《平面向量的數量積》

時間：2024-04-01 20:09:36 好文我要投稿

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《平面向量的數量積》

《平面向量的數量積》1

　　一：說教材

　　平面向量的數量積是兩向量之間的乘法，而平面向量的坐標表示把向量之間的運算轉化為數之間的運算。本節內容是在平面向量的坐標表示以及平面向量的數量積及其運算律的基礎上，介紹了平面向量數量積的坐標表示，平面兩點間的距離公式，和向量垂直的坐標表示的充要條件。為解決直線垂直問題，三角形邊角的有關問題提供了很好的辦法。本節內容也是全章重要內容之一。

　　二：說學習目標和要求

　　通過本節的學習，要讓學生掌握

　　（1）：平面向量數量積的坐標表示。

　　（2）：平面兩點間的距離公式。

　　（3）：向量垂直的坐標表示的充要條件。

　　以及它們的一些簡單應用，以上三點也是本節課的重點，本節課的難點是向量垂直的坐標表示的充要條件以及它的靈活應用。

　　三：說教法

　　在教學過程中，我主要采用了以下幾種教學方法：

　　（1）啟發式教學法

　　因為本節課重點的坐標表示公式的推導相對比較容易，所以這節課我準備讓學生自行推導出兩個向量數量積的坐標表示公式，然后引導學生發現幾個重要的結論：如模的計算公式，平面兩點間的距離公式，向量垂直的坐標表示的充要條件。

　　（2）講解式教學法

　　主要是講清概念，解除學生在概念理解上的疑惑感；例題講解時，演示解題過程！

　　主要輔助教學的手段（powerpoint）

　　（3）討論式教學法

　　主要是通過學生之間的相互交流來加深對較難問題的理解，提高學生的自學能力和發現、分析、解決問題以及創新能力。

　　四：說學法

　　學生是課堂的主體，一切教學活動都要圍繞學生展開，借以誘發學生的學習興趣，增強課堂上和學生的交流，從而達到及時發現問題，解決問題的目的。通過精講多練，充分調動學生自主學習的積極性。如讓學生自己動手推導兩個向量數量積的坐標公式，引導學生推導4個重要的結論！并在具體的問題中，讓學生建立方程的思想，更好的解決問題！

　　五：說教學過程

　　這節課我準備這樣進行：

　　首先提出問題：要算出兩個非零向量的數量積，我們需要知道哪些量？

　　繼續提出問題：假如知道兩個非零向量的坐標，是不是可以用這兩個向量的坐標來表示這兩個向量的數量積呢？

　　引導學生自己推導平面向量數量積的坐標表示公式，在此公式基礎上還可以引導學生得到以下幾個重要結論：

　　（1）模的計算公式

　　（2）平面兩點間的距離公式。

　　（3）兩向量夾角的余弦的坐標表示

　　（4）兩個向量垂直的標表示的.充要條件

　　第二部分是例題講解，通過例題講解，使學生更加熟悉公式并會加以應用。

　　例題1是書上122頁例1，此題是直接用平面向量數量積的坐標公式的題，目的是讓學生熟悉這個公式，并在此題基礎上，求這兩個向量的夾角？目的是讓學生熟悉兩向量夾角的余弦的坐標表示公式例題2是直接證明直線垂直的題，雖然比較簡單，但體現了一種重要的證明方法，這種方法要讓學生掌握，其實這一例題也是兩個向量垂直坐標表示的充要條件的一個應用：即兩個向量的數量積是否為零是判斷相應的兩條直線是否垂直的重要方法之一。

