[薦]高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)15篇
總結(jié)是在某一時期、某一項目或某些工作告一段落或者全部完成后進行回顧檢查、分析評價，從而得出教訓(xùn)和一些規(guī)律性認(rèn)識的一種書面材料，它可以促使我們思考，不如我們來制定一份總結(jié)吧。那么我們該怎么去寫總結(jié)呢？下面是小編為大家收集的高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
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高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)1
集合的運算
1。交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A，B的交集。
記作AB(讀作A交B)，即AB={x|xA，且xB}。
2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A，B的并集。記作：AB(讀作A并B)，即AB={x|xA，或xB}。
3、交集與并集的性質(zhì)：AA=A，A=，AB=BA，AA=A，A=A，AB=BA。
4、全集與補集
(1)補集：設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集(即)，由S中所有不屬于A的`元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)
(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。
(3)性質(zhì)：
⑴CU(CUA)=A
⑵(CUA)
⑶(CUA)A=U
高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)2
集合的運算
運算類型交 集并 集補 集
定義域 R定義域 R
值域＞0值域＞0
在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減
非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都過定點（0，1）函數(shù)圖象都過定點（0，1）
注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，則 ； 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) ；
（3）對于指數(shù)函數(shù) ，總有 ；
二、對數(shù)函數(shù)
（一）對數(shù)
1．對數(shù)的概念：
一般地，如果 ，那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù)，記作： （ — 底數(shù)， — 真數(shù)， — 對數(shù)式）
說明：○1 注意底數(shù)的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數(shù)的書寫格式．
兩個重要對數(shù)：
○1 常用對數(shù)：以10為底的對數(shù) ；
○2 自然對數(shù)：以無理數(shù) 為底的對數(shù)的對數(shù) ．
指數(shù)式與對數(shù)式的互化
冪值 真數(shù)
＝ N ＝ b
底數(shù)
指數(shù) 對數(shù)
（二）對數(shù)的運算性質(zhì)
如果 ，且 ， ， ，那么：
○1 ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：換底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）．
利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論：（1） ；（2） ．
（3）、重要的公式 ①、負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)； ②、 ， ③、對數(shù)恒等式
（二）對數(shù)函數(shù)
1、對數(shù)函數(shù)的`概念：函數(shù) ，且 叫做對數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．
注意：○1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．
○2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制： ，且 ．
2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：
a>10 定義域x＞0定義域x＞0 值域為R值域為R 在R上遞增在R上遞減 函數(shù)圖象都過定點（1，0）函數(shù)圖象都過定點（1，0） （三）冪函數(shù) 1、冪函數(shù)定義：一般地，形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 為常數(shù)． 2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納． （1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）； （2） 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間 上是增函數(shù)．特別地，當(dāng) 時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 時，冪函數(shù)的圖象上凸； （3） 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng) 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當(dāng) 趨于 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸． 第四章 函數(shù)的應(yīng)用 一、方程的根與函數(shù)的零點 1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù) ，把使 成立的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點。 2、函數(shù)零點的意義：函數(shù) 的零點就是方程 實數(shù)根，亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點的橫坐標(biāo)。 即：方程 有實數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點 函數(shù) 有零點． 3、函數(shù)零點的求法： ○1 （代數(shù)法）求方程 的實數(shù)根； ○2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點． 4、二次函數(shù)的零點： 二次函數(shù) ． （1）△＞０，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點． （2）△＝０，方程 有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點． （3）△＜０，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點． 5.函數(shù)的模型 一、指數(shù)函數(shù) (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算 1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_. 當(dāng)是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).此時，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(shù)(radicalexponent)，叫做被開方數(shù)(radicand). 當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號-表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。 注意：當(dāng)是奇數(shù)時，當(dāng)是偶數(shù)時， 2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪. 3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) (二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1、指數(shù)函數(shù)的.概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R. 注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1. 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【函數(shù)的應(yīng)用】 1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。 2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即： 方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點. 3、函數(shù)零點的求法： 求函數(shù)的零點： 1(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根; 2(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點. 4、二次函數(shù)的零點： 二次函數(shù). 1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點. 2)△=0，方程有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點. 3)△<0，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點. 棱錐 棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐 棱錐的的性質(zhì)： (1)側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形 (2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方 正棱錐 正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。 正棱錐的性質(zhì)： (1)各側(cè)棱交于一點且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。 (3)多個特殊的.直角三角形 esp： a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 高一數(shù)學(xué)必修一知識點 指數(shù)函數(shù) (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算 1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_. 當(dāng)是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).此時，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(shù)(radicalexponent)，叫做被開方數(shù)(radicand). 