議!
27. 該生能以校規班規嚴格要求自己，積極參加社會實踐和文體活動。尊敬師長，團結同學。集體觀念強，勞動積極肯干。積極參加各種集體活動和社會實踐活動。學習目的明確，刻苦認真，成績穩定，是一個有理想、有抱負，基礎扎實，心理素質過硬，全面發展的優秀學生。
28. 我很高興看到你是個有上進心，有責任感，能夠讓家人、師長寬慰的孩子。有努力就有回報，你下半學期的表現不就證明了這一點嗎?進步是隨著時間節節上升的，不要太過急躁，要知道，若你不給自己設限，則人生中就沒有限制你發揮的藩籬。新學期要重整旗鼓，再接再勵!
29. ××× 獨立性較強，對自己的能力也有準確的定位。建議今后學習上要養成勤思愛問的習慣，不能做井底之蛙，滿足于現狀，要充分利用他人的智慧，最后達到“好風憑借力，送我上青云”的目的。
30. ××× 每天在教室，都能看到你埋頭苦讀的身影，可見讀書的態度很端正;而你每一次考試的成績雖然不拔尖，卻是在穩步前進，可見讀書的效率還不錯。請繼續保持這種虛心求學、穩步前進的態勢，相信一年半以后的高考，你必將嶄露頭角，脫穎而出。
高中數學教案9
一、自我介紹
我姓x，是你們的數學老師，因為是數學老師所以在自我介紹的時候喜歡給出自己的數字特征，也是希望通過這些方式能拓寬與大家交流的平臺，希望能與大家在課堂中相識，在生活中相知，不僅能成為你們知識的傳授者，方法的指引者，更希望成為你們情感上的依賴者。
二、相信大家對于高中學習都充滿著好奇，和初中相比，高中課程與初中課程有很大的不同。今天這節課我們不急于上新課，我想和大家聊一聊數學，一起來思考為什么要學習數學及如何學好數學這兩個問題。
(一)為什么要學習數學
相信高一的第一節課是各位科任老師各顯神通的時候，通過各種有趣的方式來突出每門課的重要性，作為數學老師我表達上不如文科老師迂回婉轉和風趣幽默，我們更喜歡用數字說明問題。大家知道北大最的院系是什么系嗎?早在蔡元培先生任北大校長時，就列數學系為北大第一系，這種傳統一直保持到現在。為什么數學系在高校中有如此重要的地位?課本主編寄語是這樣描述的：數學是有用的，數學有助于提高能力。
數學家華羅庚在《人民日報》精彩描述了數學在"宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁"等方面無處不有重要貢獻。
問題1：大家知道海王星是怎么發現的，冥王星又是怎么被請出十大行星行列的?
海王星的發現是在數學計算過程中發現的，天文望遠鏡的觀測只是驗證了人們的推論。
1812年，法國人布瓦德在計算天王星的運動軌道時，發現理論計算值同觀測資料發生了一系列誤差。這使許多天文學家紛紛致力這個問題的研究，進而發現天王星的脫軌與一個未知的引力的存在相關。也就是說有一個未知的天體作用于天王星。1846年9月23日。柏林天文臺收到來自法國巴黎的一封快信。發信人就是勒威耶。信中，勒威耶預告了一顆以往沒有發現的新星：在摩羯座8星東約5度的地方，有一顆8等小星，每天退行69角秒。當夜，柏林天文臺的加勒把巨大的天文望遠鏡對準摩羯座，果真在那里發現了一顆新的8等星。又過了-天，再次找到了這顆8等星，它的位置比前一天后退了70角秒。這與勒威耶預告的相差甚微。全世界都震動了。人們依照勒威耶的建議，按天文學慣例，用神話里的名字把這顆星命名為"海王星"。
1930年美國天文學家湯博發現冥王星，當時錯估了冥王星的質量，以為冥王星比地球還大，所以命名為大行星。然而，經過近30年的進一步觀測和計算，發現它的直徑只有2300公里，比月球還要小，等到冥王星的大小被確認，"冥王星是大行星"早已被寫入教科書，以后也就將錯就錯了。經過多年的爭論，國際天文學聯合會通過投票表決做出最終決定，取消冥王星的行星資格。8月24日據國際天文學聯合會宣布，冥王星將被排除在行星行列之外，從而太陽系行星的數量將由九顆減為八顆。事實上，位居太陽系九大行星末席70多年的冥王星，自發現之日起地位就備受爭議。
馬克思說："一種科學只有在成功運用數學時，才算達到了真正完善的地步。"正因為數學是日常生活和進一步學習必不可少的基礎和工具，一切科學到了最后都歸結為數學問題。
其實在我們的周圍有很多事情都是可以用數學可以來解決的，無非很多人都沒有用數學的眼光來看待。
問題2：徒認為上帝是萬能的。你們認為呢?如何來證明你的結論呢?(讓同學發言)
我的觀點：上帝不是萬能的。為什么呢?仔細聽我講來。
證明：(反證法)假如上帝是萬能的
那么他能夠制作出一塊無論什么力量都搬不動的石頭
根據假設，既然上帝是萬能的，那么他一定能夠搬的動他自己制造的那石頭
這與"無論什么力量都搬不動的石頭"相矛盾
所以假設不成立
所以上帝不是萬能的。問題3：抓鬮對個人來說公平嗎?5張票中有一張獎票，那么先抽還是后抽對個人還說公平嗎?
當然，我們學習的數學只是數學學科體系中很基礎，很小的一部分。現在課本上學的未必能直接應用于生活，主要是為以后學習更高層次的理科打好基礎，同時，也為了掌握一些數學的思考方法以及分析問題解決問題的思維方式。哲學家培根說過："讀詩使人靈秀，讀歷史使人明智，學邏輯使人周密，學哲學使人善辯，學數學使人聰明…"，也有人形象地稱數學是思維的體操。下面我們通過具體的例子來體驗一下某些數學思想方法和思維方式。
故事一：據說國際象棋是古印度的一位宰相發明的。國王很欣賞他的這項發明，問他的宰相要什么賞賜。聰明的宰相說，"我所要的從一粒谷子(沒錯，是1粒，不是1兩或1斤)開始。在這個有64格的棋盤上，第一格里放1粒谷子，第二格里放2粒，第三格里放4粒，即每下一格粒數加倍，……如此下去，一直放滿到棋盤上的64格。這就是我所要的賞賜。"國王覺得宰相要的實在不多，就叫人按宰相的要求賞賜。但后來發現即使把全國所有的谷子抬來也遠遠不夠。
人們通常憑借自己掌握的數學知識耍些小聰明，使問題妙不可言。
數學游戲：兩人相繼輪流往長方形桌子上放同樣大小的硬幣，硬幣一定要平放在桌面上，后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上，放最后一顆的硬幣的人算贏。應該先放還是后放才有必勝的把握。
數學思想：退到最簡單、最特殊的地方。
故事二：聰明的渡邊：20世紀40年代末，手寫工具突破性進展-圓珠筆問世，它以價廉、方便、書寫流利在社會上廣泛流傳，但寫到20萬字時就會因圓珠磨小而漏油，影響了銷售。工程師們從圓珠質量入手，從改進油墨性能入手進行改良，但收效甚微。于是廠家打出廣告：解決此問題獲獎金50萬元。當時山地制筆廠的青年工人渡邊看到女兒把圓珠筆用到快漏油時就德育不用這一現象中受到啟發，很好地解決了這一問題，你認為他會怎么做呢?