　　例題3是在例2的基礎上稍微作了一下改變，目的是讓學生會應用公式來解決問題，并讓學生在這要有建立方程的思想。

　　再配以練習，讓學生能熟練的應用公式，掌握今天所學內容。

　　然后是學習小結（由學生完成）

　　最后作業布置！

《平面向量的數量積》2

　　平面向量的數量積是一種非常重要的運算，同其線性運算一樣，既有其深刻的數學背景，也有其現實的物理背景。本節課從總體上說是一節概念教學，依據數學課程改革應關注知識的發生和發展過程的理念，在數量積概念的引入過程中，我從數學和物理兩個角度創設問題情景，使學生明白研究這種運算不僅是數學本身發展的必然，更是研究客觀世界的需要，從而產生強烈的求知欲望。相對于線性運算而言，數量積的結果發生了本質的變化，為了讓學生理解這一點，我首先安排讓學生討論影響數量積結果的因素并完成表格，其次將數量積的幾何意義提前，這樣使學生從代數和幾何兩個方面對數量積的“質變”特征有了更加充分的認識。通過嘗試練習，一方面使學生嘗試計算數量積，另一方面使學生理解數量積的物理意義，同時也為數量積的.性質埋下伏筆。

　　數量積的性質和運算律是數量積概念的延伸，教材中這兩方面的內容都是以探究的形式出現，為了讓學生很好的完成這兩個探究活動，我始終按照先創設一定的情景，讓學生去發現結論，再由學生或師生共同完成證明。比如數量積的運算性質是將嘗試練習的結論推廣得到，數量積的運算律則是通過和實數乘法相類比得到，這樣不僅使學生感到親切自然，同時也培養了學生由特殊到一般的思維品質和類比創新的意識。在應用這個環節中，對教材中提供的四個例題，我重點講解例2和例4，例1和例3則由學生獨立完成，這樣既加強了學生的練習，同時也便于通過觀察、問答等方式對學生的掌握情況做出適當的評價。達到提高認識，形成體系的目的，同時也為下一節課的內容做好鋪墊，不斷激發學生的求知欲。

《平面向量的數量積》3

　　（1）讓學生經歷數學知識的形成與應用過程

　　高中數學教學應體現知識的來龍去脈，創設問題情景，建立數學模型，讓學生經歷數學知識的形成與應用，可以更好的理解數學概念、結論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增強學好數學的愿望和信心。對于抽象數學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式

　　(2）鼓勵學生自主探索、自主學習

　　教師是學生學習的引導者、組織者，教師在教學中的作用必須以確定學生主體地位為前提，教學過程中要發揚民主，要鼓勵學生質疑，提倡獨立思考、動手實踐、自主探索、閱讀自學等學習方式。對于教學中問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等，要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的方案，并引導學生在與他人的`交流中選擇合適的策略，使學生切實體會到自主探索數學的規律和問題解決是學好數學的有效途徑

　　（3）用教材教，而不是教教材

　　向量的數量積這一節新課標規定在2課時內完成2.3“平面向量的數量積”3小節的教學內容，為了貫徹新課標的精神，體現新課程理念，我們做了如下的調整：把“兩個向量的夾角”這個概念放到2.1.1“向量的概念”中講，把向量在軸上的正射影這個概念放到2.2“向量的分解與向量的坐標運算”，平面向量的數量積的定義及平面向量的數量積的運算律到第一課時，把平面向量的數量積的性質及平面向量的數量積坐標運算與度量公式放到第二課時。

　　我感覺不足的有：

　　（1）教師應該如何準確的提出問題

　　在教學中，我提出問題，平面向量的數量積的定義中你認為應注意哪些問題？這個問題問的不夠具體，學生不知道給如何回答。其實這個問題，我也曾考慮過該如何問，只是沒有找到更合適的提問方法，能力有待加強。（2）教師如何把握“收”與“放”的問題

　　何時放手讓學生思考，何時教師引導學生，何時教師講授，這是個值得思考的問題。

　　（3）教師要點撥到位

　　在學生出現問題后，教師要及時點評加以總結，要重視思維的提升，提高學生的數學能力和素質

《平面向量的數量積》4

　　尊敬的各位評委、各位老師：

　　大家好！

　　今天我說課的題目是《平面向量的數量積》。下面我將從四個方面闡述我對本節課的分析和設計。

　　第一部分：教學內容分析：

　　1、教材的地位及作用：

　　將平面向量引入高中課程,是現行數學教材的重要特色之一。由于向量既能體現“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合和轉換的橋梁。而這一切之所以能夠實現，平面向量的數量積功不可沒。《平面向量的數量積》是高一數學下冊第五章第六節的內容。平面向量數量積是中學數學的一個重要概念。它的性質很多，應用很廣，是后面學習的重要基礎。本課是第一課時，學生對概念的理解尤為重要。

