函數必考性質總結歸納

時間：2024-07-15 13:37:25

函數必考性質總結歸納

函數必考性質總結歸納

函數必考性質總結歸納

　　一、定義與定義式：

　　自變量x和因變量y有如下關系：

　　y=kx+b

　　則此時稱y是x的一次函數。

　　特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

　　即：y=kx （k為常數，k0）

　　二、一次函數的性質：

　　1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b （k為任意不為零的實數 b取任何實數）

　　2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

　　三、一次函數的圖像及性質：

　　1．作法與圖形：通過如下3個步驟

　　（1）列表；

　　（2）描點；

　　（3）連線，可以作出一次函數的圖像一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）

　　2．性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數的圖像總是過原點。

　　3．k，b與函數圖像所在象限：

　　當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

　　當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當b＞0時，直線必通過一、二象限；

　　當b=0時，直線通過原點

　　當b＜0時，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。

　　這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。

　　四、確定一次函數的表達式：

　　已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。

　　（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。

　　（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②

　　（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。

　　（4）最后得到一次函數的表達式。

　　五、一次函數在生活中的應用：

　　1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

　　2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

　　六、常用公式：（不全，希望有人補充）

　　1.求函數圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

　　2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

　　3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

　　4.求任意線段的長：(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）

　　二次函數

　　I.定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c為常數，a0，且a決定函數的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）

　　則稱y為x的二次函數。

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函數的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a0）

　　頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）]

　　交點式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點A（x? ，0）和 B（x?，0）的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-bb^2-4ac)/2a

　　III.二次函數的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，

　　可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

　　x= -b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為

　　P( -b/2a，(4ac-b^2)/4a )

　　當-b/2a=0時，P在y軸上；當= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；

　　當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于（0，c）

　　6.拋物線與x軸交點個數

　　= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -bb^2－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

　　V.二次函數與一元二次方程

　　特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，

　　當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），

　　即ax^2+bx+c=0

　　此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

　　函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

　　1．二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

　　解析式頂點坐標對稱軸

　　y=ax^2(0，0) x=0

　　y=a(x-h)^2(h，0) x=h

　　y=a(x-h)^2+k(h，k) x=h

　　y=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a

　　當h0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

　　當h0時，則向左平行移動|h|個單位得到．

　　當h0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的圖象；

　　當h0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；

　　當h0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；

　　當h0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；

　　因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

　　2．拋物線y=ax^2+bx+c(a0)的圖象：當a0時，開口向上，當a0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

　　3．拋物線y=ax^2+bx+c(a0)，若a0，當x-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a0，當x-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x-b/2a時，y隨x的增大而減小．

　　4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

　　(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

　　(2)當△=b^2-4ac0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

　　(a0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?|

　　當△=0．圖象與x軸只有一個交點；

　　當△0．圖象與x軸沒有交點．當a0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y0；當a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y0．

　　5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

　　頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．

　　6．用待定系數法求二次函數的解析式

　　(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c(a0)．

　　(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a0)．

　　(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a0)．

　　7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．

　　反比例函數

　　形如 y＝k／x(k為常數且k0) 的函數，叫做反比例函數。

　　自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

　　反比例函數圖像性質：

　　反比例函數的圖像為雙曲線。

　　由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x),圖像關于原點對稱。

　　另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

　　如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數圖像。

　　當K＞0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

　　當K＜0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

　　反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

　　知識點：

　　1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為| k |。

　　2.對于雙曲線y＝k／x ，若在分母上加減任意一個實數 (即 y＝k／（xm）m為常數)，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移）

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