渡邊的成功之處就在于思維角度新，從問題的側面輕巧取勝。也正體現了數學學習中經常用到的發散式思維。在數學學習中，既要有集中式思維又要有發散式思維。集中式思維是一種常用思維渠道，即為對問題的歸納，聯系思維方式，表現為對解題方法的模仿和繼承;而發散式思維即對問題開拓、創新，表現為對問題舉一反三，觸類旁通。在解決具體問題中，我們應該將兩種思維方式相結合。
學數學有利于培養人的思維品質：結構意識、整體意識、抽象意識、化歸意識、優化意識、反思意識，盡管數學在培養學生的這些思維品質方面和其他學科存在著交集，但數學在其中的地位是無法被代替的。總之，學習數學可以使人思考問題更合乎邏輯，更有條理，更嚴密精確，更深入簡潔，更善于創造……
(二)如何學好數學
高中數學的內容多，抽象性、理論性強，高中很注重自學能力的培養的，高中不會像初中那樣老師一天到晚盯著你，在高中一定要注重自學能力的培養，誰的自學能力強，那么在一定的程度上影響著你的成績以及你將來你發展的前途。同時要注意以下幾點：
第一：對數學學科特點有清楚的認識
主編寄語里是這樣描述數學的特征的：數學是自然的。數學的概念、方法、思想都是人類長期實踐中自然發展形成的，以數域的發展為例，從自然數到有理數到實數再到復數，都是由自然的認知沖突引起的。因此，在學習過程中我們有必要了解知識產生的背景，它的形成過程以及它的應用，讓數學顯得合情合理，渾然天成。數學中沒有含糊不清的詞，對錯分明，凡事都要講個為什么，只要按照數學規則去學去想就能融會貫通，但是如果不把來龍去脈想清楚而是"想當然"的話，那就學不下去了。
第二：要改變一個觀念。
有人會說自己的基礎不好。那我問下什么是基礎?今天所學的知識就是明天的基礎。明天學習的知識就是后天的基礎。所以要學好每一天的內容，那么你打的基礎就是最扎實的了。所以現在你們是在同一個起跑線上的，無所謂基礎好不好。過去的幾年里我分別帶過五十一中和一中的學生，兩邊學生的課堂感覺差不多，應該說接受能力不相上下，有的時候我會選擇在五十一中開公開課，因為課堂氣氛活躍、輕松，但是成績差異卻是很大，原因在于我們同學外課自主時間的投入太少，學習習慣不太好。
第三：學數學要摸索自己的學習方法
學習、掌握并能靈活應用數學的途徑有千萬條，每個人都可以有與眾不同的數學學習方法。做習題、用數學解決各種問題是必需的，理解、學會證明、領會思想、掌握方法也是必需的。此外，還要發揮問題的作用，學會提問，熱心幫助別人解決問題，用自己的問題和別人的問題帶動自己的學習。同時，注意前后知識的銜接，類比地學、聯系地學，既要從概念中看到它的具體背景，又要在具體的例子中想到它蘊含的一般概念。
第四：養成良好的學習習慣(與一中學生相比較)
㈠課前預習。怎樣預習呢?就是自己在上課之前把內容先看一邊，把自己不懂的地方做個記號或者打個問號，以至于上課的時候重點聽，這樣才能夠很快提高自己的水平。但是預習不是很隨便的把課本看一邊，預習有個目標，那就是通過預習可以把書本后面的練習題可以自己獨立的完成。一中的同學預習就已經有好幾個層次了，先是課本，再是精編，再是高考題典，上課對于他們來說是第一輪高考復習。
㈡上課認真聽講。上課的時候準備課本，一只筆，一本草稿。做不做筆記你們自己決定，不過我不大提倡數學課做筆記的。不過有一點，有些知識點比較重要，課本上又沒有的，我要求你們把它寫在課本上的相應的空白地方。還有如果你覺得某個例題比較新或者比較重要，也可以把它記在書本的相應位置上，這樣以后復習起來就一目了然了。那么草稿要來干什么的呢?課堂上你可以自己演算還有做課堂練習。
㈢關于作業。絕對不允許有抄作業的情況發生。如果我發現有誰抄作業，那么既然他這樣喜歡抄，我就要你把當天的作業多抄幾遍給我。那有人會問，碰到不會做的題目怎么辦?有兩個辦法：一、向同學請教，請教做題目的思路，而不是整個過程和答案。同學之間也要相互幫助，如果你讓他抄襲你的作業這樣不是幫助他而是害他，這個道理大家應該明白吧。我非常提倡同學之間的相互討論問題的，這樣才能夠相互促進提高。二、向老師請教，要養成多想多問的習慣。我的辦公室在二樓二號，歡迎大家前來交流
㈣準備一本筆記本，作為自己的問題集。把平時自己不懂的和不大理解的還有易錯的記錄下來，并且要及時的消化，不懂的地方問老師。這是一個很好的辦法，到考試的時候就可以有重點、有針對性的自己復習了。我高中的時候就是采用這樣的方法把數學成績提高。
好的開始是成功的一半，新的學期開始了，請大家調整好自己的思想，找到學習的原動力。播種一種思想，收獲一種行為;播種一種行為，收獲一種習慣;播種一種習慣，收獲一種性格;播種一種性格，收獲一種命運。愿每位同學都有個好的開始。
高中數學教案10
第一章：空間幾何體
1.1.1柱、錐、臺、球的結構特征
一、教學目標
1．知識與技能
（1）通過實物操作，增強學生的直觀感知。
（2）能根據幾何結構特征對空間物體進行分類。
（3）會用語言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球的結構特征。
（4）會表示有關于幾何體以及柱、錐、臺的分類。
2．過程與方法
（1）讓學生通過直觀感受空間物體，從實物中概括出柱、錐、臺、球的幾何結構特征。
（2）讓學生觀察、討論、歸納、概括所學的知識。
3．情感態度與價值觀
（1）使學生感受空間幾何體存在于現實生活周圍，增強學生學習的積極性，同時提高學生的觀察能力。
（2）培養學生的空間想象能力和抽象括能力。
二、教學重點、難點
重點：讓學生感受大量空間實物及模型、概括出柱、錐、臺、球的結構特征。
難點：柱、錐、臺、球的結構特征的概括。
三、教學用具
（1）學法：觀察、思考、交流、討論、概括。
（2）實物模型、投影儀
四、教學思路
（一）創設情景，揭示課題
1．教師提出問題：在我們生活周圍中有不少有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑的幾何結構特征如何？引導學生回憶，舉例和相互交流。教師對學生的活動及時給予評價。
2．所舉的建筑物基本上都是由這些幾何體組合而成的，（展示具有柱、錐、臺、球結構特征的空間物體），你能通過觀察。根據某種標準對這些空間物體進行分類嗎？這是我們所要學習的內容。
（二）、研探新知
1．引導學生觀察物體、思考、交流、討論，對物體進行分類，分辯棱柱、圓柱、棱錐。
2．觀察棱柱的幾何物件以及投影出棱柱的圖片，它們各自的特點是什么？它們的共同特點是什么？
3．組織學生分組討論，每小組選出一名同學發表本組討論結果。在此基礎上得出棱柱的主要結構特征。（1）有兩個面互相平行；（2）其余各面都是平行四邊形；（3）每相鄰兩上四邊形的公共邊互相平行。概括出棱柱的概念。
4．教師與學生結合圖形共同得出棱柱相關概念以及棱柱的表示。
5．提出問題：各種這樣的棱柱，主要有什么不同？可不可以根據不同對棱柱分類？請列舉身邊具有已學過的幾何結構特征的物體，并說出組成這些物體的幾何結構特征？它們由哪些基本幾何體組成的？
6．以類似的方法，讓學生思考、討論、概括出棱錐、棱臺的結構特征，并得出相關的概念，分類以及表示。
7．讓學生觀察圓柱，并實物模型演示，如何得到圓柱，從而概括出圓標的概念以及相關的概念及圓柱的表示。
8．引導學生以類似的方法思考圓錐、圓臺、球的結構特征，以及相關概念和表示，借助實物模型演示引導學生思考、討論、概括。
9．教師指出圓柱和棱柱統稱為柱體，棱臺與圓臺統稱為臺體，圓錐與棱錐統稱為錐體。
10．現實世界中，我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺、球等幾何結構特征的物體組合而成。請列舉身邊具有已學過的幾何結構特征的物體，并說出組成這些物體的幾何結構特征？它們由哪些基本幾何體組成的？
（三）質疑答辯，排難解惑，發展思維，教師提出問題，讓學生思考。
1．有兩個面互相平行，其余后面都是平行四邊形的幾何體是不是棱柱（舉反例說明，如圖）
2．棱柱的何兩個平面都可以作為棱柱的底面嗎？
3．課本P8，習題1.1A組第1題。
4．圓柱可以由矩形旋轉得到，圓錐可以由直角三角形旋轉得到，圓臺可以由什么圖形旋轉得到？如何旋轉？
5．棱臺與棱柱、棱錐有什么關系？圓臺與圓柱、圓錐呢？
四、鞏固深化
練習：課本P7練習1、2（1）（2）
課本P8習題1.1第2、3、4題
五、歸納整理
由學生整理學習了哪些內容
六、布置作業
課本P8練習題1.1B組第1題
課外練習課本P8習題1.1B組第2題
1.2.1空間幾何體的三視圖（1課時）
一、教學目標
1．知識與技能
（1）掌握畫三視圖的基本技能
（2）豐富學生的空間想象力
2．過程與方法
主要通過學生自己的親身實踐，動手作圖，體會三視圖的作用。
3．情感態度與價值觀
（1）提高學生空間想象力
（2）體會三視圖的作用
二、教學重點、難點