　　2、教學目標的設定：

　　（1）知識目標：

　　平面向量數量積的定義及初步運用。

　　（2）能力目標：

　　通過對平面向量數量積定義的剖析，培養學生分析問題發現問題能力，使學生的思維能力得到訓練。

　　（3）情感目標：

　　通過本節課的學習，激發學生學習數學的.興趣，體會學習的快樂。

　　3、教學重點：平面向量的數量積定義。

　　4、教學難點：平面向量的數量積定義及平面向量數量積的運用。

　　第二部分：教法分析：

　　采用啟發引導式與講練相結合，并借助多媒體教學手段，使學生理解平面向量數量積的定義，理解定義之后引導學生推導數量積的性質，通過例題和練習加深學生對平面向量數量積定義的認識，初步掌握平面向量數量積定義的運用。

《平面向量的數量積》5

　　說課內容：普通高中課程標準實驗教科書(人教A版)《數學必修4》第二章第四節“平面向量的數量積”的第一課時---平面向量數量積的物理背景及其含義。

　　下面，我從背景分析、教學目標設計、課堂結構設計、教學過程設計、教學媒體設計及教學評價設計六個方面對本節課的思考進行說明。

　　一、背景分析

　　1、學習任務分析

　　平面向量的數量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數學的一個重要概念，在數學、物理等學科中應用十分廣泛。本節內容教材共安排兩課時，其中第一課時主要研究數量積的概念，第二課時主要研究數量積的坐標運算，本節課是第一課時。

　　本節課的主要學習任務是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數量積的概念，在此基礎上探究數量積的性質與運算律，使學生體會類比的思想方法，進一步培養學生的抽象概括和推理論證的能力。其中數量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質和運算律的基礎。同時也因為在這個概念中，既有長度又有角度，既有形又有數，是代數、幾何與三角的最佳結合點，不僅應用廣泛，而且很好的體現了數形結合的數學思想，使得數量積的概念成為本節課的核心概念，自然也是本節課教學的重點。

　　2、學生情況分析

　　學生在學習本節內容之前，已熟知了實數的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法：即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念，然后再從概念出發，在與實數運算類比的基礎上研究性質和運算律。這為學生學習數量積做了很好的鋪墊，使學生倍感親切。但也正是這些干擾了學生對數量積概念的理解，一方面，相對于線性運算而言，數量積的結果發生了本質的變化，兩個有形有數的向量經過數量積運算后，形卻消失了，學生對這一點是很難接受的;另一方面，由于受實數乘法運算的影響，也會造成學生對數量積理解上的偏差，特別是對性質和運算律的理解。因而本節課教學的難點數量積的概念。

　　二、教學目標設計

　　《普通高中數學課程標準(實驗)》對本節課的要求有以下三條：

　　(1)通過物理中“功”等事例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義。

　　(2)體會平面向量的數量積與向量投影的關系。

　　(3)能用運數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。

　　從以上的背景分析可以看出，數量積的概念既是本節課的重點，也是難點。為了突破這一難點，首先無論是在概念的引入還是應用過程中，物理中“功”的實例都發揮了重要作用。其次，作為數量積概念延伸的性質和運算律，不僅能夠使學生更加全面深刻地理解概念，同時也是進行相關計算和判斷的理論依據。最后，無論是數量積的性質還是運算律，都希望學生在類比的基礎上，通過主動探究來發現，因而對培養學生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的'載體。

　　綜上所述，結合“課標”要求和學生實際，我將本節課的教學目標定為：

　　1、了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義及其物理意義;

　　2、體會平面向量的數量積與向量投影的關系，掌握數量積的性質和運算律，

　　并能運用性質和運算律進行相關的運算和判斷;

