冪的乘方與積的乘方教案設(shè)計(jì)
冪的乘方與積的乘方教案設(shè)計(jì)
●教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識點(diǎn)
1.經(jīng)歷探索冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會冪的意義.
2.了解冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問題.
(二)能力訓(xùn)練要求
1.在探索冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過程中，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力.
2.學(xué)習(xí)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，提高解決問題的能力.
(三)情感與價值觀要求
在發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力的同時，進(jìn)一步體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.
●教學(xué)重點(diǎn)
冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用.
●教學(xué)難點(diǎn)
冪的運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
●教學(xué)方法
引導(dǎo)——探究相結(jié)合
教師由實(shí)際情景引導(dǎo)學(xué)生探究冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用.
●教具準(zhǔn)備
小黑板
●教學(xué)過程
Ⅰ.提出問題，引入新課
［師］我們先來看一個問題：
一個正方體的邊長是102毫米，你能計(jì)算出它的體積嗎？如果將這個正方體的邊長擴(kuò)大為原來的10倍，則這個正方體的體積是原來的多少倍？
［生］正方體的體積等于邊長的立方.所以邊長為102毫米的正方體的體積V=(102)3立方毫米；如果邊長擴(kuò)大為原來的10倍，即邊長變?yōu)?02×10毫米即103毫米，此時正方體的體積變?yōu)閂1=(103)3立方毫米.
［師］(102)3，(103)3很顯然不是最簡，你能利用冪的意義，得出最后的結(jié)果嗎？大家可以獨(dú)立思考.
［生］可以.根據(jù)冪的意義可知(102)3表示三個102相乘，于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106；同樣根據(jù)冪的意義可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是我們就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米.
我們還可以計(jì)算出當(dāng)這個正方形邊長擴(kuò)大為原來的10倍時，體積就變?yōu)樵瓉淼?000倍即103倍.
［生］也就是說體積擴(kuò)大的倍數(shù)，遠(yuǎn)大于邊長擴(kuò)大的倍數(shù).
［師］是的！我們再來看(102)3，(103)3這樣的運(yùn)算.102，103是冪的形式，因此我們把這樣的運(yùn)算叫做冪的乘方.這節(jié)課我們就來研究冪的第二個運(yùn)算性質(zhì)——冪的乘方.
Ⅱ.探索冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)
做一做：計(jì)算下列各式并說明理由.
(1)(62)4；(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n.
［師］我們觀察不難發(fā)現(xiàn)，上面的4個小題都是冪的乘方的運(yùn)算，下面就請同學(xué)們利用冪的意義和我們學(xué)習(xí)過的內(nèi)容解答它們.
［生］(1)(62)4 62?62?62?62 62+2+2+2=68.
［師］第①步和第②步推出的理由是什么呢？
［生］第①步的理由是利用了冪的意義.(62)4表示4個62相乘；第②步的理由是利用了我們剛學(xué)過的同底數(shù)冪的乘法：底數(shù)不變，指數(shù)相加.
［師］觀察上面的運(yùn)算過程，底數(shù)和指數(shù)發(fā)生了怎樣的變化？
［生］結(jié)果的指數(shù)8=2×4，剛好是原式子中兩個指數(shù)的積，而運(yùn)算前后的底數(shù)沒變，還是6.
［師］接下來的(2)、(3)、(4)小題是不是可以同樣地利用冪的意義和同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)來推出結(jié)果呢？
［生］可以！
［師］下面我們就請三位同學(xué)到黑板上推出，其余的同學(xué)觀察他們做的有無錯誤.
［生］(2)(a2)3=a2?a2?a2=a2+2+2=a6=a2×3;
(3)(am)2=am?am=am+m=a2m;
(4)(am)n=
= =amn.
［師生共析］由上面的“做一做”我們就推出了冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，即
(am)n=amn(m,n都是正整數(shù))
用語言表述即為：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
在冪的乘方的運(yùn)算中，指數(shù)的運(yùn)算也降了一級.
Ⅲ.例題
出示投影片(§1.4.1 B)
［例1］計(jì)算：
(1)(102)3；(2)(b5)5;(3)(an)3;
(4)－(x2)m;(5)(y2)3?y;(6)2(a2)6－(a3)4.
［例2］如果甲球的半徑是乙球的n倍，那么甲球的體積是乙球的n3倍.
