圓和圓的位置關系 教案
作為一名辛苦耕耘的教育工作者，有必要進行細致的教案準備工作，教案是實施教學的主要依據，有著至關重要的作用。怎樣寫教案才更能起到其作用呢？以下是小編精心整理的圓和圓的位置關系 教案，歡迎閱讀與收藏。
圓和圓的位置關系 教案1
目標：
知識目標：經歷探索兩個圓之間位置關系的過程；了解圓與圓之間的幾種位置關系；了解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的聯系
重點和難點
重點：圓與圓之間的幾種位置關系
難點：兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的聯系
教學過程設計
一、從學生原有的認知結構提出問題
1）復習點與圓的位置關系；2）復習直線與圓的位置關系。
二、師生共同研究形成概念
1.書本引例
☆ 想一想 P 125 平移兩個圓
利用平移實驗直觀地探索圓和圓的位置關系。
2.圓與圓的位置關系
每一種位置關系都可以先讓學生想想應該用什么名稱表達。在講解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的聯系時，可先讓學生探索，老師不要生硬地把答案說出
☆ 鞏固練習 若兩圓沒有交點，則這兩個圓的位置關系是 相離 ；
若兩圓有一個交點，則這兩個圓的位置關系是 相切 ；
若兩圓有兩個交點，則這兩個圓的位置關系是 相交 ；
☆ 想一想 書本P 126 想一想
通過實際例子讓學生理解圓與圓的位置關系。
3.圓與圓相切的性質
☆ 想一想 書本P 127 想一想
旨在引導學生思考兩圓相切的'性質：如果兩圓相切，那么兩圓的連心線經過切點，這一性質是下面議一議的基礎。學生容易看出兩圓相切圖形的軸對稱性及對稱軸，但要說明切點在連心線上則有一定困難。
如果兩圓相切，那么兩圓的連心線經過切點
4.講解例題
例1.已知⊙ 、⊙ 相交于點A、B，∠A B = 120°，∠A B = 60°， = 6cm。求：（1）∠ A 的度數；2）⊙ 的半徑 和⊙ 的半徑 。
5.講解例題
例2.兩個同樣大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如圖所示，分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大小。
三、隨堂練習
1.書本 P 128 隨堂練習
2.《練習冊》 P 59
四、小結
圓與圓的位置關系；圓心距與兩圓半徑和兩圓的關系。
五、作業
書本 P 130 習題3.9 1
六、教學后記
圓和圓的位置關系 教案2
教學目標
(一)教學知識點
1．了解圓與圓之間的幾種位置關系．
2．了解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的聯系．
(二) 能力訓練要求
1．經歷探索兩個圓之間位置關系的過程，訓練學生的探索能力．
2．通過平移實驗直觀地探索圓和圓的位置關系，發展學生的識圖能力和動手操作能力．
(三)情感與價值觀要求
1．通過探索圓和圓的位置關系，體驗數學活動充滿著探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性．
2．經歷探究圖形的位置關系，豐富對現實空間及圖形的認識，發展形象思維．
教學重點
探索圓與圓之間的幾種位置關系，了解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的聯系．
教學難點
探索兩個圓之間的位置關系，以及外切、內切時兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的過程．
教學方法
教師講解與學生合作交流探索法
教具準備
投 影片三張
第一張：(記作3． 6A)
第二張：(記作3．6B)
第三張：(記作3．6C)
教學過程
Ⅰ．創設問題情境，引入新課
[師]我們已經研究過點和圓的位置關系，分別為點在圓內、點在圓上、點在圓外三種；還探究了直線和圓的位置關系，分別為相離、相切、相交．它們的位置關系都有三種．今天我們要學習的內容是圓和圓的位置關系，那么結果是不是也是三種呢？沒有調查就沒有發言權．下面我們就來進行有關探討．
Ⅱ．新課講解
一、想一想
[師]大家思考一下，在現實生活中你見過兩個圓的哪些位置關系呢？
[生]如自行車的兩個車輪間的位置關 系；車輪輪胎的兩個邊界圓間的位置關系；用一只手拿住大小兩個圓環時兩個圓環間的位置關系等．
[師]很好，現實生活中我們見過的有關兩個圓的位置很多．下面我們就來討論這些位置關系分別是什么．
二、探索圓和圓的位置關系
在一張透明紙上作一個⊙O．再在另一張透明紙上作一個與⊙O1半徑不等的⊙O2．把兩張透明紙疊在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1與⊙O2有幾種位置關系？
[師]請大家先自己動手操作，總結出不同的位置關系，然后互相交流．
[生]我總結出共有五種位置關系，如下圖：
[師]大家的歸納、總結能力很強，能說出五種位置關系中各自有什么特點嗎？從公共點的個數和一個圓上的點在另一個圓的內部還是外 部來考慮．
[生]如圖：(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每一個圓上的點都在另一個圓的外部；
(2)外切：兩個圓有唯一公共點，除公共點外一個圓上的點都在另一個圓的外部；
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，一 個圓上的點有的在另一個圓的外部，有的在另一個圓的內部；