當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號-表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。 注意：當(dāng)是奇數(shù)時，當(dāng)是偶數(shù)時， 2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪. 3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) (二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R. 注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1. 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 高一上冊數(shù)學(xué)必修一知識點梳理 空間幾何體表面積體積公式： 1、圓柱體:表面積:2πRr+2πRh體積:πR2h(R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高) 2、圓錐體:表面積:πR2+πR[(h2+R2)的]體積:πR2h/3(r為圓錐體低圓半徑,h為其高, 3、a-邊長,S=6a2,V=a3 4、長方體a-長,b-寬,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc 5、棱柱S-h-高V=Sh 6、棱錐S-h-高V=Sh/3 7、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、S1-上底面積,S2-下底面積,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6 9、圓柱r-底半徑,h-高,C—底面周長S底—底面積,S側(cè)—,S表—表面積C=2πrS底=πr2,S側(cè)=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h 10、空心圓柱R-外圓半徑,r-內(nèi)圓半徑h-高V=πh(R^2-r^2) 11、r-底半徑h-高V=πr^2h/3 12、r-上底半徑,R-下底半徑,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半徑d-直徑V=4/3πr^3=πd^3/6 14、球缺h-球缺高,r-球半徑,a-球缺底半徑V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3 15、球臺r1和r2-球臺上、下底半徑h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 16、圓環(huán)體R-環(huán)體半徑D-環(huán)體直徑r-環(huán)體截面半徑d-環(huán)體截面直徑V=2π2Rr2=π2Dd2/4 17、桶狀體D-桶腹直徑d-桶底直徑h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母線是拋物線形) 人教版高一數(shù)學(xué)必修一知識點梳理 1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱： 定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱。 幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。 (2)棱錐 定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體。 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等 表示：用各頂點字母，如五棱錐 幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。 (3)棱臺： 定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分。 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等 表示：用各頂點字母，如五棱臺 幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點 (4)圓柱： 定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。 幾何特征：①底面是全等的`圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個矩形。 (5)圓錐： 定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。 幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個扇形。 (6)圓臺： 定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分 幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個弓形。 (7)球體： 定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。 2、空間幾何體的三視圖 定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下) 注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度; 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度; 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。 3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法 斜二測畫法特點： ①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變; ②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。 空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面 1、按是否共面可分為兩類： 1共面：平行、相交 2異面： 異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。 異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。 兩異面直線所成的角：范圍為0°，90°esp.空間向量法 兩異面直線間距離:公垂線段有且只有一條esp.空間向量法 2、若從有無公共點的角度看可分為兩類： 1有且僅有一個公共點——相交直線;2沒有公共點——平行或異面 直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行 ①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點 ②直線和平面相交——有且只有一個公共點 直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。 空間向量法找平面的法向量 規(guī)定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角 由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°，90°] 最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角 三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直 直線和平面垂直 直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。 直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。 直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點 直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。 直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。 直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。 多面體 1、棱柱 棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。 棱柱的性質(zhì) 1側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形 2兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形 3過不相鄰的兩條側(cè)棱的'截面對角面是平行四邊形 2、棱錐 棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐 棱錐的性質(zhì)： 1側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形 2平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方 3、正棱錐 正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。 正棱錐的性質(zhì)： 1各側(cè)棱交于一點且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。 3多個特殊的直角三角形 a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 兩個平面的位置關(guān)系 1兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點 2兩個平面的位置關(guān)系： 兩個平面平行-----沒有公共點;兩個平面相交-----有一條公共直線。 a、平行 兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。 兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。b、相交 二面角 1半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。 2二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°] 3二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。 4二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。 5二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。 6直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 兩平面垂直 兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為⊥ 兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平 二面角求法：直接法作出平面角、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法注意求出的角與所需要求的角之間的等補關(guān)系。 