重點：畫出簡單組合體的三視圖
難點：識別三視圖所表示的空間幾何體
三、學法與教學用具
1．學法：觀察、動手實踐、討論、類比
2．教學用具：實物模型、三角板
四、教學思路
（一）創設情景，揭開課題
“橫看成嶺側看成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比較真實反映出物體，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學習空間幾何體的三視圖。
在初中，我們已經學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖（正視圖、側視圖、俯視圖），你能畫出空間幾何體的三視圖嗎？
（二）實踐動手作圖
1．講臺上放球、長方體實物，要求學生畫出它們的三視圖，教師巡視，學生畫完后可交流結果并討論;
2．教師引導學生用類比方法畫出簡單組合體的三視圖
（1）畫出球放在長方體上的三視圖
（2）畫出礦泉水瓶（實物放在桌面上）的三視圖
學生畫完后，可把自己的作品展示并與同學交流，總結自己的作圖心得。
作三視圖之前應當細心觀察，認識了它的基本結構特征后，再動手作圖。
3．三視圖與幾何體之間的相互轉化。
（1）投影出示圖片（課本P10，圖1.2-3）
請同學們思考圖中的三視圖表示的幾何體是什么？
（2）你能畫出圓臺的三視圖嗎？
（3）三視圖對于認識空間幾何體有何作用？你有何體會？
教師巡視指導，解答學生在學習中遇到的困難，然后讓學生發表對上述問題的看法。
4．請同學們畫出1.2-4中其他物體表示的空間幾何體的三視圖，并與其他同學交流。
（三）鞏固練習
課本P12練習1、2P18習題1.2A組1
（四）歸納整理
請學生回顧發表如何作好空間幾何體的三視圖
（五）課外練習
1．自己動手制作一個底面是正方形，側面是全等的三角形的棱錐模型，并畫出它的三視圖。
2．自己制作一個上、下底面都是相似的正三角形，側面是全等的等腰梯形的棱臺模型，并畫出它的三視圖。
1.2.2空間幾何體的直觀圖（1課時）
一、教學目標
1．知識與技能
（1）掌握斜二測畫法畫水平設置的平面圖形的直觀圖。
（2）采用對比的方法了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特點。
2．過程與方法
學生通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。
3．情感態度與價值觀
（1）提高空間想象力與直觀感受。
（2）體會對比在學習中的作用。
（3）感受幾何作圖在生產活動中的應用。
二、教學重點、難點
重點、難點：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。
三、學法與教學用具
1．學法：學生通過作圖感受圖形直觀感，并自然采用斜二測畫法畫空間幾何體的過程。
2．教學用具：三角板、圓規
四、教學思路
（一）創設情景，揭示課題
1．我們都學過畫畫，這節課我們畫一物體：圓柱
把實物圓柱放在講臺上讓學生畫。
2．學生畫完后展示自己的結果并與同學交流，比較誰畫的效果更好，思考怎樣才能畫好物體的直觀圖呢？這是我們這節主要學習的內容。
（二）研探新知
1．例1，用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖，由學生閱讀理解，并思考斜二測畫法的關鍵步驟，學生發表自己的見解，教師及時給予點評。
畫水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法。強調斜二測畫法的步驟。
練習反饋
根據斜二測畫法，畫出水平放置的正五邊形的直觀圖，讓學生獨立完成后，教師檢查。
2．例2，用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖
教師引導學生與例1進行比較，與畫水平放置的多邊形的直觀圖一樣，畫水平放置的圓的直觀圖，也是要先畫出一些有代表性的點，由于不能像多邊那樣直接以頂點為代表點，因此需要自己構造出一些點。
教師組織學生思考、討論和交流，如何構造出需要的一些點，與學生共同完成例2并詳細板書畫法。
3．探求空間幾何體的直觀圖的畫法
（1）例3，用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體ABCD-A’B’C’D’的直觀圖。
教師引導學生完成，要注意對每一步驟提出嚴格要求，讓學生按部就班地畫好每一步，不能敷衍了事。
（2）投影出示幾何體的三視圖、課本P15圖1.2-9，請說出三視圖表示的幾何體？并用斜二測畫法畫出它的直觀圖。教師組織學生思考，討論和交流完成，教師巡視幫不懂的同學解疑，引導學生正確把握圖形尺寸大小之間的關系。
4．平行投影與中心投影
投影出示課本P17圖1.2-12，讓學生觀察比較概括在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形的各自特點。
5．鞏固練習，課本P16練習1（1），2，3，4
三、歸納整理
學生回顧斜二測畫法的關鍵與步驟
四、作業
1．書畫作業，課本P17練習第5題
2．課外思考課本P16，探究（1）（2）
高中數學教案11
一、教學目標
知識與技能：
理解任意角的概念（包括正角、負角、零角）與區間角的概念。
過程與方法：
會建立直角坐標系討論任意角，能判斷象限角，會書寫終邊相同角的集合；掌握區間角的集合的書寫。
情感態度與價值觀：
1、提高學生的推理能力；
2、培養學生應用意識。
二、教學重點、難點：
教學重點：
任意角概念的理解；區間角的集合的書寫。
教學難點：
終邊相同角的集合的表示；區間角的集合的書寫。
三、教學過程
（一）導入新課
1、回顧角的定義
①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。
②角的第二種定義是角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。
（二）教學新課
1、角的有關概念：
①角的定義：
角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。
②角的名稱：
注意：
⑴在不引起混淆的情況下，“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”；
⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念經過推廣后，已包括正角、負角和零角。
⑤練習：請說出角α、β、γ各是多少度？
2、象限角的概念：
①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊（端點除外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。
例1、如圖⑴⑵中的角分別屬于第幾象限角？
高中數學教案12
一、教學目標
(1)了解含有“或”、“且”、“非”復合命題的概念及其構成形式;
(2)理解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義;
(3)能用邏輯聯結詞和簡單命題構成不同形式的復合命題;
(4)能識別復合命題中所用的邏輯聯結詞及其聯結的簡單命題;
(5)會用真值表判斷相應的復合命題的真假;
(6)在知識學習的基礎上，培養學生簡單推理的技能.
二、教學重點難點：
重點是判斷復合命題真假的方法;難點是對“或”的含義的理解.
三、教學過程
1.新課導入
在當今社會中，人們從事任何工作、學習，都離不開邏輯.具有一定邏輯知識是構成一個公民的文化素質的重要方面.數學的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學的教學比初中更強調邏輯性.如果不學習一定的邏輯知識，將會在我們學習的過程中不知不覺地經常犯邏輯性的錯誤.其實，同學們在初中已經開始接觸一些簡易邏輯的知識.
初一平面幾何中曾學過命題，請同學們舉一個命題的例子.(板書：命題.)
(從初中接觸過的“命題”入手，提出問題，進而學習邏輯的有關知識.)
學生舉例：平行四邊形的對角線互相平. ……(1)
兩直線平行，同位角相等.…………(2)
教師提問：“……相等的角是對頂角”是不是命題?……(3)
(同學議論結果，答案是肯定的)
教師提問：什么是命題?
(學生進行回憶、思考.)
概念總結：對一件事情作出了判斷的語句叫做命題.
(教師肯定了同學的回答，并作板書.)
由于判斷有正確與錯誤之分，所以命題有真假之分，命題(1)、(2)是真命題，而(3)是假命題.