　　3、體會類比的數學思想和方法，進一步培養學生抽象概括、推理論證的能力。

　　三、課堂結構設計

　　本節課從總體上講是一節概念教學，依據數學課程改革應關注知識的發生和發展過程的理念，結合本節課的知識的邏輯關系，我按照以下順序安排本節課的教學：

　　即先從數學和物理兩個角度創設問題情景，通過歸納和抽象得到數量積的概念，在此基礎上研究數量積的性質和運算律，使學生進一步加深對概念的理解，然后通過例題和練習使學生鞏固概念，加深印象，最后通過課堂小結提高學生認識，形成知識體系。

　　四、教學媒體設計

　　和“大綱”教材相比，“課標”教材在本節課的內容安排上，雖然將向量的夾角在“平面向量基本定理”一節提前做了介紹，但卻將原來分兩節課完成的內容合并成一節，相比較而言本節課的教學任務加重了許多。為了保證教學任務的完成，順利實現本節課的教學目標，考慮到本節課的實際特點，在教學媒體的使用上，我的設想主要有以下兩點：

　　1、制作高效實用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關內容的呈現方式，以此來節約課時，增加課堂容量。

　　2、設計科學合理的板書(見下)，一方面使學生加深對主要知識的印象，另一方面使學生清楚本節內容知識間的邏輯關系，形成知識網絡。

　　平面向量數量積的物理背景及其含義

　　一、數量積的概念二、數量積的性質四、應用與提高

　　1、概念：例1：

　　2、概念強調 (1)記法例2：

　　(2)“規定” 三、數量積的運算律例3：

　　3、幾何意義：

　　4、物理意義：

　　五、教學過程設計

　　課標指出：數學教學過程是教師引導學生進行學習活動的過程，是教師和學生間互動的過程，是師生共同發展的過程。為有序、有效地進行教學，本節課我主要安排以下六個活動：

　　活動一：創設問題情景，激發學習興趣

　　正如教材主編寄語所言，數學是自然的，而不是強加于人的。平面向量的數量積這一重要概念，和向量的線性運算一樣，也有其數學背景和物理背景，為了體現這一點，我設計以下幾個問題：

　　問題1：我們已經研究了向量的哪些運算?這些運算的結果是什么?

　　問題2：我們是怎么引入向量的加法運算的?我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的?

　　期望學生回答：物理模型→概念→性質→運算律→應用

　　問題3：如圖所示，一物體在力F的作用下產生位移S，

　　(1)力F所做的功W= 。

　　(2)請同學們分析這個公式的特點：

　　W(功)是量，

　　F(力)是量，

　　S(位移)是量，

　　α是。

　　問題1的設計意圖在于使學生了解數量積的數學背景，讓學生明白本節課所要研究的數量積與向量的加法、減法及數乘一樣，都是向量的運算，但與向量的線性運算相比，數量積運算又有其特殊性，那就是其結果發生了本質的變化。

　　問題2的設計意圖在于使學生在與向量加法類比的基礎上明了本節課的研究方法和順序，為教學活動指明方向。

　　問題3的設計意圖在于使學生了解數量積的物理背景，讓學生知道，我們研究數量積絕不僅僅是為了數學自身的完善，而是有其客觀背景和現實意義的，從而產生了進一步研究這種新運算的愿望。同時，也為抽象數量積的概念做好鋪墊。

　　活動二：探究數量積的概念

　　1、概念的抽象

　　在分析“功”的計算公式的基礎上提出問題4

　　問題4：你能用文字語言來表述功的計算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結果又該如何表述?

　　學生通過思考不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積;兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學生事實上已經得到數量積概念的文字表述了，在此基礎上，我進一步明晰數量積的概念。

　　2、概念的明晰

　　已知兩個非零向量

　　與

　　，它們的夾角為

　　，我們把數量︱

　　︱·︱

　　︱cos

　　叫做

　　與

　　的數量積(或內積)，記作：

　　，即：

　　= ︱

　　︱·︱

　　︱cos

　　在強調記法和“規定”后，為了讓學生進一步認識這一概念，提出問題5

　　問題5：向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同?影響數量積大小的因素有哪些?并完成下表：

　　角

　　的范圍0°≤

　　<90°

　　=90°0°<

　　≤180°

　　的符號

　　通過此環節不僅使學生認識到數量積的結果與線性運算的結果有著本質的不同，而且認識到向量的夾角是決定數量積結果的重要因素，為下面更好地理解數量積的性質和運算律做好鋪墊。