不等式 不等關(guān)系 了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實際背景. (2)一元二次不等式 ①會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系. ③會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設(shè)計求解的程序框圖. (3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 ①會從實際情境中抽象出二元一次不等式組. ②了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組. ③會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決. (4)基本不等式： ①了解基本不等式的.證明過程. ②會用基本不等式解決簡單的(小)值問題圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點 【基本初等函數(shù)】 一、指數(shù)函數(shù) （一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算 1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈ 當(dāng)是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù)。此時，的次方根用符號表示。式子叫做根式（radical），這里叫做根指數(shù)（radicalexponent），叫做被開方數(shù)（radicand）。 當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)。此時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號—表示。正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±（>0）。由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。 注意：當(dāng)是奇數(shù)時，當(dāng)是偶數(shù)時， 2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的`意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪。 3、實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential），其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R。 注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1。 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 定義： x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。 范圍： 傾斜角的取值范圍是0°≤α 理解： (1)注意“兩個方向”：直線向上的方向、x軸的正方向; (2)規(guī)定當(dāng)直線和x軸平行或重合時，它的傾斜角為0度。 意義： ①直線的傾斜角，體現(xiàn)了直線對x軸正向的`傾斜程度; ②在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角; ③傾斜角相同，未必表示同一條直線。 公式： k=tanα k>0時α∈(0°，90°) k k=0時α=0° 當(dāng)α=90°時k不存在 ax+by+c=0(a≠0)傾斜角為A，則tanA=-a/b，A=arctan(-a/b) 當(dāng)a≠0時，傾斜角為90度，即與X軸垂直 兩角和與差的三角函數(shù)： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函數(shù)： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 輔助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降冪公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 萬能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 積化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化積公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 二面角 (1)半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。 (2)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°] (3)二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。 (4)二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。 (5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。 (6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 一、直線與方程 （1）直線的傾斜角 定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率 ①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。 當(dāng)0,90時，k0；當(dāng)90,180時，k0；當(dāng)90時，k不存在。 yy1(x1x2)②過兩點的直線的斜率公式：k2x2x1注意下面四點：(1)當(dāng)x1x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得； (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程 ①點斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點x1,y1 注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。 當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。 ②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：④截矩式： yy1y2y1xayxx1x2x1（x1x2,y1y2）直線兩點x1,y1，x2,y2 1b其中直線l與x軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。 ⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0） 1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○ 平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系 平行于已知直線A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線系： A0xB0yC0（C為常數(shù)） （二）過定點的直線系 （）斜率為k的直線系：yy0kxx0，直線過定點x0,y0； （）過兩條直線l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為 ，其中直線l2不在直線系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（為參數(shù)）（6）兩直線平行與垂直 當(dāng)l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時，l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21 注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點 l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交交點坐標(biāo)即方程組A1xB1yC10的一組解。 A2xB2yC20方程組無解l1//l2；方程組有無數(shù)解l1與l2重合（8）兩點間距離公式：設(shè)A(x1,y1)，B是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，（x2,y2）則|AB|(x2x1)2(y2y1)2 （9）點到直線距離公式：一點Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離d（10）兩平行直線距離公式 在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。 Ax0By0CAB22 二、圓的方程 1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的 半徑。 2、圓的方程 （1）標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr2，圓心a,b，半徑為r； 22（2）一般方程x2y2DxEyF0當(dāng)DE2224F0時，方程表示圓，此時圓心為22D2,1E，半徑為r22D2E24F 當(dāng)DE4F0時，表示一個點；當(dāng)DE4F0時，方程不表示任何圖 形。 （3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)； 另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷： （1）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xa2yb2r2，圓心Ca,b到l的距離為 dAaBbCAB222，則有drl與C相離；drl與C相切；drl與C相交 22（2）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xaybr2，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有 0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交 2注：如果圓心的位置在原點，可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題，其中x0,y0表示切點坐標(biāo)，r表示半徑。 (3)過圓上一點的切線方程： 22 ①圓x2+y2=r，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為xx0yy0r(課本命題)． 2222 ②圓(x-a)+(y-b)=r，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r(課本命題的推廣)． 4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)dRr時兩圓外離，此時有公切線四條； 當(dāng)dRr時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)RrdRr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)dRr時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當(dāng)dRr時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d0時，為同心圓。 