(教師利用投影片，和學生討論以下問題.)
例1 判斷以下各語句是不是命題，若是，判斷其真假：
命題一定要對一件事情作出判斷，(3)、(4)沒有對一件事情作出判斷，所以它們不是命題.
初中所學的命題概念涉及邏輯知識，我們今天開始要在初中學習的基礎上，介紹簡易邏輯的知識.
2.講授新課
大家看課本(人教版，試驗修訂本，第一冊(上))從第25頁至26頁例1前，并歸納一下這段內容主要講了哪些問題?
(片刻后請同學舉手回答，一共講了四個問題.師生一道歸納如下.)
(1)什么叫做命題?
可以判斷真假的語句叫做命題.
判斷一個語句是不是命題，關鍵看這語句有沒有對一件事情作出了判斷，疑問句、祈使句都不是命題.有些語句中含有變量，如 中含有變量 ，在不給定變量的值之前，我們無法確定這語句的真假(這種含有變量的語句叫做“開語句”).
(2)介紹邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”.
“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞.邏輯聯結詞除這三種形式外，還有“若…則…”和“當且僅當”兩種形式.
對“或”的理解，可聯想到集合中“并集”的概念. 中的“或”，它是指“ ”、“ ”中至少一個是成立的，即 且 ;也可以 且 ;也可以 且 .這與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去這種可能.
對“且”的理解，可聯想到集合中“交集”的概念. 中的“且”，是指“ ”、“ 這兩個條件都要滿足的意思.
對“非”的理解，可聯想到集合中的“補集”概念，若命題 對應于集合 ，則命題非 就對應著集合 在全集 中的補集 .
命題可分為簡單命題和復合命題.
不含邏輯聯結詞的命題叫做簡單命題.簡單命題是不含其他命題作為其組成部分(在結構上不能再分解成其他命題)的命題.
由簡單命題和邏輯聯結詞構成的命題叫做復合命題，如“6是自然數且是偶數”就是由簡單命題“6是自然數”和“6是偶數”由邏輯聯結詞“且”構成的復合命題.
(4)命題的表示：用 ， ， ， ，……來表示.
(教師根據學生回答的情況作補充和強調，特別是對復合命題的概念作出分析和展開.)
我們接觸的復合命題一般有“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”、“若 則 ”等形式.
給出一個含有“或”、“且”、“非”的復合命題，應能說出構成它的簡單命題和弄清它所用的邏輯聯結詞;應能根據所給出的兩個簡單命題，寫出含有邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的復合命題.
對于給出“若 則 ”形式的復合命題，應能找到條件 和結論 .
在判斷一個命題是簡單命題還是復合命題時，不能只從字面上來看有沒有“或”、“且”、“非”.例如命題“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合”，此命題字面上無“且”;命題“5的倍數的末位數字不是0就是5”的字面上無“或”，但它們都是復合命題.
3.鞏固新課
例2 判斷下列命題，哪些是簡單命題，哪些是復合命題.如果是復合命題，指出它的構成形式以及構成它的簡單命題.
(1) ;
(2)0.5非整數;
(3)內錯角相等，兩直線平行;
(4)菱形的對角線互相垂直且平分;
(5)平行線不相交;
(6)若 ，則 .
(讓學生有充分的時間進行辨析.教材中對“若…則…”不作要求，教師可以根據學生的情況作些補充.)
例3 寫出下表中各給定語的否定語(用課件打出來).
若給定語為
等于
大于
是
都是
至多有一個
至少有一個
至多有個
其否定語分別為
分析：“等于”的否定語是“不等于”;
“大于”的否定語是“小于或者等于”;
“是”的否定語是“不是”;
“都是”的否定語是“不都是”;
“至多有一個”的否定語是“至少有兩個”;
“至少有一個”的否定語是“一個都沒有”;
“至多有 個”的否定語是“至少有 個”.
(如果時間寬裕，可讓學生討論后得出結論.)
置疑：“或”、“且”的否定是什么?(視學生的情況、課堂時間作適當的辨析與展開.)
4.課堂練習：第26頁練習1
5.課外作業：第29頁習題1.6
高中數學教案13
整體設計
教學分析
我們在初中的學習過程中，已了解了整數指數冪的概念和運算性質。從本節開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數。進而推廣到有理數指數，再推廣到實數指數，并將冪的運算性質由整數指數冪推廣到實數指數冪。
教材為了讓學生在學習之外就感受到指數函數的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題。前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數指數冪，也讓學生感受到其中的函數模型，并且還有思想教育價值。后一個問題讓學生體會其中的函數模型的同時，激發學生探究分數指數冪、無理數指數冪的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊。
本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如推廣的思想（指數冪運算律的推廣）、類比的思想、逼近的思想（有理數指數冪逼近無理數指數冪）、數形結合的思想（用指數函數的圖象研究指數函數的性質）等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現數學的應用價值。
根據本節內容的特點，教學中要注意發揮信息技術的力量，盡量利用計算器和計算機創設教學情境，為學生的數學探究與數學思維提供支持。
三維目標
1、通過與初中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質。掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質。培養學生觀察分析、抽象類比的能力。
2、掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學思想。通過運算訓練，養成學生嚴謹治學，一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數學來自生活，數學又服務于生活的哲理。
3、能熟練地運用有理指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力。
4、通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數冪的運算性質。展示函數圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數函數的性質，讓學生體驗數學的簡潔美和統一美。
重點難點
教學重點
（1）分數指數冪和根式概念的理解。
（2）掌握并運用分數指數冪的運算性質。
（3）運用有理指數冪的性質進行化簡、求值。
教學難點
（1）分數指數冪及根式概念的理解。
（2）有理指數冪性質的靈活應用。
課時安排
3課時
教學過程
第1課時
作者：路致芳
導入新課
思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發展與進化的，第二個問題我們不太清楚）考古學家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的。教師板書本節課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
思路2.同學們，我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）什么是平方根？什么是立方根？一個數的平方根有幾個，立方根呢？
（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什么呢？
（3）根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？
（4）可否用一個式子表達呢？
活動：教師提示，引導學生回憶初中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結論進行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時啟發學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維。
討論結果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如：4的平方根為±2，負數沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.
（2）類比平方根、立方根的定義，一個數的四次方等于a，則這個數叫a的四次方根。一個數的五次方等于a，則這個數叫a的五次方根。一個數的六次方等于a，則這個數叫a的六次方根。
（3）類比(2)得到一個數的n次方等于a，則這個數叫a的n次方根。
（4）用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。
教師板書n次方根的意義：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數集。
可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出問題
（1）你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數是什么數，有什么特點？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什么性質的數，有什么特點？
（3）問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零，結論有一個的，也有兩個的，你能否總結一般規律呢？
（4）任何一個數a的偶次方根是否存在呢？
活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數a的n次方根，就是求出的那個數的n次方等于a，及時點撥學生，從數的分類考慮，可以把具體的數寫出來，觀察數的特點，對問題(2)中的結論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路。
討論結果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
（2）方根的指數是2,3,4,5,7…特點是有奇數和偶數。總的來看，這些數包括正數，負數和零。
（3）一個數a的奇次方根只有一個，一個正數a的偶次方根有兩個，是互為相反數。0的任何次方根都是0.
（4）任何一個數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在，因為沒有一個數的偶次方是一個負數。
類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：
①當n為偶數時，正數a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
②n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
③負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字語言可用下面的式子表示：
a為正數：n為奇數，a的n次方根有一個為na，n為偶數，a的n次方根有兩個為±na.
a為負數：n為奇數，a的n次方根只有一個為na，n為偶數，a的n次方根不存在。
零的n次方根為零，記為n0=0.
可以看出數的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例。
思考
根據n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況？
活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握，即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現在我們給式子na一個名稱——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開方數，n叫做根指數。
如3-27中，3叫根指數，-27叫被開方數。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論。教師點撥，注意歸納整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根據n次方根的意義，可得：(na)n=a.
通過探究得到：n為奇數，nan=a.
