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定積分證明題方法總結(jié)
定積分是歷年數(shù)學(xué)的考查重點(diǎn)，其中定積分的證明是考查難點(diǎn)，同學(xué)們經(jīng)常會感覺無從下手，小編特意為大家總結(jié)了定積分的計(jì)算方法，希望對同學(xué)們有幫助。
定積分證明題方法總結(jié) 篇1
一、 不定積分計(jì)算方法
1. 湊微分法
2. 裂項(xiàng)法
3. 變量代換法
1) 三角代換
2) 根冪代換
3) 倒代換
4. 配方后積分
5. 有理化
6. 和差化積法
7. 分部積分法（反、對、冪、指、三）
8. 降冪法
二、 定積分的計(jì)算方法
1. 利用函數(shù)奇偶性
2. 利用函數(shù)周期性
3. 參考不定積分計(jì)算方法
三、 定積分與極限
1. 積和式極限
2. 利用積分中值定理或微分中值定理求極限
3. 洛必達(dá)法則
4. 等價(jià)無窮小
四、 定積分的估值及其不等式的應(yīng)用
1. 不計(jì)算積分，比較積分值的大小
1) 比較定理：若在同一區(qū)間[a,b]上，總有
f(x)>=g(x),則 >= ()dx
2) 利用被積函數(shù)所滿足的不等式比較之 a)
b) 當(dāng)0<x<兀/2時(shí)，2/兀<<1
2. 估計(jì)具體函數(shù)定積分的'值
積分估值定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且其最大值為M，最小值為m則
M(b-a)<= <=M(b-a)
3. 具體函數(shù)的定積分不等式證法
1) 積分估值定理
2) 放縮法
3) 柯西積分不等式
≤ %
4. 抽象函數(shù)的定積分不等式的證法
1) 拉格朗日中值定理和導(dǎo)數(shù)的有界性
2) 積分中值定理
3) 常數(shù)變易法
4) 利用泰勒公式展開法
五、 變限積分的導(dǎo)數(shù)方法
定積分證明題方法總結(jié) 篇2
1、原函數(shù)存在定理
●定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x);簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。
●分部積分法
如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對數(shù)和反三角函數(shù)為u。
2、對于初等函數(shù)來說，在其定義區(qū)間上，它的.原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。
定積分
1、定積分解決的典型問題
(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運(yùn)動的路程
2、函數(shù)可積的充分條件
●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，即連續(xù)=>可積。
●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。
3、定積分的若干重要性質(zhì)
●性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。
●推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。
●性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
4、關(guān)于廣義積分
設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a
定積分的應(yīng)用
1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)
●直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù))
●極坐標(biāo)系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)
●旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)
●平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積)
●功、水壓力、引力
●函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
定積分證明題方法總結(jié) 篇3
一、不定積分的概念和性質(zhì)
若F(x)f(x)，則f(x)dxF(x)C， C為積分常數(shù)不可丟！
性質(zhì)1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或
df(x)dxf(x) dx
性質(zhì)2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C
性質(zhì)3[f(x)g(x)]dx
或[f(x)g(x)]dx
二、基本積分公式或直接積分法
基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx
kdxkxC
xxdx1x1C(為常數(shù)且1)1xdxlnxC ax
edxeCadxlnaC xx
cosxdxsinxCsinxdxcosxC
dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC
secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC
dxarctanxCarccotx
C（）1x2arcsinxC（arccosxC）
直接積分法：對被積函數(shù)作代數(shù)變形或三角變形，化成能直接套用基本積分公式。 代數(shù)變形主要是指因式分解、加減拆并等；三角變形主要是指三角恒等式。
三、換元積分法：
1.第一類換元法（湊微分法）
g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)
注 (1)常見湊微分：
u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).
111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|
c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2
(2)適用于被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)相乘的情況：
若被積函數(shù)為一個(gè)函數(shù)，比如：e2xdxe2x1dx， 若被積函數(shù)多于兩個(gè)，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成兩類；
(3)一般選擇“簡單”“熟悉”的那個(gè)函數(shù)寫成(x)；
(4)若被積函數(shù)為三角函數(shù)偶次方，降次；奇次方，拆項(xiàng)；
2.第二類換元法
f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代換類型:
(1) 對被積函數(shù)直接去根號;
(2) 到代換x1; t
(3) 三角代換去根號
x
atantxasect、
xasint(orxacost)
f(xdx，t
f(xx，x
asect
f(xx，xasint
f(xx，xatant f(ax)dx，ta
x
f(xx，t
三、分部積分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.