三、立體幾何初步 1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征 （1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共 邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用對角線的端點字母，如五棱柱 "AD 幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且 相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。 （2）棱錐 定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等 表示：用各頂點字母，如五棱錐PABCDE 幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到 截面距離與高的比的平方。 （3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等 """""表示：用各頂點字母，如五棱臺PABCDE 幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖 是一個矩形。 （5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何 體 幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖 定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下） 注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。 3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法 斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變； ②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。 4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積 （1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。 （2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線） S直棱柱側(cè)面積S正棱臺側(cè)面積12chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積(c1c2)h"S圓臺側(cè)面積(rR)l 12ch"S圓錐側(cè)面積rl S圓柱表2rrlS圓錐表rrlS圓臺表r2rlRlR2 （3）柱體、錐體、臺體的體積公式V柱ShV圓柱ShV臺13(S""21rhV錐ShV圓錐1r2h 33SSS)hV圓臺13(S"SSS)h"13(rrRR)h 22 （4）球體的表面積和體積公式：V球4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系 球面=4R2 （1）平面 ①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的； ②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內(nèi)）； 也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。 ③點與平面的關(guān)系：點A在平面內(nèi)，記作A；點A不在平面內(nèi)，記作A點與直線的關(guān)系：點A的直線l上，記作：A∈l；點A在直線l外，記作Al； 直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα。（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。 （即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線） 應(yīng)用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi) 用符號語言表示公理1：Al,Bl,A,Bl（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。 推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。 公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線 符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。 符號語言：PABABl,Pl公理3的作用： ①它是判定兩個平面相交的方法。 ②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 ①異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 ③異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關(guān)。②求異面直線所成角步驟： A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角 （7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點． 三種位置關(guān)系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α （9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點；α∥β 相交有一條公共直線。α∩β＝b 5、空間中的平行問題 （1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì) 線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。 線線平行線面平行 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交， 那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行 （1）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理 （2）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 （線面平行→面面平行）， （2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。（線線平行→面面平行）， （3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質(zhì)定理 （1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）7、空間中的垂直問題 （1）線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的`角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。 ③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。 9、空間角問題 （1）直線與直線所成的角 ①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。 ②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a,b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。 （2）直線和平面所成的角 ①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。 求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。 第6頁 在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射．．．．．線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法 定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標(biāo)系 （1）定義：如圖，OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點，分別以O(shè)D,OA,,OB的方向為正方向，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。這時建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 1）O叫做坐標(biāo)原點2）x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3）過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。 （2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。 （3）任意點坐標(biāo)表示：空間一點M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)（x叫做點M的橫坐標(biāo)，y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做點M的豎坐標(biāo)） （4）空間兩點距離坐標(biāo)公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2 1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標(biāo)及對稱軸如下表： 解析式 頂點坐標(biāo) 對稱軸 y=ax^2 (0，0) x=0 y=a(x-h)^2 (h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a 當(dāng)h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到， 當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到. 當(dāng)h>0，k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象; 當(dāng)h>0，k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象; 當(dāng)h<0，k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象; 當(dāng)h<0，k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象; 因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便. 2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a). 3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x≤-b/2a時，y隨x的`增大而減小;當(dāng)x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當(dāng)x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大;當(dāng)x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小. 4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點： (1)圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為(0，c); (2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?