　　3、探究數量積的幾何意義

　　這個問題教材是這樣安排的：在給出向量數量積的概念后，只介紹了向量投影的定義，直到講完例1后，為了證明運算律的第三條才直接以結論的形式呈現給學生，我覺得這樣安排似乎不太自然，還不如在給出向量投影的概念后，直接由學生自己歸納得出，所以做了調整。為此，我首先給出給出向量投影的概念，然后提出問題5。

　　如圖，我們把│

　　│cos

　　(│

　　│cos

　　)叫做向量

　　在

　　方向上(

　　在

　　方向上)的投影，記做：OB1=│

　　│cos

　　問題6：數量積的幾何意義是什么?

　　這樣做不僅讓學生從“形”的角度重新認識數量積的概念，從中體會數量積與向量投影的關系，同時也更符合知識的連貫性，而且也節約了課時。

　　4、研究數量積的物理意義

　　數量積的概念是由物理中功的概念引出的，學習了數量積的概念后，學生就會明白功的數學本質就是力與位移的數量積。為此，我設計以下問題一方面使學生嘗試計算數量積，另一方面使學生理解數量積的物理意義，同時也為數量積的性質埋下伏筆。

　　問題7：

　　(1) 請同學們用一句話來概括功的數學本質：功是力與位移的數量積。

　　(2)嘗試練習：一物體質量是10千克，分別做以下運動：

　　①、在水平面上位移為10米;

　　②、豎直下降10米;

　　③、豎直向上提升10米;

　　④、沿傾角為30度的斜面向上運動10米;

　　分別求重力做的功。

　　活動三：探究數量積的運算性質

　　1、性質的發現

　　教材中關于數量積的三條性質是以探究的形式出現的，為了很好地完成這一探究活動，在完成上述練習后，我不失時機地提出問題8：

　　(1)將嘗試練習中的① ② ③的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論?

　　(2)比較︱

　　︱與︱

　　︱×︱

　　︱的大小，你有什么結論?

　　在學生討論交流的基礎上，教師進一步明晰數量積的性質，然后再由學生利用數量積的定義給予證明，完成探究活動。

　　2、明晰數量積的性質

　　3、性質的證明

　　這樣設計體現了教師只是教學活動的引領者，而學生才是學習活動的主體，讓學生成為學習的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激發學生參與學習活動的熱情，不僅使學生獲得了知識，更培養了學生由特殊到一般的思維品質。

　　活動四：探究數量積的運算律

　　1、運算律的發現

　　關于運算律，教材仍然是以探究的形式出現，為此，首先提出問題9

　　問題9：我們學過了實數乘法的哪些運算律?這些運算律對向量是否也適用?

　　通過此問題主要是想使學生在類比的基礎上，猜測提出數量積的運算律。

　　學生可能會提出以下猜測： ①

　　②(

　　)

　　(

　　) ③(

　　)·

　　猜測①的正確性是顯而易見的。

　　關于猜測②的正確性，我提示學生思考下面的問題：

　　猜測②的左右兩邊的結果各是什么?它們一定相等嗎?

　　學生通過討論不難發現，猜測②是不正確的。

　　這時教師在肯定猜測③的基礎上明晰數量積的運算律：

　　2、明晰數量積的運算律

　　3、證明運算律

　　學生獨立證明運算律(2)

　　我把運算運算律(2)的證明交給學生完成，在證明時，學生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學生完善證明，提出以下問題：

　　當λ<0時，向量

　　與λ

　　，

　　與λ

　　的方向的關系如何?此時，向量λ

　　與

　　及

　　與λ

　　的夾角與向量

　　與

　　的夾角相等嗎?

　　師生共同證明運算律(3)

　　運算律(3)的證明對學生來說是比較困難的，為了節約課時，這個證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。

　　在這個環節中，我仍然是首先為學生創設情景，讓學生在類比的基礎上進行猜想歸納，然后教師明晰結論，最后再完成證明，這樣做不僅培養了學生推理論證的能力，同時也增強了學生類比創新的意識，將知識的獲得和能力的培養有機的結合在一起。

　　活動五：應用與提高

　　例1、(師生共同完成)已知︱

　　︱=6，︱

　　︱=4,

　　與

　　的夾角為60°，求

　　(

　　)·(

　　-3

　　)，并思考此運算過程類似于哪種運算?