地球、木星、太陽可以近似地看做是球體.木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍？
［師］我們首先看例1的(1)、(2)、(3)題，可以發(fā)現(xiàn)它們都是冪的乘方的運(yùn)算.我們開始練習(xí)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，不要著急直接套入公式(am)n=amn中，而應(yīng)進(jìn)一步體會乘方的意義和冪的意義.我們只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就請幾個同學(xué)回答.
［生］(1)(102)3=102?102?102=102+2+2=102×3=106；
(2)(b5)5=b5?b5?b5?b5?b5=b5+5+5+5+5=b5×5=b25;
(3)(an)3=an?an?an=an+n+n=a3n.
［師］很好！下面我們再來試做例1中(4)、(5)、(6)題.
［生］(4)－(x2)m表示(x2)m的相反數(shù)，所以－(x2)m=－ =－ =－x2m;
(5)(y2)3?y中既含有乘方運(yùn)算，也含有乘法運(yùn)算，按運(yùn)算順序，應(yīng)先乘方，再做乘法，所以，(y2)3?y=(y2?y2?y2)?y=y2×3?y=y6?y=y6+1=y7;
(6)2(a2)6－(a3)4按運(yùn)算順序應(yīng)先算乘方，最后再化簡.所以
2(a2)6－(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12.
［師］接下來，我們再來看冪的乘方在實(shí)際中的應(yīng)用——例2.
［生］根據(jù)例2中的前提條件，可得
木星的體積是地球體積的103倍；太陽的體積是地球體積的(102)3倍即106倍.
［師］很好！我們觀察例2圖中的木星、太陽、地球的體積不難發(fā)現(xiàn)這個圖直觀地表現(xiàn)了體積擴(kuò)大的倍數(shù)與半徑擴(kuò)大的倍數(shù)之間的關(guān)系.比較木星、太陽、地球三個球體的大小，可知體積擴(kuò)大的倍數(shù)比半徑擴(kuò)大的倍數(shù)大得多.
Ⅳ.練一練
1.計(jì)算：
(1)(103)3；(2)－(a2)5;(3)(x3)4?x2;
(4)［(－x)2］3;(5)(－a)2(a2)2;
(6)x?x4－x2?x3.
2.判斷下面計(jì)算是否正確？如有錯誤請改正：
(1)(x3)3=x6;(2)a6?a4=a24.
［師］我們首先來回顧一下(am)n=amn(m、n都是正整數(shù))是怎樣推出來的.
［生］(am)n表示n個am相乘，根據(jù)乘方的意義(am)n= ，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)，可由 = =amn.
［師］我們能夠很好地體會和理解了冪的意義和同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)，接下來我們就來完成“練一練”.
［生］1.解：(1)(103)3=103×3=109；
(2)－(a2)5=－a2×5=－a10;
(3)(x3)4?x2=x3×4?x2=x12?x2=x12+2=x14;
(4)［(－x)2］3=(－x)2×3=(－x)6=x6;
(5)(－a)2?(a2)2=a2?a2×2=a2?a4=a2+4=a6;
(6)x?x4－x2?x3=x1+4－x2+3=x5－x5=0.
［師］2.(1)(x3)3=x6不正確，因?yàn)?x3)3表示三個x3相乘即x3?x3?x3=x3+3+3=x3×3=x9.或直接根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：底數(shù)不變，指數(shù)相乘，得(x3)3=x3×3=x9.
(2)a6?a4=a24不正確.因?yàn)閍6?a4=(a?a?a?a?a?a)(a?a?a?a)= =a10或根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)：底數(shù)不變，指數(shù)相加，得a6?a4=a6+4=a10.
［師］我們學(xué)習(xí)了冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)很容易與同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)混淆.通過練習(xí)的第2題，同學(xué)們可反思一下做題的過程，注意冪的意義和乘方的意義，真正地去理解這兩個冪的運(yùn)算性質(zhì)，而不是去單純的記憶.
Ⅴ.課時小結(jié)
我們這節(jié)課通過乘方的意義和冪的意義推出了冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并通過實(shí)際問題體會到了學(xué)習(xí)這個性質(zhì)的必要性，從而提高了我們的推理能力，有條理的語言表達(dá)能力和解決實(shí)際問題的能力.
Ⅵ.課后作業(yè)
1.課本P16，習(xí)題1.5的第1、2、3題.
2.反思做題過程，自己對出現(xiàn)的錯誤加以改正，并寫入成長記錄中.
關(guān)于它的證明在以后學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法后一目了然.
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