| 當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個交點; 當(dāng)△<0.圖象與x軸沒有交點.當(dāng)a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0;當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<0. 5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a. 頂點的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標(biāo)，是最值的取值. 6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0). (2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0). (3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0). 7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn). 一、集合及其表示 1、集合的含義： “集合”這個詞首先讓我們想到的是上體育課或者開會時老師經(jīng)常喊的“全體集合”。數(shù)學(xué)上的“集合”和這個意思是一樣的，只不過一個是動詞一個是名詞而已。 所以集合的含義是：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集，其中每一個對象叫元素。比如高一二班集合，那么所有高一二班的同學(xué)就構(gòu)成了一個集合，每一個同學(xué)就稱為這個集合的元素。 2、集合的表示 通常用大寫字母表示集合，用小寫字母表示元素，如集合A={a，b，c}。a、b、c就是集合A中的元素，記作a∈A，相反，d不屬于集合A，記作d?A。 有一些特殊的集合需要記憶： 非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）N正整數(shù)集N_或N+ 整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R 集合的表示方法：列舉法與描述法。 ①列舉法：{a,b,c……} ②描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來。如{x?R|x-3>2}，{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1} ③語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 強調(diào)：描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素 A={(x,y)|y=x2+3x+2}與B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是數(shù)組元素(x，y)，集合B中只有元素y。 3、集合的三個特性 （1）無序性 指集合中的元素排列沒有順序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，則集合A=B。 例題：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。 解：，A=B 注意：該題有兩組解。 （2）互異性 指集合中的元素不能重復(fù)，A={2,2}只能表示為{2} （3）確定性 集合的確定性是指組成集合的元素的性質(zhì)必須明確，不允許有模棱兩可、含混不清的。情況。 集合的含義 集合的中元素的三個特性： 元素的確定性如：世界上的山 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y} 元素的無序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合 3、集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5} 集合的表示方法：列舉法與描述法。 注意：常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N 正整數(shù)集NxN+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R 列舉法：{a，b，c……} 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{x（R|x—3>2}，{x|x—3>2} 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} Venn圖： 4、集合的分類： 有限集含有有限個元素的集合 無限集含有無限個元素的集合 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝ 對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。 右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。 （1）對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。 （2）對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。 （3）函數(shù)總是通過(1，0)這點。 （4）a大于1時，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。 （5）顯然對數(shù)函數(shù)。 1、函數(shù)零點的定義 （1)對于函數(shù)）（xfy，我們把方程0)(xf的實數(shù)根叫做函數(shù)）(xfy）的零點。 （2）方程0)(xf有實根函數(shù)(yfx）的圖像與x軸有交點函數(shù)(yfx）有零點。因此判斷一個函數(shù)是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程0)(xf是否有實數(shù)根，有幾個實數(shù)根。函數(shù)零點的求法：解方程0)(xf，所得實數(shù)根就是(fx）的零點(3)變號零點與不變號零點 ①若函數(shù)(fx）在零點0x左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，則稱該零點為函數(shù)(fx）的變號零點。②若函數(shù)(fx）在零點0x左右兩側(cè)的函數(shù)值同號，則稱該零點為函數(shù)(fx）的'不變號零點。 ③若函數(shù)(fx）在區(qū)間，ab上的圖像是一條連續(xù)的曲線，則0 2、函數(shù)零點的判定 （1)零點存在性定理：如果函數(shù)）(xfy在區(qū)間]，[ba上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有(fa）（fb），那么，函數(shù)(xfy）在區(qū)間，ab內(nèi)有零點，即存在，(0bax，使得0)(0xf，這個0x也就是方程0)(xf的根。 （2)函數(shù)）（xfy零點個數(shù)（或方程0）(xf實數(shù)根的個數(shù)）確定方法 ①代數(shù)法：函數(shù))（xfy的零點0)(xf的根；②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)）(xfy的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。 （3）零點個數(shù)確定 0)(xfy有2個零點0)(xf有兩個不等實根；0)(xfy有1個零點0)(xf有兩個相等實根；0)(xfy無零點0)(xf無實根；對于二次函數(shù)在區(qū)間，ab上的零點個數(shù)，要結(jié)合圖像進行確定。 3、二分法 （1）二分法的定義:對于在區(qū)間[，]ab上連續(xù)不斷且(fa）（fb）的函數(shù)(yfx），通過不斷地把函數(shù)(yfx）的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法； （2）用二分法求方程的近似解的步驟: ①確定區(qū)間[，]ab,驗證(fa）（fb）給定精確度e; ②求區(qū)間(，)ab的中點c;③計算(fc）； (ⅰ)若(fc），則c就是函數(shù)的零點； （ⅱ)若（fa）（fc），則令bc(此時零點0(，）xac)；（ⅲ）若(fc）（fb），則令ac(此時零點0(，）xcb)； ④判斷是否達到精確度e,即ab,則得到零點近似值為a（或b）；否則重復(fù)②至④步。 集合間的基本關(guān)系 1、子集，A包含于B，記為：，有兩種可能 (1)A是B的一部分， (2)A與B是同一集合，A=B，A、B兩集合中元素都相同。 反之:集合A不包含于集合B,記作。 如：集合A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,3,4}，三個集合的關(guān)系可以表示為，，B=C。A是C的子集，同時A也是C的真子集。 2、真子集:如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA） 3、不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ。Φ是任何集合的子集。 4、有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集，含有2n-2個非空真子集。如A={1,2,3,4,5}，則集合A有25=32個子集，25-1=31個真子集，25-2=30個非空真子集。 例：集合共有個子集。（13年高考第4題，簡單） 練習(xí)：A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，請問A集合有多少個子集，并寫出子集，B集合有多少個非空真子集，并將其寫出來。 解析： 集合A有3個元素，所以有23=8個子集。分別為：①不含任何元素的子集Φ；②含有1個元素的子集{1}{2}{3}；③含有兩個元素的子集{1,2}{1,3}{2,3}；④含有三個元素的子集{1,2,3}。 集合B有4個元素，所以有24-2=14個非空真子集。具體的子集自己寫出來。 此處這么羅嗦主要是為了讓同學(xué)們注意寫的順序，數(shù)學(xué)就是要講究嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性的。一定要養(yǎng)成自己的邏輯習(xí)慣。如果就是為了提高計算能力倒不如直接去菜場賣菜算了，絕對能飛速提高的，那學(xué)數(shù)學(xué)也沒什么必要了。 一、函數(shù)模型及其應(yīng)用 本節(jié)主要包括函數(shù)的模型、函數(shù)的應(yīng)用等知識點。主要是理解函數(shù)解應(yīng)用題的一般步驟靈活利用函數(shù)解答實際應(yīng)用題。 1、常見的函數(shù)模型有一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等。 2、用函數(shù)解應(yīng)用題的基本步驟是： （1）閱讀并且理解題意。（關(guān)鍵是數(shù)據(jù)、字母的實際意義）； （2）設(shè)量建模； （3）求解函數(shù)模型； （4）簡要回答實際問題。 常見考法： 本節(jié)知識在段考和高考中考查的形式多樣，頻率較高，選擇題、填空題和解答題都有。多考查分段函數(shù)和較復(fù)雜的函數(shù)的最值等問題，屬于拔高題，難度較大。 誤區(qū)提醒： 1、求解應(yīng)用性問題時，不僅要考慮函數(shù)本身的定義域，還要結(jié)合實際問題理解自變量的取值范圍。 2、求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。 