　　例2、(學生獨立完成)對任意向量

　　，b是否有以下結論：

　　(1)(

　　)2=

　　2+2

　　(2)(

　　)·(

　　2—

　　例3、(師生共同完成)已知︱

　　︱=3，︱

　　︱=4, 且

　　與

　　不共線，k為何值時，向量

　　與

　　-k

　　互相垂直?并思考：通過本題你有什么收獲?

　　本節教材共安排了四道例題，我根據學生實際選擇了其中的三道，并對例1和例3增加了題后反思。例1是數量積的性質和運算律的綜合應用，教學時，我重點從對運算原理的分析和運算過程的規范書寫兩個方面加強示范。完成計算后，進一步提出問題：此運算過程類似于哪種運算?目的是想讓學生在類比多項式乘法的基礎上自己猜測提出例2給出的兩個公式，再由學生獨立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養了學生通過類比這一思維模式達到創新的目的。例3的主要作用是，在繼續鞏固性質和運算律的同時，教給學生如何利用數量積來判斷兩個向量的垂直，是平面向量數量積的基本應用之一，教學時重點給學生分析數與形的轉化原理。

　　為了使學生更好的理解數量積的含義，熟練掌握性質及運算律，并能夠應用數量積解決有關問題，再安排如下練習：

　　1、下列兩個命題正確嗎?為什么?

　　①、若

　　≠0，則對任一非零向量

　　，有

　　≠0.

　　②、若

　　≠0，

　　，則

　　2、已知△ABC中，

　　，當

　　<0或

　　=0時，試判斷△ABC的形狀。

　　安排練習1的主要目的是，使學生在與實數乘法比較的基礎上全面認識數量積這一重要運算，

　　通過練習2使學生學會用數量積表示兩個向量的夾角，進一步感受數量積的應用價值。

　　活動六：小結提升與作業布置

　　1、本節課我們學習的主要內容是什么?

　　2、平面向量數量積的兩個基本應用是什么?

　　3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質的探究?在運算律的探究過程中，滲透了哪些數學思想?

　　4、類比向量的線性運算，我們還應該怎樣研究數量積?

　　通過上述問題，使學生不僅對本節課的知識、技能及方法有了更加全面深刻的認識，同時也為下

　　一節做好鋪墊，繼續激發學生的求知欲。

　　布置作業：

　　1、課本P121習題2.4A組1、2、3。

　　2、拓展與提高：

　　已知

　　與

　　都是非零向量，且

　　與7

　　-5

　　垂直，

　　-4

　　與 7

　　-2

　　垂直求

　　與

　　的夾角。

　　在這個環節中，我首先考慮檢測全體學生是否都達到了“課標”的基本要求，因此安排了一組教材中的習題，目的是讓所有的學生繼續加深對數量積概念的理解和應用，為后續學習打好基礎。其次，為了能讓不同的學生在數學領域得到不同的發展，我又安排了一道有一定難度的問題供學有余力的同學選做。

　　六、教學評價設計

　　評價方式的轉變是新課程改革的一大亮點，課標指出：相對于結果，過程更能反映每個學生的發展變化，體現出學生成長的歷程。因此，數學學習的評價既要重視結果，也要重視過程。結合“課標”對數學學習的評價建議，對本節課的教學我主要通過以下幾種方式進行：

　　1、通過與學生的問答交流，發現其思維過程，在鼓勵的基礎上，糾正偏差，并對其進行定

　　性的評價。

　　2、在學生討論、交流、協作時，教師通過觀察，就個別或整體參與活動的態度和表現做出評價，以此來調動學生參與活動的積極性。

　　3、通過練習來檢驗學生學習的效果，并在講評中，肯定優點，指出不足。

　　4、通過作業，反饋信息，再次對本節課做出評價，以便查漏補缺。

《平面向量的數量積》6

　　一、教材分析

　　1.本課的地位及作用：平面向量數量積的坐標表示，就是運用坐標這一量化工具表達向量的數量積運算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問題提供了全新的手段。它把向量的數量積與坐標運算兩個知識點緊密聯系起來，是全章重點之一。