注 (1)u的選取原則：按“ 反對冪三指” 的順序，誰在前誰為u，后面的.為v;
(2)uvdx要比uvdx容易計(jì)算；
(3)適用于兩個(gè)異名函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)只有一個(gè)，比如：
arcsinx1dx，
u
v
(4)多次使用分部積分法： uu求導(dǎo) vv積分（t；
定積分證明題方法總結(jié) 篇4
一、原函數(shù)
定義1 如果對任一xI，都有F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx
則稱F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)。
例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函數(shù)。 [ln(xx2)
原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I 上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得對任一xI，有F(x)f(x)。
注1：如果f(x)有一個(gè)原函數(shù)，則f(x)就有無窮多個(gè)原函數(shù)。
設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則[F(x)C]f(x)，即F(x)C也為f(x)的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。
注2：如果F(x)與G(x)都為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之差為常數(shù)，即F(x)G(x)C（C為常數(shù)）
注3：如果F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)C（C為任意常數(shù)）可表達(dá)f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)。
1x2，即ln(xx2)是1x2的原函數(shù)。
二、不定積分
定義2 在區(qū)間I上，f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，成為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為f(x)dx。
如果F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則
f(x)dxF(x)C，（C為任意常數(shù)）
三、不定積分的幾何意義
圖 5—1 設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則yF(x)在平面上表示一條曲線，稱它為f(x)f(x)的不定積分表示一族積分曲線，它們是由f(x)的某一條積分曲線沿著y軸方向作任意平行移動而產(chǎn)生的`所有積分曲線組成的．顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標(biāo)x的點(diǎn)處有互相平行的切線，其斜率都等于f(x)．
在求原函數(shù)的具體問題中，往往先求出原函數(shù)的一般表達(dá)式y(tǒng)F(x)C，再從中確定一個(gè)滿足條件 y(x0)y0 (稱為初始條件)的原函數(shù)yy(x)．從幾何上講，就是從積分曲線族中找出一條通過點(diǎn)(x0,y0)的積分曲線．
四、不定積分的性質(zhì)（線性性質(zhì)）
[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
k為非零常數(shù)） kf(x)dxkf(x)dx（
五、基本積分表
∫ a dx = ax + C，a和C都是常數(shù)
∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a為常數(shù)且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
∫ e^x dx = e^x + C
∫ cosx dx = sinx + C
∫ sinx dx = - cosx + C
∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C
= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C
∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C
= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C
∫ sec^2(x) dx = tanx + C
∫ csc^2(x) dx = - cotx + C
∫ secxtanx dx = secx + C
∫ cscxcotx dx = - cscx + C
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C
∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C
∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C
∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C
六、第一換元法（湊微分）
設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，則 dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx
即F[(x)]為f[(x)](x)的原函數(shù)，或
f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有
定理1 設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，u(x)可微，則
f[(x)](x)dx[f(u)du]
公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。 u(x)u(x) (2-1)
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)
1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb
定積分證明題方法總結(jié) 篇5
《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是電氣技術(shù)、自動化及信號處理等工科專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，也是重要的工具性課程。本課程包括兩部分內(nèi)容：復(fù)變函數(shù)和積分變換。復(fù)變函數(shù)與積分變換的學(xué)習(xí)是為以后學(xué)習(xí)工程力學(xué)、電工學(xué)、電磁學(xué)、振動力學(xué)及無線電技術(shù)等奠定基礎(chǔ)。
教學(xué)過程、方法及教學(xué)效果
1、命題分析
命題符合教學(xué)大綱基本要求，知識點(diǎn)覆蓋面廣，難易適中。重點(diǎn)考查了學(xué)生的基本概念、基本理論和技能的掌握程度以及綜合運(yùn)用能力。命題表述簡明、準(zhǔn)確，題量適中。
2、答題分析
絕大多數(shù)同學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度較好、學(xué)習(xí)積極性較高，能認(rèn)真?zhèn)淇�，掌握了相關(guān)的基本知識點(diǎn)，和相關(guān)題目的運(yùn)算。從學(xué)生的考試情況來看，總體來說效果是比較好的。
3、成績分析
學(xué)生總數(shù)104平均分
4、教學(xué)效果
總體情況比較理想，同學(xué)們普遍感覺對該課程的相關(guān)理論有了一定的了解，基本掌握了本課程的'相關(guān)知識。
存在的不足及改進(jìn)措施
在今后的教學(xué)中，尤其要加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)相結(jié)合，使學(xué)生更有興趣學(xué)習(xí)這門課程，對教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚{(diào)整講解順序，抓住關(guān)鍵知識點(diǎn)，在課堂上加大對學(xué)生訓(xùn)練的力度。課后及時(shí)批改學(xué)生作業(yè)，及時(shí)講評并解答學(xué)生的各種疑難問題。
教改建議
學(xué)時(shí)相對較少，概念和理論不能深入展開講解；應(yīng)適當(dāng)增加學(xué)時(shí)，以增加習(xí)題課的教學(xué)，使學(xué)生能夠更牢固掌握該門課程。
90～100分(優(yōu))80～89分(良)167226優(yōu)秀率70～79分(中)1315%60～69分(及)0～59分(不及)35及格率1487%
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