【典型例題】 例1： （1）某種儲蓄的月利率是0。36%，今存入本金100元，求本金與利息的和（即本息和）y（元）與所存月數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式，并計算5個月后的本息和（不計復(fù)利）。 （2）按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式。如果存入本金1000元，每期利率2。25%，試計算5期后的本利和是多少？解：（1）利息=本金×月利率×月數(shù)。y=100+100×0。36%·x=100+0。36x，當(dāng)x=5時，y=101。8，∴5個月后的本息和為101。8元。 例2： 某民營企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2（注：利潤與投資單位是萬元） （1）分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式。 （2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能是企業(yè)獲得利潤，其利潤約為多少萬元。（精確到1萬元）。 集合 集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。這里的“事物”可以是人，物品，也可以是數(shù)學(xué)元素。例如： 1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：緊急～。 2、數(shù)學(xué)名詞。一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素：有理數(shù)的～。 3、口號等等。集合在數(shù)學(xué)概念中有好多概念，如集合論：集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德國數(shù)學(xué)家先驅(qū)，是集合論的，目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。 集合，在數(shù)學(xué)上是一個基礎(chǔ)概念。什么叫基礎(chǔ)概念？基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。集合 集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象匯合在一起，使之成為一個整體（或稱為單體），這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素（或簡稱為元）。 元素與集合的關(guān)系 元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。 集合與集合之間的關(guān)系 某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。『說明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，則A稱作是B的真子集，一般寫作A?B。中學(xué)教材課本里將？符號下加了一個≠符號（如右圖），不要混淆，考試時還是要以課本為準(zhǔn)。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』 集合的幾種運算法則 并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并（集)，記作A∪B(或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以屬于A且屬于B的元差集表示 素為元素的集合稱為A與B的交（集)，記作A∩B(或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因為A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么說A∪B={1，2，3，5}。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍數(shù)的數(shù)有多少個。結(jié)果是3，5，7每項減集合 1再相乘。48個。對稱差集：設(shè)A，B為集合，A與B的對稱差集A?B定義為：A?B=（A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，則A?B={a，c，d}對稱差運算的另一種定義是：A?B=(A∪B)-(A∩B)無限集：定義：集合里含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令N_是正整數(shù)的全體，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一個正整數(shù)n，使得集合A與N_n一一對應(yīng)，那么A叫做有限集合。差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集）。記作：AB={x│x∈A，x不屬于B}。注：空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”。補集：是從差集中引出的概念，指屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬于A}空集也被認(rèn)為是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA={3，4}。在信息技術(shù)當(dāng)中，常常把CuA寫成~A。 集合元素的性質(zhì) 1.確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。這個性質(zhì)主要用于判斷一個集合是否能形成集合。 2.獨立性：集合中的元素的個數(shù)、集合本身的個數(shù)必須為自然數(shù)。 3.互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1，1，2}，等同于{1，2}。互異性使集合中的元素是沒有重復(fù)，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。 4.無序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一個集合。 5.純粹性：所謂集合的純粹性，用個例子來表示。集合A={x|x 一、集合有關(guān)概念 1. 集合的含義 2. 集合的中元素的三個特性： (1) 元素的確定性, (2) 元素的互異性, (3) 元素的無序性, 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。 ? 注意：常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作：N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R 1) 列舉法：{a,b,c……} 2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4) Venn圖: 4、集合的分類： (1) 有限集 含有有限個元素的集合 (2) 無限集 含有無限個元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝ 二、集合間的基本關(guān)系 1.“包含”關(guān)系—子集 注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A 2.“相等”關(guān)系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5) 實例：設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等” 即：① 任何一個集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同時 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ 規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集 三、集合的運算 運算類型 交 集 并 集 補 集 定 義 由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝. 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作：A B(讀作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}). 設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集) 二、函數(shù)的有關(guān)概念 1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域. 注意： 1.定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。 求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是： (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零; (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零; (4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合. (6)指數(shù)為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義. 相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致 (兩點必須同時具備) 2.值域 : 先考慮其定義域 (1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法 3. 函數(shù)圖象知識歸納 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x，y)，均在C上 . (2) 畫法 A、 描點法： B、 圖象變換法 常用變換方法有三種 1) 平移變換 2) 伸縮變換 3) 對稱變換 4.區(qū)間的概念 (1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 (2)無窮區(qū)間 (3)區(qū)間的數(shù)軸表示. 5.映射 一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f：A→B 6.分段函數(shù) (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。 (2)各部分的自變量的取值情況. (3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的.交集，值域是各段值域的并集. 補充：復(fù)合函數(shù) 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。 二.函數(shù)的性質(zhì) 1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì)) (1)增函數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1 如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間. 