(4)內切：兩個圓有一個公共點，除公共點外，⊙O2上的點在⊙O1的`內部；
(5)內含：兩個圓沒有公共點，⊙O2上的點都在⊙O1的內部．
[師]總結得很出色，如果只從公共點的個數來考慮，上面的五種位置關系中有相同類型嗎？
[生]外離和內含都沒有公共點；外切和內切都有一個公共點；相交有兩個公共點．
[師]因此只從公共點的個數來考慮，可分為相離、相切、相交三種．
經過大家的討論我們可知：
投影片(24.3A)
(1)如果從公共點的個數，和一個圓上的點在另一個圓的外部還是內部來考慮，兩個圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內切、內含．
(2)如果只從公共點的個數來考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離 ，相切
三、例題講解
投影片(24.3B)
兩個同樣大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如圖所示(點O，O＇是圓心)，分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直 線，TP、NP分別為兩圓的切線，求TPN的大小．
分析：因為兩個圓大小相同，所以 半徑OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分別為兩圓的切 線，所以PTOP，PNO＇P，即OPT＝O＇PN＝90，所以TPN等于36 0減去OPT＋O＇PN＋OPO＇即可．
解 ：∵OP＝OO＇＝PO＇，
△PO＇O是一個等邊三角形．
OPO＇＝60．
又∵TP與NP分別為兩圓的切線，
TPO ＝NPO＇＝90．
TPN＝360－290－60＝120．
四、想一想
如圖(1)，⊙O1與⊙O2外切，這個圖是 軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？切點與對稱軸有什么位置關系？如果⊙O1與⊙O2內切呢？〔如圖(2 )〕
[師]我們知道圓是軸對稱圖形，對稱軸是任一直徑所在的直線，兩個圓是否也組成一 個軸對稱圖形呢？這就要看切點T是否在連接兩個圓心的直線上，下面我們用反證法來證明．反證法的步驟有三 步：第一步是假設結論不成立；第二步是根據假設推出和已知條件或定理相矛盾的結論；第三步是證明假設錯誤，則原來的結論成立．
證明：假設切點T不在O1O2上．
因為圓是軸對稱圖形，所以T關于O1O2的對稱點T＇也是兩圓的公共點，這與已知條件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假設不成立．
則T在O1O2上．
由此可知圖(1)是軸對稱圖形，對 稱軸是兩圓的連心線，切點與對稱軸的位置關系是切點在對稱軸上．
在圖(2)中應有同樣的結論．
通過上面的討論，我們可以得出結論：兩圓相內切或外切時，兩圓的連心線一定經過切點，圖(1)和圖(2)都是軸對稱圖形，對稱軸是它們的連心 線．
五、議一議
投影片(24.3C)
設兩圓的半徑分別為R和r．
(1)當兩圓外切時，兩圓圓心之間的距離(簡稱圓心距)d與R和r具有怎樣的關系？反之當d與R和r滿足這一關系時，這兩個圓一定外切嗎？
(2)當兩圓內切時(R＞r)，圓心距d與R和r具有怎樣的關系？反之，當d與R和r滿足這一關系時，這兩個圓一定內切嗎？
[師]如圖，請大家互相交流．
[生]在圖(1)中，兩圓相外切，切點是A．因為切點A在連心線 O1O2上，所以O1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；反之，當d＝R＋r時，說明圓心距等于兩圓半徑之和，O1、A、O2在一條直線上，所以⊙O1與⊙O2只有一個交點A，即⊙O1與⊙O2外切．
在圖(2)中，⊙O1與⊙O2相內切，切點是 B．因為切點B在連心線O1O2上，所以 O1O2＝O1B－O2B，即d＝R－r；反之，當d＝R－r時，圓心距等于兩半徑之差，即O1O2＝O1B－O2B，說明O1、O2、B在一條直線上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1與⊙O2內切．
[師]由此可知，當兩圓相外切時，有d＝R＋r，反過來，當d＝R＋r時，兩圓相外切，即兩圓相外切 d＝R＋r．
當兩圓相內切時，有d＝R－r，反過來，當d＝R－r時，兩圓相內 切，即兩圓相內切 d＝R－r．
Ⅲ．課堂練習
隨堂練習
Ⅳ．課時小結
本節課學習了如下內容：
1．探索圓和圓的五種位置關系；
2．討論在兩圓外切或內切情況下，圖形的軸對稱性及對稱軸，以及切點和對稱軸的位置關系；
3． 探討在兩圓外切或內切時，圓心距d與R和r之間的關系．
Ⅴ．課后作業 習題24.3
Ⅵ．活動與探究
已知圖中各圓兩兩相切，⊙O的半徑為2R，⊙O1、⊙O2的半徑為R，求⊙O3的半徑．
分析：根據兩圓相外切連心線的長為兩半徑之和，如果設⊙O 3的半徑為r，則O1O3＝O2O3＝R＋r，連接OO3就有OO3O1O2，所以OO2O3構成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半徑r．
解：連接O2O3、OO3，
O2OO3＝90，OO3＝2R－r，
O2O3＝R＋r，OO2＝R．
(R＋r)2＝(2R－r)2＋R2．
r＝ R．
板書設計
24.3 圓和圓的位置關系
一、1．想一想
2．探索圓和圓的位置關系
3．例題講解
4．想一想
5．議一議
二、課堂練習
三、課時小結
四、課后作業
圓和圓的位置關系 教案3
