廣西都安隆福鄉(xiāng)崇山小學(xué)                韋文祝   

[摘  要] 正向思維是解決問題的正常途徑，但對一些問題常常一籌莫展；若改變思維方向，用逆向思維方法，可以使問題迎刃而解。

[關(guān)鍵詞] 逆向思維

逆向思維是一種創(chuàng)造性思維。逆向思維是相對正向思維而言，它是與人們常規(guī)思維程序相反的，不是從原因(或條件)來推知結(jié)果(或結(jié)論)，而是從相反方向展開思路，分析問題，而得出的結(jié)論。

由于數(shù)學(xué)定義，公式都有可逆性，不少數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)運算以及解題過程也有可逆性，所有這些可逆性理論為逆向思維提供了理論依據(jù)。因此，在解答數(shù)學(xué)題時，應(yīng)擺脫思維定勢的束縛，打破常規(guī)，從問題的反面入手，這樣常能由“山窮水盡”進入“柳暗花明”。本文從以下幾個方面說明如何應(yīng)用“逆向思維”巧解數(shù)學(xué)題。

1  利用公式的可逆性，使難題迎刃而解

善于將數(shù)學(xué)公式從右到左熟練地逆向運用，是對公式真正理解程度掌握的重要標(biāo)志。當(dāng)解題思路受阻，出現(xiàn)思維障礙時，如能靈活地將公式逆向運用，能使解題豁然開朗。

例1、求   的值

分析：若按習(xí)慣正用公式，極易想到對  進行積化和差，得 ，但由于沒有出現(xiàn)特殊角，無法求出其值，此時如再利用倍角公式展開，仍然不能奏效，若聯(lián)想到二倍角公式的可逆性，逆向運用二倍角公式，本題可順利獲解。

解： 

2  借助數(shù)學(xué)運算的可逆性，逆向探求解題途徑

數(shù)學(xué)中的許多運算都是可逆的，例如加法與減法，乘法與除法，乘方與開方，指數(shù)運算與對數(shù)運算，三角運算與反三角運算等等。在同一級運算中，一種運算的逆運算都是由它的正運算引出的，解題時，注意借助數(shù)學(xué)運算的可逆性，學(xué)會逆向運算法則，可以有效地培養(yǎng)運算能力，提高解題速度。

例2、已知  、 、 為正數(shù)，且 ，求證： 。

分析：觀察條件等式的左邊，逆向聯(lián)想到 是反正弦值。可以把條件等式轉(zhuǎn)換成正弦來解答，所以可證。

證明：設(shè) , ， ，則 ， ， ,即求： 。

       即 

3  利用“正難則反”的原則，使解題思路豁然開朗

解決一個數(shù)學(xué)問題，若正面情況比較復(fù)雜，或從正面無法入手時，則必須快速轉(zhuǎn)向，采取順繁則逆，正難則反的策略。

例3、若下列三個方程： ， ， ，至少有一個方程有實根。試求實數(shù) 的取值范圍。

分析：三個方程中至少有一個方程有實根，情況很復(fù)雜，可能有七種情況分別討論，十分復(fù)雜，但從反面入手，只有一種情況，即三個方程都沒有實根，情況仍為簡單，由此得以下解法。

解：若三個方程均無實數(shù)根，則有

解得 ，要使三個方程至少有一個方程有實根，則 的取值范圍為( ，  , 

4  把握因果關(guān)系的可逆性，逆向探求解題途徑

數(shù)學(xué)過程有一定的因果關(guān)系，通常從原因推知結(jié)論，但有時可反過來，從肯定的結(jié)論入手進行推理，推出符合條件或易證的命題，并且推理的每一步均可逆，則可證得原命題成立，這種“執(zhí)果索因”的分析方法，便于思考，有益于獲得解題捷徑。

例4、求證： 的最小值是  

分析：若要證明函數(shù) 的最小值是  ，只需證 成立，則移項得 ，變形為 ，即 ，當(dāng) 時，此不等式成立，每一步都可逆推回去。

5  利用反證法思想，尋找解題佳徑

數(shù)學(xué)題浩似煙海，如果單純用一種思維方式去思考，有時會思路閉塞，陷入困境，若善于從不同角度、不同方向思考問題，熟練靈活運用反證法，能使一些難題迎刃而解，出奇制勝地解決問題。

例5、已知銳角 、 滿足 ，求證： 。

分析：本題若直接由已知條件證明 ，確有很大的難度。但若從反面出發(fā)，考慮 ， 與 三種可能情況，則間接得證。

證明：(1)假若 且 、 為銳角，則 。

   ，即

 。--①

同理 ，即

 。--②

由①+②得 ，這與已知條件矛盾。

  不大于 。

(2)假若 ，則 。

同上證法，有 且 。

  ，這與已知條件矛盾

  不小于 。

綜合上述情況，可知 成立。

本文通過以上五個方面來討論逆向思維方法。解決一些數(shù)學(xué)問題，充分顯示出逆向思維是重要的數(shù)學(xué)思維方法。但是，由于我們的教學(xué)過程大部分是順向思維，往往使學(xué)生在很大程度上形成思維定勢，這樣在某種程序上制約了逆向思維的建立，所以在以后教學(xué)中如何對學(xué)生進行逆向思維訓(xùn)練，幫助學(xué)生由單向思維向雙向思維發(fā)展，提高解題能力，這仍然需要廣大教師努力去工作。

[參考文獻]

[1]工瑞立鄒澤民中學(xué)數(shù)學(xué)方法論[M] 廣西教育出版社

[2]楊  云培養(yǎng)創(chuàng)新思維的途徑與方法[J] 數(shù)學(xué)教學(xué)研究2002.1