注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì); (2) 圖象的特點 如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的. (3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法 (A) 定義法： ○1 任取x1，x2∈D，且x1 ○2 作差f(x1)-f(x2); ○3 變形(通常是因式分解和配方); ○4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù)); ○5 下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性). (B)圖象法(從圖象上看升降) (C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減” 注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì)) (1)偶函數(shù) 一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù). (2).奇函數(shù) 一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù). (3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱. 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： ○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱; ○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系; ○3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù);若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù). (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 . 9、函數(shù)的解析表達式 (1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域. (2)求函數(shù)的解析式的主要方法有： 1) 湊配法 2) 待定系數(shù)法 3) 換元法 4) 消參法 10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁) ○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值 ○2 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值 ○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值： 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b); 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b); 知識點1 一、集合有關(guān)概念 1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。 2、集合的中元素的三個特性： 1、元素的確定性； 2、元素的互異性； 3、元素的無序性 說明：（1）對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。 （2）任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。 （3）集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。 （4）集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。 3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 1、用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5} 2、集合的表示方法：列舉法與描述法。 注意啊：常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N 正整數(shù)集N或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R 關(guān)于“屬于”的概念 集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作a？A 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。 ①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x—3>2的解集是{x？R|x—3>2}或{x|x—3>2} 4、集合的分類： 1、有限集含有有限個元素的集合 2、無限集含有無限個元素的集合 3、空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝ 知識點2 I、定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c （a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大、） 則稱y為x的二次函數(shù)。 二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。 II、二次函數(shù)的三種表達式 一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0） 頂點式：y=a（x—h）^2+k[拋物線的頂點P（h，k）] 交點式：y=a（x—x？）（x—x？）[僅限于與x軸有交點A（x？，0）和B（x？，0）的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系： h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4ax？，x？=（—b±√b^2—4ac）/2a III、二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。 IV、拋物線的'性質(zhì) 1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=—b/2a。對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2、拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為 P（—b/2a，（4ac—b^2）/4a） 當(dāng)—b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2—4ac=0時，P在x軸上。 3、二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。 知識點3 1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x=—b/2a。 對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2、拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為 P（—b/2a，（4ac—b’2）/4a） 當(dāng)—b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ=b’2—4ac=0時，P在x軸上。 3、二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。 4、一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。 5、常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交于（0，c） 6、拋物線與x軸交點個數(shù) Δ=b’2—4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。 Δ=b’2—4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。 Δ=b’2—4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x=—b±√b’2—4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a） 知識點4 對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。 右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。 （1）對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。 （2）對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。 （3）函數(shù)總是通過（1，0）這點。 （4）a大于1時，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。 （5）顯然對數(shù)函數(shù)。 知識點5 方程的根與函數(shù)的零點 1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。 2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點，函數(shù)有零點。 3、函數(shù)零點的求法： （1）（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根； （2）（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。 4、二次函數(shù)的零點： （1）△>0，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點。 （2）△=0，方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點。 （3）△<0，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點。 第一章：解三角形 1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有asinbsina2RcsinC2R． 2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin，sinb2R，sinCc2R；（正弦定理的變形經(jīng)常用在有三角函數(shù)的等式中）③a:b:csin:sin:sinC；④abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin．222abc． 3、三角形面積公式：SC 4、余定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，cab2abcosC．222 5、余弦定理的推論：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222． 6、設(shè)a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若a2b2c2，則C90為直角三角形；②若a2b2c2，則C90為銳角三角形；③若a2b2c2，則C90為鈍角三角形． 第二章：數(shù)列 1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)． 2、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)． 3、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列． 4、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列． 