　　2學生情況分析：在此之前學生已學習了平面向量的坐標表示和平面向量數量積概念及運算，但數量積是用長度和夾角這兩個概念來表示的，應用起來不太方便，如何用坐標這一最基本、最常用的工具來表示數量積，使之應用更方便，就是擺在學生面前的一個亟待解決的問題。因此，本節內容的學習是學生認知發展和知識構建的一個合情、合理的“生長點”。所以，本節課采取以學生自主完成為主，教師查漏補缺的教學方法。因此結合中學生的認知結構特點和學生實際。我將本節教學目標確定為：

　　1、理解掌握平面向量數量積的坐標表達式，會進行數量積的運算。理解掌握向量的模、夾角等公式。能根據公式解決兩個向量的夾角、垂直等問題

　　2、經歷根據平面向量數量積的意義探究其坐標表示的過程，體驗在此基礎上探究發現向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養學生的探究能力、創新精神。

　　教學重點

　　平面向量數量積的坐標表示及應用

　　教學難點

　　探究發現公式

　　二、教學方法和手段

　　1教學方法：結合本節教材淺顯易懂，又有前面平面向量的數量積和向量的坐標表示等知識作鋪墊的內容特點，兼顧高一學生已具備一定的數學思維能力和處理向量問題的方法的現狀，我主要采用“誘思探究教學法”，其核心是“誘導思維，探索研究”，其教學思想是“教師為主導，學生為主體，訓練為主線的原則，為此，我通過精心設置的一個個問題，激發學生的求知欲，積極的鼓勵學生的參與，給學生獨立思考的空間，鼓勵學生自主探索，最終在教師的指導下去探索發現問題，解決問題。在教學中，我適時的對學生學習過程給予評價，適當的評價，可以培養學生的自信心，合作交流的意識，更進一步地激發了學生的學習興趣，讓他們體驗成功的喜悅。

　　2教學手段：利用多媒體輔助教學，可以加大一堂課的信息容量，極大提高學生的學習興趣。

　　三、學法指導

　　改善學生的學習方式是高中數學課程追求的基本理念。獨立思考，自主探索，動手實踐，合作交流等都是學習數學的重要方式，這些方式有助于發揮學生學習主觀能動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”的過程。以激發學生的學習興趣和創新潛能，幫助學生養成獨立思考，積極探索的習慣。為了實現這一目標，本節教學讓學生主動參與，讓學生動手，動口、動腦。通過思考、計算、歸納、推理，鼓勵學生多向思維，積極活動，勇于探索。具體體現在：1、通過提出問題，把問題的求解與探究貫穿整堂課，使學生在自主探究中發現了結論，推廣了命題，使學生感到成果是自己得到的，增強了成就感，培養了學生學好數學的'信心和良好的學習動機。2、通過數與形的充分挖掘，通過對向量平行與垂直條件的坐標表示的類比，培養了學生數形結合的數學思想，教給了學生類比聯想的記憶方法。

　　四、教學程序

　　本節課分為復習回顧、定理推導、引申推廣、例題講析、練習與小結五部分。

　　復習回顧部分通過兩個問題，復習了與本節內容相關的數量積概念，為本節內容的學習作了必要的鋪墊。

　　定理推導部分通過設問，引出尋求向量的數量積的坐標表示的必要性，引入課題，并引導學生應用前述知識共同推導出數量積的坐標表示。

　　引申推廣部分，讓學生自主推導出向量的長度公式，向量垂直條件的坐標表示、夾角公式等三個結論，強化了學生的動手能力和自主探究能力。

　　例題講析，通過四道緊扣教材的例題的精講，突出了結論的應用，也起到了示范作用。

　　練習及小結：通過練習題驗收教學效果，突出訓練主線，小結部分畫龍點睛，強調本節重點。再結合課后作業，進一步實現本節課的教學目的。同時小結也體現主體性，由教師提出問題學生總結得出。

《平面向量的數量積》7

　　《2.4 平面向量的數量積》測試題

　　一、選擇題

　　1.已知向量滿足，且，則與的夾角為( ).

