高中數學函數部分知識點總結

時間：2023-06-30 13:40:58 梓欣總結我要投稿

相關推薦

高中數學函數部分知識點總結

　　總結在一個時期、一個年度、一個階段對學習和工作生活等情況加以回顧和分析的一種書面材料，寫總結有利于我們學習和工作能力的提高，不如立即行動起來寫一份總結吧。你所見過的總結應該是什么樣的？以下是小編整理的高中數學函數部分知識點總結，僅供參考，大家一起來看看吧。

高中數學函數部分知識點總結

　　1.函數的奇偶性

　　（1）若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(－x);

　　（2）若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則f(0)=0（可用于求參數）；（3）判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或（f(x)≠0）;(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性；

　　（5）奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性；偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性；

　　2.復合函數的有關問題

　　（1）復合函數定義域求法：若已知的定義域為［a，b］,其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域（即f(x)的定義域）；研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。（2）復合函數的單調性由“同增異減”判定；

　　3.函數圖像（或方程曲線的對稱性）

　　(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；

　　（2）證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C2上，反之亦然；

　　（3）曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

　　（4）曲線C1:f(x,y)=0關于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;

　　（5）若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a－x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱；

　　（6）函數y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關于直線x=對稱；

　　4.函數的周期性

　　(1)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=f(x－a)或f(x－2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數；

　　（2）若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2a的周期函數；

　　（3）若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4a的周期函數；

　　（4）若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數；

　　（5）y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2的周期函數；

　　（6）y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數；

　　5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域)；

　　6.a≥f(x)恒成立a≥［f(x)］max,;a≤f(x)恒成立a≤［f(x)］min;

　　7.（1）(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

　　(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

　　(3)logab的符號由口訣“同正異負”記憶;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

　　8.判斷對應是否為映射時，抓住兩點：

　　（1）A中元素必須都有象且唯一；

　　（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；

　　9.能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。

　　10.對于反函數，應掌握以下一些結論：

　　（1）定義域上的單調函數必有反函數；

　　（2）奇函數的反函數也是奇函數；

　　（3）定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;

　　（4）周期函數不存在反函數；

　　（5）互為反函數的兩個函數具有相同的單調性；

　　(5)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f-－1(x)]=x(x∈B),f-－1[f(x)]=x(x∈A).

　　11.處理二次函數的問題勿忘數形結合；二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關系；

　　12.依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題

　　13.恒成立問題的處理方法：

　　（1）分離參數法；

　　（2）轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解；

　　函數的定義域的常用求法：

　　1、分式的分母不等于零;

　　2、偶次方根的被開方數大于等于零;

　　3、對數的真數大于零;

　　4、指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1;

　　5、三角函數正切函數y=tanx中x≠kπ+π/2;

　　6、如果函數是由實際意義確定的解析式，應依據自變量的實際意義確定其取值范圍。

　　函數的解析式的常用求法：

　　1、定義法;

　　2、換元法;

　　3、待定系數法;

　　4、函數方程法;

　　5、參數法;

　　6、配方法

　　函數的值域的常用求法：

　　1、換元法;

　　2、配方法;

　　3、判別式法;

　　4、幾何法;

　　5、不等式法;

　　6、單調性法;

　　7、直接法

　　函數的最值的常用求法：

　　1、配方法;

　　2、換元法;

　　3、不等式法;

　　4、幾何法;

　　5、單調性法

　　函數單調性的常用結論：

　　1、若f(x),g(x)均為某區間上的增(減)函數，則f(x)+g(x)在這個區間上也為增(減)函數

　　2、若f(x)為增(減)函數，則-f(x)為減(增)函數

　　3、若f(x)與g(x)的單調性相同，則f[g(x)]是增函數;若f(x)與g(x)的單調性不同，則f[g(x)]是減函數。

　　4、奇函數在對稱區間上的單調性相同，偶函數在對稱區間上的單調性相反。

　　5、常用函數的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數圖象。

　　六、函數奇偶性的常用結論：

　　1、如果一個奇函數在x=0處有定義，則f(0)=0，如果一個函數y=f(x)既是奇函數又是偶函數，則f(x)=0(反之不成立)

　　2、兩個奇(偶)函數之和(差)為奇(偶)函數;之積(商)為偶函數。

　　3、一個奇函數與一個偶函數的積(商)為奇函數。

　　4、兩個函數y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數，只要其中有一個是偶函數，那么該復合函數就是偶函數;當兩個函數都是奇函數時，該復合函數是奇函數。

　　5、若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則f(x)可以表示為f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，該式的特點是：右端為一個奇函數和一個偶函數的和。

　　冪函數

　　定義：

　　形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。

　　定義域和值域：

　　當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數;如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才進入函數的值域

　　性質：

　　對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數;

　　排除了為0這種可能，即對于x<0 x="">0的所有實數，q不能是偶數;

　　排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數，a就不能是負數。

　　總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數;

　　如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。

　　在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。

　　在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

　　而只有a為正數，0才進入函數的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

　　可以看到：

　　(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。