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
因此我們得到n次方根的運算性質：
①(na)n=a.先開方，再乘方（同次），結果為被開方數。
②n為奇數，nan=a.先奇次乘方，再開方（同次），結果為被開方數。
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方（同次），結果為被開方數的絕對值。
應用示例
思路1
例求下列各式的值：
（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。
活動：求某些式子的值，首先考慮的應是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個題目仔細分析。觀察學生的解題情況，讓學生展示結果，抓住學生在解題過程中出現的問題并對癥下藥。求下列各式的值實際上是求數的方根，可按方根的運算性質來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數的符號定準，然后看根指數是奇數還是偶數，如果是奇數，無需考慮符號，如果是偶數，開方的結果必須是非負數。
解：(1)3(-8)3=-8;
（2）(-10)2=10;
（3)4(3-π）4=π-3;
（4）(a-b)2=a-b(a>b)。
點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導致問題出現的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會用，活用。
變式訓練
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，
(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，
(3)4(3a-3)4=
點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。
思路2
例1下列各式中正確的是（）
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質，應首先考慮根據方根的意義和運算性質來解，既要考慮被開方數，又要考慮根指數，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質，當n為偶數時，應先寫nan=|a|，故A項錯。
(2)6(-2)2=3-2，本質上與上題相同，是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32，故B項錯。
(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。
(4)D項是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確。所以答案選D.
答案：D
點評：本題由于考查n次方根的運算性質與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心。
例2 3+22+3-22=__________.
活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節無關，但仔細一想，我們學習的內容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關鍵，教師提示，引導學生解題的思路。
解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，
3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，
所以3+22+3-22=22.
答案：22
點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式。
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消。同時借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。
另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，
兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解。
變式訓練
若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。
解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，
即a-1≥0，
所以a≥1.
點評：利用方根的運算性質轉化為去絕對值符號，是解題的關鍵。
知能訓練
（教師用多媒體顯示在屏幕上）
1、以下說法正確的是（）
A.正數的n次方根是一個正數
B.負數的n次方根是一個負數
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數集）
答案：C
2、化簡下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、計算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恒等式，為什么？請舉例說明。
活動：組織學生結合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。
通過歸納，得出問題結果，對a是正數和零，n為偶數時，n為奇數時討論一下。再對a是負數，n為偶數時，n為奇數時討論一下，就可得到相應的結論。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數或偶數，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a，|a|，當n為奇數，當n為偶數。
當n為奇數時，a∈R，nan=a恒成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
當n為偶數時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，
即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。
點評：實質上是對n次方根的概念、性質以及運算性質的深刻理解。
課堂小結
學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節課的學習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數，n叫根指數。
（1）當n為偶數時，a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
(2)n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
（3）負數沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握兩個公式：n為奇數時，(na)n=a，n為偶數時，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
作業
課本習題2.1A組1.
補充作業：
1、化簡下列各式：
(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.
解：(1)681=634=332=39;
(2)15-32=-1525=-32;
(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.
2、若5
解析：因為5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，
不難看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
設計感想
學生已經學習了數的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節課由于方根和根式的概念和性質難以理解，在引入根式的概念時，要結合已學內容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數和偶數兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結合具體例子講解，因此設計了大量的類比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要用多媒體信息技術服務教學。
第2課時
作者：郝云靜
導入新課
思路1.碳14測年法。原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14，并與氧結合成二氧化碳后進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平。而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14，其組織內的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失。對于任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經過一定的時間，變為原來的一半）。引出本節課題：指數與指數冪的運算之分數指數冪。
思路2.同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那么整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的。這就是本節的主講內容，教師板書本節課題——指數與指數冪的運算之分數指數冪。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）整數指數冪的運算性質是什么？
（2）觀察以下式子，并總結出規律：a>0，
①；
②a8=(a4)2=a4=，；
③4a12=4(a3)4=a3=；
④2a10=2(a5)2=a5= 。
（3）利用(2)的規律，你能表示下列式子嗎？
，，，(x>0，m，n∈正整數集，且n>1)。
（4）你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？
（5）你能推廣到一般的情形嗎？
活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數之間的關系，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比(2)的規律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示。
討論結果：(1)整數指數冪的運算性質：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無意義；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實質上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結果的a的指數是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質沒變。
根據4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數作為指數的形式（分數指數冪形式）。
（3）利用(2)的規律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的。
（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
綜上所述，我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：
規定：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
提出問題
（1）負整數指數冪的意義是怎樣規定的？
（2）你能得出負分數指數冪的意義嗎？
（3）你認為應怎樣規定零的分數指數冪的意義？
（4）綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？
（5）分數指數冪的意義中，為什么規定a>0，去掉這個規定會產生什么樣的后果？
（6）既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質是否也適用于有理數指數冪呢？
活動：學生回想初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明a>0的必要性，教師及時作出評價。
討論結果：(1)負整數指數冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
（2）既然負整數指數冪的意義是這樣規定的，類比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義。
規定：正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
（3）規定：零的分數指數冪的意義是：零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。
（4）教師板書分數指數冪的意義。分數指數冪的意義就是：
正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。
（5）若沒有a>0這個條件會怎樣呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現了截然不同的結果，這只說明分數指數冪在底數小于零時是無意義的。因此在把根式化成分數指數時，切記要使底數大于零，如無a>0的條件，比如式子3a2=，同時負數開奇次方是有意義的，負數開奇次方時，應把負號移到根式的外邊，然后再按規定化成分數指數冪，也就是說，負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數，而不是負數，負數只是出現在指數上。
（6）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。
有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我們利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質可以解決一些問題，來看下面的例題。
應用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質計算出數值或化成最簡根式，根據題目要求，把底數寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數冪的運算性質可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來。
解：(1) =22=4;
（2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
（4）=23-3=278.
點評：本例主要考查冪值運算，要按規定來解。在進行冪值運算時，要首先考慮轉化為指數運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.
例2用分數指數冪的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活動：學生觀察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算，根式化為分數指數冪時，要由里往外依次進行，把握好運算性質和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算。對于計算的結果，不強求統一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分數指數冪的形式來表示，但結果不能既有分數指數又有根式，也不能既有分母又有負指數。
例3計算下列各式（式中字母都是正數）。
（1）；
（2）。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內的，整數冪的運算性質及運算規律擴充到分數指數冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉后可以簡化步驟。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
（2）=m2n-3=m2n3.
點評：分數指數冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分數指數冪，就可把根式轉化成分數指數冪的形式，用分數指數冪的運算法則進行運算了。
本例主要是指數冪的運算法則的綜合考查和應用。
變式訓練
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4計算下列各式：
（1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底。利用分數指數冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數指數冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算，最后寫出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能訓練