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點：兩圓的位置關系和兩圓相交、相切的性質.它們是本節的主要內容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎知識.
難點：兩圓位置關系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質的運用.由于兩圓位置關系有5種類型，特別是相離有外離和內含，相切有外切和內切，學生容易遺漏;而在相交圓的性質應用中，學生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.
2、教法建議
本節內容需要兩個課時.第一課時主要研究;第二課時相交兩圓的性質.
(1)把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體，讓學生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識;
(2)要重視圓的對稱美的教學，組織學生欣賞，在激發學生的學習興趣中，獲得知識，提高能力;
(3)在教學中，以分類思想為指導，以數形結合為方法，貫串整個教學過程.
第一課時
教學目標：
1.掌握圓與圓的五種位置關系的定義、性質及判定方法;兩圓連心線的性質;
2.通過兩圓的位置關系，培養學生的分類能力和數形結合能力;
3.通過演示兩圓的位置關系，培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力.
教學重點：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系.
教學難點：
兩圓位置關系及判定.
(一)復習、引出問題
1.復習：直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的?
(教師主導，學生回憶、回答)直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數來定義的
2.引出問題：平面內兩個圓，它們作相對運動，將會產生什么樣的位置關系呢?
(二)觀察、分類，得出概念
1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系，準確給出描述性定義：
(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.(圖(1))
(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(2))
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交.(圖(3))
(4)內切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(4))
(5)內含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個特例.(圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點.
(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一
(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內含);相交;相切(外切和內切).
教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數考慮，無公共點則相離;有一個公共點則相切;有兩個公共點則相交.除以上關系外，還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點?
結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關系.
(三)分析、研究
1、相切兩圓的性質.
讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質：
如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上.
這個性質由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證明
2、兩圓位置關系的數量特征.
設兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數量關系.(圖形略)
兩圓外切d=R+r;
兩圓內切d=R-r(R>r);
兩圓外離d>R+r;
兩圓內含dr);
兩圓相交R-r
說明：注重“數形結合”思想的教學.
(四)應用、練習
例1：如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：(1)設⊙P與⊙O外切與點A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
(2)設⊙P與⊙O內切與點B，則
PB=PO+OB
∴PB=13cm.
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.
求證：⊙O與⊙B相外切.
證明：連結BO，∵AC為⊙O的直徑，AC=12，
∴⊙O的半徑，且O是AC的中點
∴，∵∠C=90°且BC=8，
∴，
∵⊙O的半徑，⊙B的半徑，
∴BO=，∴⊙O與⊙B相外切.