5、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列． 6、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列． 7、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列． 8、擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列． 9、數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系的公式． 10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關(guān)系的公式． 11、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差． 12、由三個數(shù)a，，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則稱為a與b的等差中項．若bac2，則稱b為a與c的等差中項． 13、若等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，則ana1n1d．通項公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③d⑤danamnmana1n1；④nana1d1； 14、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等差數(shù)列，且2npq（n、p、q），則2anapaq；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項仍是等差數(shù)列；連續(xù)m項和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。 15、等差數(shù)列的前n項和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d． 16、等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：①若項數(shù)為2nn，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇S偶anan1．②若項數(shù)為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇S偶nn1（其中S奇nan，S偶n1an）． 17、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比． 18、在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項．若G2ab，則稱G為a與b的等比中項． 19、若等比數(shù)列an的`首項是a1，公比是q，則ana1q． 20、通項公式的變形：①anamq；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam． 21、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比數(shù)列，且2npq（n、p、q），則anapaq；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項仍是等比數(shù)列；連續(xù)m2項和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列。 22、等比數(shù)列an的前n項和的公式：Sna11qnaaq．1nq11q1qq1時，Sna11qa11qq，即常數(shù)項與q項系數(shù)互為相反數(shù)。 23、等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：①若項數(shù)為2nn，則SS偶奇q．n②SnmSnqSm．③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列． 24、an與Sn的關(guān)系：anSnSn1S1n2n1 一些方法： 一、求通項公式的方法： 1、由數(shù)列的前幾項求通項公式：待定系數(shù)法 ①若相鄰兩項相減后為同一個常數(shù)設(shè)為anknb，列兩個方程求解； ②若相鄰兩項相減兩次后為同一個常數(shù)設(shè)為anan2bnc，列三個方程求解；③若相鄰兩項相減后相除后為同一個常數(shù)設(shè)為anaq 2、由遞推公式求通項公式： ①若化簡后為an1and形式，可用等差數(shù)列的通項公式代入求解；②若化簡后為an1anf(n),形式，可用疊加法求解； ③若化簡后為an1anq形式，可用等比數(shù)列的通項公式代入求解； ④若化簡后為an1kanb形式，則可化為(an1x)k(anx)，從而新數(shù)列{anx}是等比數(shù)列，用等比數(shù)列求解{anx}的通項公式，再反過來求原來那個。（其中x是用待定系數(shù)法來求得）3、由求和公式求通項公式： ①a1S1②anSnSn1③檢驗a1是否滿足an，若滿足則為an，不滿足用分段函數(shù)寫。 4、其他 （1）anan1fn形式，fn便于求和，方法：迭加； 例如：anan1n1有：anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb，q為相除后的常數(shù)，列兩個方程求解； n4n1（2）anan12anan1形式，同除以anan1，構(gòu)造倒數(shù)為等差數(shù)列； anan1anan121an1例如：anan12anan1，則1，即為以-2為公差的等差數(shù)列。anan1（3）anqan1m形式，q1，方法：構(gòu)造：anxqan1x為等比數(shù)列； 例如：an2an12，通過待定系數(shù)法求得：an22an12，即an2等比，公比為2。（4）anqan1pnr形式：構(gòu)造：anxnyqan1xn1y為等比數(shù)列；（5）anqan1p形式，同除p，轉(zhuǎn)化為上面的幾種情況進行構(gòu)造；因為anqan1pn，則anpnqan1ppn11，若qp1轉(zhuǎn)化為（1）的方法，若不為1，轉(zhuǎn)化為（3）的方法 二、等差數(shù)列的求和最值問題：（二次函數(shù)的配方法；通項公式求臨界項法） ①若②若ak0，則Sn有最大值，當(dāng)n=k時取到的最大值k滿足d0a0k1a10a10ak0，則Sn有最小值，當(dāng)n=k時取到的最大值k滿足d0a0k1 三、數(shù)列求和的方法： ①疊加法：倒序相加，具備等差數(shù)列的相關(guān)特點的，倒序之后和為定值； ②錯位相減法：適用于通項公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式，如：an2n13；n③分式時拆項累加相約法：適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式。如：an1nn11n1n1，an12n12n1111等；22n12n1④一項內(nèi)含有多部分的拆開分別求和法：適用于通項中能分成兩個或幾個可以方便求和的部分，如：an2n1等； 四、綜合性問題中 ①等差數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為ad和ad類型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；②等比數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為aq和aq類型，這樣可以相乘約掉。 第三章：不等式 1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．比較兩個數(shù)的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數(shù)法等等。 2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；anbn,n1． 3、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式． 4、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：判別式b4ac201二次函數(shù)yaxbxc2a0的圖象有兩個相異實數(shù)根一元二次方程axbxc02有兩個相等實數(shù)根a0的根axbxc0一元二次不等式的解集2x1,2b2ax1x2b2a沒有實數(shù)根x1x2a0axbxc02xxx1或xx2bxx2aRa0xx1xx2 5、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式． 6、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組． 7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對x,y，所有這樣的有序數(shù)對x,y構(gòu)成的集合． 8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方． 9、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域．②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域． 10、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標(biāo)函數(shù)：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為x，y的一次解析式．線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解． 11、設(shè)a、b是兩個正數(shù)，則ab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)． 12、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即ab2ab． 13、常用的基本不等式：①a2b22aba,bR；22②abab2a,bR；③abab2a2b2ab22a0,b0；④22a,bR． 14、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有s（和為定值），則當(dāng)xy時，積xy取得最大值s2⑴若xy．4⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時，和xy取得最小值2p． 【高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)】相關(guān)文章： 高一數(shù)學(xué)必修知識點總結(jié)12-15 高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)07-18 高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)01-03 高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)01-12 高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)05-17 高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)03-08 高一數(shù)學(xué)必修二知識點總結(jié)11-08 高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)歸納04-20高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)3
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