課本本節練習1,2,3
【補充練習】
教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發，對做得好的同學給予表揚鼓勵。
1、(1)下列運算中，正確的是（）
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是（）
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
（4）把根式-25(a-b)-2改寫成分數指數冪的形式為（）
A. B.
C. D.
（5）化簡的結果是（）
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
（2）設5x=4,5y=2，則52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x 答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3、解：。 因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因為x 所以原式= =12-6-63=-33. 拓展提升 1、化簡：。 活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數之間的關系可以得到解題思路，應對原式進行因式分解，根據本題的特點，注意到： x-1= -13=； x+1= +13=； 。 構建解題思路教師適時啟發提示。 解： = = = = 。 點撥：解這類題目，要注意運用以下公式， =a-b， =a± +b， =a±b. 2、已知，探究下列各式的值的求法。 (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。 解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7; （2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47; （3）由于， 所以有=a+a-1+1=8. 點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。 課堂小結 活動：教師，本節課同學們有哪些收獲？請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流。同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點： （1）分數指數冪的`意義就是：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。 （2）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。 （3）有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)， ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)， ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。 （4）說明兩點： ①分數指數冪的意義是一種規定，我們前面所舉的例子只表明這種規定的合理性，其中沒有推出關系。 ②整數指數冪的運算性質對任意的有理數指數冪也同樣適用。因而分數指數冪與根式可以互化，也可以利用=am來計算。 作業 課本習題2.1A組2,4. 設計感想 本節課是分數指數冪的意義的引出及應用，分數指數是指數概念的又一次擴充，要讓學生反復理解分數指數冪的意義，教學中可以通過根式與分數指數冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務。 第3課時 作者：鄭芳鳴 導入新課 思路1.同學們，既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數，這樣指數就推廣到有理數，那么它是否也和數的推廣一樣，到底有沒有無理數指數冪呢？回顧數的擴充過程，自然數到整數，整數到分數（有理數），有理數到實數。并且知道，在有理數到實數的擴充過程中，增添的數是無理數。對無理數指數冪，也是這樣擴充而來。既然如此，我們這節課的主要內容是：教師板書本堂課的課題〔指數與指數冪的運算(3)〕之無理數指數冪。 思路2.同學們，在初中我們學習了函數的知識，對函數有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發展，社會的進步，我們還要學習許多函數，其中就有指數函數，為了學習指數函數的知識，我們必須學習實數指數冪的運算性質，為此，我們必須把指數冪從有理數指數冪擴充到實數指數冪，因此我們本節課學習：指數與指數冪的運算(3)之無理數指數冪，教師板書本節課的課題。 推進新課 新知探究 提出問題 （1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？ （2）多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發現什么樣的規律？ 2的過剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 的近似值 2的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … （3）你能給上述思想起個名字嗎？ （4）一個正數的無理數次冪到底是一個什么性質的數呢？如，根據你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？ （5）借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎？ 活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內容： 問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。 問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關聯。 問題(3)上述方法實際上是無限接近，最后是逼近。 問題(4)對問題給予大膽猜測，從數軸的觀點加以解釋。 問題(5)在(3)(4)的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。 討論結果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數都大于2，稱2的過剩近似值。 （2）第一個表：從大于2的方向逼近2時，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。 第二個表：從小于2的方向逼近2時，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。 從另一角度來看這個問題，在數軸上近似地表示這些點，數軸上的數字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以說從兩個方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數指數冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數指數冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規律變化的結果，事實上表示這些數的點從兩個方向向表示的點靠近，但這個點一定在數軸上，由此我們可得到的結論是一定是一個實數，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5. 充分表明是一個實數。 （3）逼近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識。 （4）根據(2)(3)我們可以推斷是一個實數，猜測一個正數的無理數次冪是一個實數。 （5）無理數指數冪的意義： 一般地，無理數指數冪aα（a>0，α是無理數）是一個確定的實數。 也就是說無理數可以作為指數，并且它的結果是一個實數，這樣指數概念又一次得到推廣，在數的擴充過程中，我們知道有理數和無理數統稱為實數。我們規定了無理數指數冪的意義，知道它是一個確定的實數，結合前面的有理數指數冪，那么，指數冪就從有理數指數冪擴充到實數指數冪。 提出問題 （1）為什么在規定無理數指數冪的意義時，必須規定底數是正數？ （2）無理數指數冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數指數冪的運算法則相通呢？ （3）你能給出實數指數冪的運算法則嗎？ 活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納。 對問題(1)回顧我們學習分數指數冪的意義時對底數的規定，舉例說明。 對問題（2)結合有理數指數冪的運算法則，既然無理數指數冪aα(a>0，α是無理數）是一個確定的實數，那么無理數指數冪的運算法則應當與有理數指數冪的運算法則類似，并且相通。 對問題(3)有了有理數指數冪的運算法則和無理數指數冪的運算法則，實數的運算法則自然就得到了。 討論結果：(1)底數大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規定了底數是正數后，無理數指數冪aα是一個確定的實數，就不會再造成混亂。 （2）因為無理數指數冪是一個確定的實數，所以能進行指數的運算，也能進行冪的運算，有理數指數冪的運算性質，同樣也適用于無理數指數冪。類比有理數指數冪的運算性質可以得到無理數指數冪的運算法則： ①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是無理數）。 ②（ar)s=ars(a>0，r，s都是無理數）。 ③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數）。 （3）指數冪擴充到實數后，指數冪的運算性質也就推廣到了實數指數冪。 實數指數冪的運算性質： 對任意的實數r，s，均有下面的運算性質： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 應用示例 例1利用函數計算器計算。（精確到0.001） (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。 活動：教師教會學生利用函數計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數，算出數值，對于(1)，可先按底數0.3，再按xy鍵，再按冪指數2.1，最后按=，即可求得它的值； 對于(2)，先按底數3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可； 對于(3)，先按底數3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可； 對于(4)，這種無理指數冪，可先按底數3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵。有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。 學生可以相互交流，挖掘計算器的用途。 解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705. 點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現代技術的威力，逐步把自己融入現代信息社會；用四舍五入法求近似值，若保留小數點后n位，只需看第(n+1)位能否進位即可。 例2求值或化簡。 (1)a-4b23ab2(a>0，b>0)； （2）(a>0，b>0)； (3)5-26+7-43-6-42. 活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數則化為常數，若不能化為常數則應使所化式子達到最簡，對既有分數指數冪又有根式的式子，應該把根式統一化為分數指數冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數指數冪，要緊扣分數指數冪的意義和運算性質，對(2)既有分數指數冪又有根式，應當統一起來，化為分數指數冪，對(3)有多重根號的式子，應先去根號，這里是二次根式，被開方數應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學生作及時的評價，注意總結解題的方法和規律。 解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。 點評：根式的運算常常化成冪的運算進行，計算結果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示。 一、課程性質與任務 數學是研究空間形式和數量關系的科學，是科學和技術的基礎，是人類文化的重要組成部分。數學課程是中等職業學校學生必修的一門公共基礎課。本課程的任務是：使學生掌握必要的數學基礎知識，具備必需的相關技能與能力，為學習專業知識、掌握職業技能、繼續學習和終身發展奠定基礎。二、課程教學目標 1.在九年義務教育基礎上，使學生進一步學習并掌握職業崗位和生活中所必要的數學基礎知識。2.培養學生的計算技能、計算工具使用技能和數據處理技能，培養學生的觀察能力、空間想象能力、分析與解決問題能力和數學思維能力。 3.引導學生逐步養成良好的學習習慣、實踐意識、創新意識和實事求是的科學態度，提高學生就業能力與創業能力。三、教學內容結構 本課程的教學內容由基礎模塊、職業模塊和拓展模塊三個部分構成。 1.基礎模塊是各專業學生必修的基礎性內容和應達到的基本要求，教學時數為128學時。2.職業模塊是適應學生學習相關專業需要的限定選修內容，各學校根據實際情況進行選擇和安排教學，教學時數為32~64學時。 3.拓展模塊是滿足學生個性發展和繼續學習需要的任意選修內容，教學時數不做統一規定。四、教學內容與要求 （一）本大綱教學要求用語的表述1.認知要求（分為三個層次） 了解：初步知道知識的含義及其簡單應用。 理解：懂得知識的概念和規律（定義、定理、法則等）以及與其他相關知識的聯系。掌握：能夠應用知識的概念、定義、定理、法則去解決一些問題。2.技能與能力培養要求（分為三項技能與四項能力） 計算技能：根據法則、公式，或按照一定的操作步驟，正確地進行運算求解。計算工具使用技能：正確使用科學型計算器及常用的數學工具軟件。數據處理技能：按要求對數據（數據表格）進行處理并提取有關信息。觀察能力：根據數據趨勢，數量關系或圖形、圖示，描述其規律。 空間想象能力：依據文字、語言描述，或較簡單的幾何體及其組合，想象相應的空間圖形；能夠在基本圖形中找出基本元素及其位置關系，或根據條件畫出圖形。 分析與解決問題能力：能對工作和生活中的簡單數學相關問題，作出分析并運用適當的數學方法予以解決。 數學思維能力：依據所學的數學知識，運用類比、歸納、綜合等方法，對數學及其應用問題能進行有條理的思考、判斷、推理和求解；針對不同的問題（或需求），會選擇合適的模型（模式）。 （二）教學內容與要求1.基礎模塊（128學時）第1單元集合（10學時） 第2單元不等式（8學時） 第3單元函數（12學時） 第4單元指數函數與對數函數（12學時） 第5單元三角函數（18學時） 第6單元數列（10學時） 第7單元平面向量（矢量）（10學時） 第8單元直線和圓的方程（18學時） 第9單元立體幾何（14學時） 第10單元概率與統計初步（16學時） 2.職業模塊 第1單元三角計算及其應用（16學時） 第2單元坐標變換與參數方程（12學時） 第3單元復數及其應用（10學時） 一、什么是教學案例 教學案例是真實而又典型且含有問題的事件。簡單地說，一個教學案例就是一個包含有疑難問題的實際情境的描述，是一個教學實踐過程中的故事，描述的是教學過程中“意料之外，情理之中的事”。 這可以從以下幾個層次來理解： 教學案例是事件：教學案例是對教學過程中的一個實際情境的描述。它講述的是一個故事，敘述的是這個教學故事的產生、發展的歷程，它是對教學現象的動態性的把握。 教學案例是含有問題的事件：事件只是案例的基本素材，并不是所有的教學事件都可以成為案例。能夠成為案例的事件，必須包含有問題或疑難情境在內，并且也可能包含有解決問題的方法在內。正因為這一點，案例才成為一種獨特的研究成果的表現形式。 案例是真實而又典型的事件：案例必須是有典型意義的，它必須能給讀者帶來一定的啟示和體會。案例與故事之間的根本區別是：故事是可以杜撰的，而案例是不能杜撰和抄襲的，它所反映的是真是發生的事件，是教學事件的真實再現。是對“當前”課堂中真實發生的實踐情景的描述。它不能用“搖擺椅子上杜撰的事實來替代”，也不能從抽象的、概括化的理論中演繹的事實來替代。 二、如何進行教學案例研究 教學案例是教師教學行為真實、典型的記錄，也是教師教學理念和教學思想的真實體現。因此它是教育教學研究的寶貴資源，也是教師之間交流的重要媒介。進行教學案例的研究是教師不斷反思、改進自己教學的一種方法，能促使教師更為深刻地認識到自己工作中的重點和難點。這個過程就是教師自我教育和成長的過程。 那么如何進行教學案例研究呢?一般情況下，案例研究的程序基本有以下兩個環節：案例研究的準備及實施、案例研究報告的撰寫與反思。 (一)案例研究的準備與實施 1.研究主題的選擇 案例研究都要有研究的重點和主題，這個主題常與教學改革的核心理念、常見的疑難問題和困惑事件相關，一般來說可以從教學的各個方面確定研究的主題，如從教師教學行為確定主題——教學材料的選擇、教學中的提問、教學媒體的使用、教學評價語言、課堂教學調控行為等;也可以從學生的學習方式確定主題——探究性學習、問題解決學習、合作學習、實踐性活動等。另外從學科特點、教學內容等都可以確定研究的主題。 研究者要了解當前教學的大背景，教改的大方向，要熟悉相關的《課程標準》和有針對性地作一些理論準備。還要通過有關的調查，搜集詳盡的材料(如閱讀教師的教學設計，進行訪談等)，同時初步確定案例研究的方向、研究任務，即初步確定案例的內容是關于教學策略、學生行為或是教學技能的研究。 一般來說，案例研究主題的確定往往需要思考下面一些問題：即研究的事件是否對于自我發現更有潛力?選擇的事件對學生是否有較大的情感影響(心靈是否受到震撼)?關鍵事件再現了前人(或自己)過去成功的行為嗎?事件呈現的是一個你不能確定怎樣解決的問題?事件需要你做出困難的選擇嗎?事件使得你必須以一種感覺不熟悉的方式或是仍在思考的方式回答嗎?事件暗示一個與道德或道義上相關的問題嗎?研究的主題如果反映以上的一些內容，那么這樣的案例研究在自我學習、內省和深層次理解方面就可能更加富有成效。 高中數學教學案例研究的主題內容主要集中在三方面：(1)學科特點的體現：如數學思想方法的教學、數學思維品質的培養、本質屬性的抽象、數學結論的推廣等;(2)學生數學學習規律的探究：如數學學習習慣、解決問題的思維方式、獨立思考與合作學習等;(3)教師專業知識的提升：如數學板書與電子屏幕的展示對學生思維的影響、數學語言的訓練對人們思維的影響、數學知識模式化教學的優劣等。 2.案例研究的基本方法 (1)課堂觀察。觀察方法是指研究者按照一定的目的和計劃，在課堂教學活動的自然狀態下，用自己的感官和輔助工具對研究對象進行觀察研究的一種方法。它可以是教師自己對教學對象——學生，在課堂活動中的片斷進行觀察，也可以由其他教師來實施觀察，這兩種觀察的目的都是為了掌握課堂教學中的第一手資料。課堂觀察方法不限于用肉眼觀察、耳聽手記，還可利用各種工具如照相、錄音、攝像等作為輔助觀察的手段，以提高觀察的效果。對觀察的資料，可以逐字逐句整理成課堂教學實錄、教學程序表、提問技巧水平檢核表、提問行為類型頻次表、課堂教學時間分配表等，以便以后繼續分析案例提供翔實的原始材料。 (2)訪談與調查。