練習(P138)
(五)小結
知識：①兩圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含;
②以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數量關系;
③兩圓相切時切點在連心線上的性質.
能力：觀察、分析、分類、數形結合等能力.
思想方法：分類思想、數形結合思想.
(六)作業
教材P151中習題A組2，3，4題.
第二課時相交兩圓的性質
教學目標
1、掌握相交兩圓的性質定理;
2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法;
3、通過例題的分析，培養學生分析問題、解決問題的能力;
4、結合相交兩圓連心線性質教學向學生滲透幾何圖形的對稱美.
教學重點
相交兩圓的性質及應用.
教學難點
應用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質和準確添加輔助線.
教學活動設計
(一)圖形的對稱美
相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形.相交兩圓具有什么性質呢?
(二)觀察、猜想、證明
1、觀察：同樣相交兩圓，也構成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形.
2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.
3、證明：
對A層學生讓學生寫出已知、求證、證明，教師組織;對B、C層在教師引導下完成.
已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.
求證：Q1O2是AB的垂直平分線.
分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點和線段AB兩個端點的距離相等，于是想到連結O1A、O2A、O1B、O2B.
證明：連結O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1點在AB的垂直平分線上.
又∵O2A=O2B，∴點O2在AB的垂直平分線上.
因此O1O2是AB的垂直平分線.
也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：
∵⊙Ol和⊙O2，是軸對稱圖形，∴直線O1O2是⊙Ol和⊙O2的對稱軸.
∴⊙Ol和⊙O2的公共點A關于直線O1O2的對稱點即在⊙Ol上又在⊙O2上.
∴A點關于直線O1O2的對稱點只能是B點，
∴連心線O1O2是AB的`垂直平分線.
定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.
(三)應用、反思
例1、已知兩個等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點，⊙Ol經O2。
求∠OlAB的度數.
分析：由所學定理可知，O1O2是AB的垂直平分線，
又⊙O1與⊙O2是兩個等圓，因此連結O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構成等邊三角形，同時可以推證⊙Ol和⊙O2構成的圖形不僅是以O1O2為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形.從而可由
∠OlAO2=60°，推得∠OlAB=30°.
解：⊙O1經過O2，⊙O1與⊙O2是兩個等圓
∴OlA=O1O2=AO2
∴∠O1AO2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB=30°.
例2、已知，如圖，A是⊙Ol、⊙O2的一個交點，點P是O1O2的中點。過點A的直線MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。
求證：AM=AN.
證明：過點Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC=AM，AD=AN.
∵OlP=O2P，∴AD=AM，∴AM=AN.
例3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，C為⊙Ol上一點，AC交⊙O2于D，過B作直線EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.
求證：EC∥DF
證明：連結AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF.
反思：在解有關相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關知識來解，或者結合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解.
(四)小結
知識：相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據.
能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯系，為證題創造條件，起到了“橋梁”作用;②圓的對稱性的應用.
(五)作業教材P152習題A組7、8、9題;B組1題.
探究活動
問題1：已知AB是⊙O的直徑，點O1、O2、…、On在線段AB上，分別以O1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內切.設⊙O的周長等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長分別為C1、C2、…、Cn.
(1)當n=2時，判斷Cl+C2與C的大小關系;
(2)當n=3時，判斷Cl+C2+C3與C的大小關系;
(3)當n取大于3的任一自然數時，Cl十C2十…十Cn與C的大小關系怎樣?證明你的結論.
提示：假設⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，通過周長計算，比較可得(1)Cl+C2=C;(2)Cl+C2+C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.
問題2：有八個同等大小的圓形，其中七個有陰影的圓形都固定不動，第八個圓形，緊貼另外七個無滑動地滾動，當它繞完這些固定不動的圓形一周，本身將旋轉了多少轉?
提示：1、實驗：用硬幣作初步實驗;結果硬幣一共轉了4轉.
2、分析：當你把動圓無滑動地沿著圓周長的直線上滾動時，這個動圓是轉轉，但是，這個動圓是沿著弧線滾動，那么方才的說法就不正確了.在我們這個題目中，那動圓繞著相當于它的圓周長的的弧線旋轉的時候，一共走過的不是轉;而是轉，因此，它繞過六個這樣的弧形的時，就轉了轉。
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