　　A. B. C. D.

　　考查目的：考查平面向量的數量積的意義.

　　答案：C.

　　解析：根據平面向量數量積的意義，及可得，.

　　2.已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則等于( ).

　　A. B. C. D.(1，0)

　　考查目的：考查平面向量數量積的坐標運算.

　　答案：B.

　　解析：利用排除法. ∵在D中，，∴D不合題意；∵在C中向量不是單位向量，∴也不符題意；∵A是向量會使得，同樣不合題意，答案只有選B.

　　3.(20xx四川理)設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，，，則( ).

　　A.8 B.4 C.2 D.1

　　考查目的：考查平面向量加、減法運算的幾何意義，以及數形結合思想.

　　答案：C.

　　解析：∵，∴是以A為直角頂點的直角三角形.又∵M是BC的中點，∴.

　　二、填空題

　　4.已知，則與方向相同的單位向量為 .

　　考查目的：考查方向相同的單位向量的求法和運算.

　　答案：.

　　解析：∵，∴與方向相同的單位向量.

　　5.已知：，與的'夾角為，則在方向上的投影為 .

　　考查目的：考查平面向量投影的概念與計算.

　　答案：.

　　解析：在方向上的投影為.

　　6.(20xx天津文)若等邊的邊長為，平面內一點M滿足，則＝ .

　　考查目的：考查平面向量的加、減法運算和平面向量的數量積運算.

　　答案：-2.

　　解析：∵，∴，，∴.

　　三、解答題

　　7.已知，若，試求實數的值.

　　考查目的：考查平面向量的數量積運算和平面向量垂直的性質等.

　　答案：.

　　解析：∵，∴，即，得.

　　8.已知向量，，.

　　⑴求的最小值及相應的值；

　　⑵若與共線，求實數.

　　考查目的：考查平面向量的坐標運算與求函數最值等的綜合運算.

　　解析：⑴∵，∴，∴，當且僅當時取等號；⑵∵，與共線，∴，∴.

《平面向量的數量積》8

　　1.平面向量的數量積

　　平面向量數量積的定義

　　已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，把數量|a||b|cos 叫做a和b的數量積(或內積)，記作ab.即ab=|a||b|cos ，規定0a=0.

　　2.向量數量積的運算律

　　(1)ab=ba

　　(2)(a)b=(ab)=a(b)

　　(3)(a+b)c=ac+bc

　　[探究] 根據數量積的.運算律，判斷下列結論是否成立.

　　(1)ab=ac，則b=c嗎?

　　(2)(ab)c=a(bc)嗎?

　　提示：(1)不一定，a=0時不成立，

　　另外a0時，ab=ac.由數量積概念可知b與c不能確定;

　　(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.

　　(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當a與c不共線時它們必不相等.

《平面向量的數量積》9

　　教學準備

　　教學目標

　　1.掌握平面向量的數量積及其幾何意義;

　　2.掌握平面向量數量積的重要性質及運算律;

　　3.了解用平面向量的數量積可以處理垂直的問題;

　　4.掌握向量垂直的條件.

　　教學重難點

　　教學重點：平面向量的數量積定義

　　教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用

　　教學過程

　　1.平面向量數量積(內積)的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，

　　則數量|a||b|cosq叫a與b的數量積，記作ab，即有ab=|a||b|cosq，(0≤θ≤π).

　　并規定0向量與任何向量的數量積為0.

　　探究：

　　1、向量數量積是一個向量還是一個數量?它的符號什么時候為正?什么時候為負?

　　2、兩個向量的`數量積與實數乘向量的積有什么區別?

　　(1)兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cosq的符號所決定.

　　(2)兩個向量的數量積稱為內積，寫成ab;今后要學到兩個向量的外積ab，而ab是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分.符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替.

　　(3)在實數中，若a?0，且ab=0，則b=0;但是在數量積中，若a?0，且ab=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.

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