對一些課堂教學不能觀察到的師生內心活動，如教師教學的目的、教學程序的意圖、教學手段的運用以及教學達標的成效等一些需要進一步了解的問題，可以通過與執教教師的交談以及和學生的座談，以豐富和充實課堂教學觀察的材料;對學生在課堂教學活動中回答問題的心理狀態、解題思路等問題，也可以在課后做一些問卷調查;對學生達標的成度、效度，也可以作一些測試調查。從這些訪談、調查的材料中，再分析課堂教學的現象，不難發現造成各種課堂現象與教師教學行為之間的因果關系，然后再具體尋找在哪個教學環節中出現問題，從中提煉出解決問題的對策。 (3)文獻分析。文獻分析是通過查閱文獻資料，從過去和現在的有關研究成果中受到啟發，從中找到課堂教學現象的理論依據，從而增強案例分析的說服力。當然，對廣大第一線教師而言，這里所運用的文獻分析方法，并不是為了論證新教育理論，也不是去歸納教育的宏觀現象，而是通過有關教育理論文獻的查閱，去進一步解讀課堂教學的活動，挖掘案例中的教育思想。如在數學教學中，我們常常通過學生的動手操作來獲得有關的數學概念、法則與公式，那么，為什么要這樣做呢?就可以帶著問題，查閱、分析有關文獻資料，從學習中提高研究者自身的理論水平。 (二)案例研究報告的撰寫 1.常見的案例報告格式 撰寫教學案例，結構可以靈活多樣，并非要千篇一律、一個模式，而是可以有不同的表現形式，如“案例背景——案例描述——案例分析”、“案例過程——案例反思”、“課例——問題——分析”、“主題與背景——情景描述——問題討論——詮釋與研究”等。當前，國內外課堂教學案例編寫的格式有多種多樣。但不管何種編寫格式，它們都有兩個共同的特點：一是對案例的客觀描述;二是對案例中所述問題、關鍵教學事件等的分析。 下面介紹兩種常用的案例編寫的格式： (1)“描述+分析”式 此格式的特點是將整個案例分為兩大部分，前半部分主要為描述課堂教學活動的情景，后半部分主要針對情景中的一個問題進行理論分析并獲得結論。案例的描述一般是把課堂教學活動中的某一片斷像講故事一樣原原本本地、具體生動地描繪出來。描述的形式可以是一串問答式的課堂對話，也可以概括式地敘述，主要是提供一個或一連串課堂教學疑難的問題，并把教育理論、教育思想隱藏在描述之中。案例的分析部分是針對描述的情景發表個人或多人的感受，同時加以理論的分析與說明。分析方法可以是對描述中提出的一個問題，從幾個方面加以分析：也可以是對描述中的幾個問題，集中從一個方面加以分析。分析的目的是要從描述的情景中提煉問題的本質，講述理論的解釋，明確正確的方法，最終獲得對關鍵教學事件的正確把握。 (2)“背景+描述+問題+詮釋”式 此格式是一種要求比較高的編寫格式，而且，它在實際教學中的作用也更大。通常它將整個案例分為四個部分： A.主題與背景 主題是關鍵教學事件中所反映的案例主要觀點，也是整篇案例的核心思想。背景主要敘述案例發生的地點、時間、人物的一些基本情況。當然，這部分的內容不宜很長，只需提綱挈領敘述清楚即可。 B.情景描述 與“描述+分析”式中的描述相同，主要突出主題所反映的課堂教學活動。 C.問題討論 這是根據主題要求與情景描述，進行的分析、歸納、總結與提煉，包括學科知識的要點、教學法和情景特點以及案例的說明與注意事項。這部分內容主要是為案例教學服務的，目的是提高教師的認識水平與學生主動學習的能力。不同的教學觀念，不同的教學手段，所提出的問題也不同。對案例中所提出的主題以及情景描述中提出的問題闡述自己的見解。 D.詮釋與研究 這部分主要是用教育理論對案例情景作多角度的解讀。它包括對課堂教學行為的技術資料、課堂教學實錄以及教學活動背后的故事等作理論上的分析。例如，在課堂教學中，我們常看到這樣的現象，課堂教學的效果高于預期的目標，反之教師期望的目標學生沒有達到或有所偏離，教學內容呈現的先后與學生理解的程度、教學方法運用與學生內在動機的激發等環節存在著矛盾，這些事件的背后，必然隱含著豐富的教育思想。所以，通過詮釋，挖掘這些事件背后的內在思想，揭示其教育規律就顯得十分的必要。 2.案例報告撰寫的關鍵 (1)掌握四個原則。要寫好教學案例，除了平時多積累素材，學習他人的案例作品以提高寫作技巧外，還應把握以下四點： A.主題性原則：要有捕捉關鍵教學事件的意識，以此確定案例研究的主題。為此要注意了解新的課程改革的動向、把握適合時代要求的數學教育方式、明確學生數學學習的難點和重點，尋找數學教師專業發展的途徑與規律。報告圍繞主題進行情景描述和獲得解決問題的策略。這種描述不是簡單的教學活動實錄，要反映事件發生的過程，重點描述反映關鍵教學事件的變化和戲劇化的情境，猶如記敘文寫作，突出主題，詳寫重點，雕刻高潮。 案例鮮明的主題通常關系到教學的核心理念、常見問題、處理方法等等，可以說，主題就是案例的靈魂。而主題的最佳表現形式就是文題直接體現主題。因此，設計主題就要有新意、有時代感，通俗地說就是與眾不同，要有獨特見解、獨家發現。來源于實踐的教學案例并非都有同等價值，關鍵要看撰寫者對實踐的發展與理論的升華程度，包括對題目的推敲。如有的教學案例重點描述了有戲劇性的情節，用了“細節決定成敗”的題目，給人耳目一新，一下子揪住了讀者的心。再如，一些有創意的題目《“導之有方”方能“導之有效”》、《跳出數學教數學》、《在數學的疑難處悟成長》、《捕捉資源因勢利導》等等，讓人一看題目就有閱讀的欲望。實踐證明，在寫作案例時，選擇有感悟、有新意的內容，在明確主題，恰當擬題后再動筆，才能寫出高質量的案例。 B.理論性原則：解決問題的策略中應當蘊含一定的教育基本原理和教育思想。實際是將自己對教育理念以及教育基本原理的理解滲透于描述的字里行間，比如學生做了什么，參與程度，投入程度如何，教師如何引導點撥，師生心理、行為變化情況等，無不體現教師的教學思想和教育基本原理。 C.敘事性原則：案例報告的書寫方式是敘事式，它不同于論述式。敘事方式必須以課堂教學生動的事實為主要情節，可以夾敘夾議，也可以選擇情景片段，可以是一節課中的情景，也可以是圍繞一個主題的幾節課的情景片段。 D.學科性原則：數學案例報告一定要體現學科的特征，要有較深刻的理性思考，要反映數學的基本思想與方法，要符合課程標準，滿足教材內容的呈現方法，積極培養良好的思維習慣。就是撰寫者的教育思想和教育理念在教學實踐中具體體現。 (2)用好四種表述。教學案例的表述方法很多，可以歸納為以下四種方法： A.故事式陳述法：就是教學全程或某一精彩教學片段實錄，包括教師和學生的一言一行。陳述時，根據操作程序作一點“簡評”，最后作“總評”。 B.以案說理：對教學過程進行陳述時，舍去與文題不相關或不重要的部分，并強化與主題相關的重要情節，尤其是引發高潮的關鍵行為，然后有較長篇幅的理性思考。 C.圖表展示法：用圖表進行統計的形式體現撰寫者的教育思想，給人以一目了然的感覺，幫助讀者迅速了解撰寫者的寫作意圖，是常用的一種案例撰寫方法。比如，描述學生的參與人數，投入程度，解決問題的質量等多個問題，都可以在一張或數張圖表上用百分比或個(次)數進行統計。在每一張圖表后，應有一段“分析”或“結論”，將撰寫者的教學理念進行理性闡述，亦可在圖表展示后，總的提出自己對案例的分析和建議。 D.分析討論法：在撰寫時，應汲取分析討論中最精彩的部分做深入、細致的全面記錄，最后撰寫者還必須對討論情況做一分析，或提出一些值得今后進一步思考的問題。 3.優秀案例的特征 (1)時代性：一個好的案例描述的是現實生活場景——案例的敘述要把事件置于一個時空框架之中，應該以關注今天所面臨的疑難問題為著眼點，至少應該是近年發生的事情，展示的整個事實材料應該與整個時代及教學背景相照應，這樣的案例讀者更愿意接觸。一個好的案例可以使讀者有身臨其境的感覺，并對案例所涉及的人產生移情作用。 (2)真實性：一個好的案例應該包括從案例所反映的對象那里引述的材料——案例寫作必須持一種客觀的態度，因此可引述一些口頭的或書面的、正式的或非正式的材料，如對話、筆記、信函等，以增強案例的真實感和可讀性。重要的事實性材料應注明資料來源。 (3)適用性：一個好的案例需要針對面臨的疑難問題提出解決辦法——案例不能只是提出問題，它必須提出解決問題的主要思路、具體措施，并包含著解決問題的詳細過程，這應該是案例寫作的重點。如果一個問題可以提出多種解決辦法的話，那么最為適宜的方案，就應該是與特定的背景材料相關最密切的那一個。如果有包治百病、普遍適用的解決問題的辦法，那么案例這種形式就不必要存在了。 (4)反思性：一個好的案例需要有對已經做出的解決問題的決策的評價——評價是為了給新的決策提供參考點。可在案例的開頭或結尾寫下案例作者對自己解決問題策略的評論，以點明案例的基本論點及其價值。 三、案例研究過程中需注意的問題 1.選材面過窄。從內容上看，多數案例是關于課堂教學甚至局限于一節課的研究，往往不能說明問題，或者在一節課中，也只會從簡單的對話分析問題，做不到全方位、多角度。這說明教師對教學情境的豐富性、復雜性和聯系性認識不夠。 2.缺乏典型性。有的案例對教學實踐沒有挖掘與反思，隨意摘取一些教學片段泛泛而談、人云亦云，沒有實用價值。不能夠通過對某一事件現象的分析、處理、詮釋，達到舉一反三的效果，這樣的案例對他人沒什么借鑒作用。 3.主題不明確。主要體現為： (1)主題渙散。有的案例象記流水帳，沒有根據需要進行恰當的取舍，看不出作者要反映、探討什么問題，缺乏指導性、創新性和參考性。 (2)定題過于隨意。有的案例直接用案例研究依據的文題為題目，如《“三角函數”教學案例》、《“拋物線”教學案例》等，題目不鮮明、不形象，影響讀者的選讀和案例的傳播。 4.結構不合理。案例作為一種文體，有它自己的寫作結構，只有優化案例的結構，才能增強案例的可讀性和指導性。如寫成一般的教學設計，一般包括“備課思路、教學目標、教學重點、教學方法、課前準備、教學內容、教學過程”等內容;寫成教學實錄，把一堂課從頭到尾詳盡地記錄下來，再寫上作者的看法;重記錄輕分析，過程描述多，評析少等等。沒有創新，平淡無趣，看不出案例研究和反映的問題。 5.描述與分析脫節。有的案例描述與分析矛盾，讓人不知所云;有時反映的是一種觀點，分析闡明的是另一種觀點，雖然不矛盾，但聯系不緊密;有的分析中熱衷于抄錄教育理論的一些條條，脫離案例描述的事件而空談理論，顯得空泛無物。 【高中數學教案】相關文章： 高中數學教案07-11 高中數學教案12-29 高中數學教案07-20 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