淺析小學(xué)教育專業(yè)初等數(shù)論課程例題和練習(xí)題論文
1小學(xué)教育專業(yè)開設(shè)初等數(shù)論課程的必要性
初等數(shù)論是一門古老的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科，主要研究整數(shù)的基本性質(zhì)，它的理論和方法已廣泛用于現(xiàn)代密碼學(xué)、算子理論、最優(yōu)設(shè)計(jì)、組合代數(shù)及信息科學(xué)等諸多領(lǐng)域.師范院校小學(xué)教育專業(yè)開設(shè)的初等數(shù)論課程作為一門專業(yè)主干課程，主要研究整數(shù)的整除與同余及不定方程，其中的許多內(nèi)容如整除、約數(shù)、倍數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)等概念和性質(zhì)都是現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究具有重要的指導(dǎo)作用，而小學(xué)教育專業(yè)的數(shù)學(xué)類課程設(shè)置的目標(biāo)是為了培養(yǎng)合格的小學(xué)數(shù)學(xué)教師，所以小學(xué)教育專業(yè)開設(shè)初等數(shù)論課程很有必要。
由于初等數(shù)論要求論證嚴(yán)格，所以它是進(jìn)行思維訓(xùn)練的有效工具，學(xué)習(xí)初等數(shù)論能發(fā)展學(xué)生的邏輯數(shù)學(xué)思維能力。
數(shù)論的許多問題本身很容易弄懂，容易引起人們的興趣，例如哥德巴赫猜想，但要想解決卻非常困難。古今中外許多數(shù)學(xué)家都是由于被數(shù)論問題吸引而投身數(shù)學(xué)研究，并做出了巨大的貢獻(xiàn)，在初等數(shù)論課程中有許多簡明而又具創(chuàng)造性的問題，它們都是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的很好材料，所以學(xué)習(xí)初等數(shù)論能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)造力。
2小學(xué)教育專業(yè)初等數(shù)論課程例題和練習(xí)題的重要性
例題和練習(xí)題是初等數(shù)論教材的重要組成部分，例題是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要資源，具有示范引領(lǐng)、揭示方法、介紹新知、鞏固新知、思維訓(xùn)練等功能，而練習(xí)題則是將所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用的一個(gè)載體，也是教師檢查學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的一個(gè)手段，所以初等數(shù)論課程的例題和練習(xí)題的選擇很重要.當(dāng)前高等院校數(shù)學(xué)系所開設(shè)的初等數(shù)論課程所用的教材雖然由于使用的時(shí)間長教材所配置的例題和練習(xí)題大部分比較合適，但也存在例題和練習(xí)題都偏少且練習(xí)題難度偏大和基礎(chǔ)性的題目所占比例太小等問題[}z}，更何況小學(xué)教育專業(yè)是最近幾年開設(shè)的新專業(yè)，所用的教材也是近幾年編的，大部分的教材在教材內(nèi)容的選取上比較適合小學(xué)教育專業(yè)，但例題和練習(xí)題的配置大部分是照搬數(shù)學(xué)系所用的題目，或者是為了應(yīng)用某個(gè)定理而生造一些例題和練習(xí)題，因而很多例題和練習(xí)題不適合小學(xué)教育專業(yè)，尤其是與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)沒有多少聯(lián)系。
初等數(shù)論課程的特點(diǎn)是“定理本身易懂，但其證明難懂”，“例題難懂，練習(xí)題難做”.多年的教學(xué)實(shí)踐表明，小學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)初等數(shù)論的困難，不僅在學(xué)習(xí)有關(guān)知識(shí)，而且也在運(yùn)用這些知識(shí)去解決問題，也就是練習(xí)題難做，所以例題和練習(xí)題的配置是小學(xué)教育初等數(shù)論教材改革中需要認(rèn)真研究的一個(gè)重要方面。
3關(guān)于小學(xué)教育專業(yè)初等數(shù)論課程例題和練習(xí)題的思考
3. 1將例題和練習(xí)題分層配置以滿足不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)的需要
伴隨高校的'擴(kuò)招，加上小學(xué)教育又是文理兼招，所以學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，因此教師在教學(xué)時(shí)很難把握教學(xué)的難度，所以將例題和練習(xí)題進(jìn)行分層很有必要，以滿足不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)的需要.將例題和練習(xí)題分層能充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，最大限度的調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。
將例題和練習(xí)題按難度分為三個(gè)層次：簡單、基本和復(fù)雜.對(duì)簡單的例題可略講或不講讓學(xué)生自學(xué)，略講時(shí)可適當(dāng)加深;基本的例題可花大力氣去講;而復(fù)雜的例題可只講思路或略講，讓學(xué)有余力的學(xué)生去理解.要布置少量的簡單的練習(xí)題，多布置基本的練習(xí)題，而復(fù)雜的練習(xí)題可讓學(xué)生選做。
以整除的概念這一節(jié)為例，整除的概念是初等數(shù)論的一個(gè)核心概念，對(duì)整除概念的理解是學(xué)習(xí)初等數(shù)論的基礎(chǔ)。像判斷具體的數(shù)字能否被3,9,11等數(shù)整除就屬于簡單的例題和練習(xí)題，因?yàn)檎奶卣魇浅湟獥l件，所以判斷的方法可多次使用;而證明整除的性質(zhì)就是基本的例題和練習(xí)題;而象當(dāng)n為大于1的整數(shù)，證明 不為整數(shù)就是復(fù)雜的題目了，可只講思路或略講，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)。
3. 2例題和練習(xí)題的選擇必須與專業(yè)相符
小學(xué)教育專業(yè)的特點(diǎn)之一是為了培養(yǎng)合格的小學(xué)師資，為了適應(yīng)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的需要，初等數(shù)論課程的例題和練習(xí)題的選擇還必須與專業(yè)相符，為學(xué)生以后走上工作崗位打下良好的基礎(chǔ).與小學(xué)數(shù)學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容如整除、同余等必須詳細(xì)講解，對(duì)其中的定義、定理產(chǎn)生的背景及基本思想、解決問題的典型方法和技巧都要多講多練，使學(xué)生深入了解定義產(chǎn)生的客觀需要、定理論證的整個(gè)過程，從而對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)做到融會(huì)貫通;而與小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)系不密切的內(nèi)容可略講或讓學(xué)生閱讀，尤其是復(fù)雜的理論證明如關(guān)于簡化剩余系的證明，就不必要求太高，否則會(huì)使學(xué)生望而生畏。如講了被2,3,5,7,9,11,13,19等數(shù)整除的特征，但沒有講被6,13, 17等數(shù)整除的特征，可補(bǔ)充相應(yīng)的例題和練習(xí)題，或者讓學(xué)生閱讀相關(guān)的書籍。
再例如求約數(shù)與約數(shù)的個(gè)數(shù)也是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，顯然除了在小學(xué)是用乘法和數(shù)的方法之外，還應(yīng)讓學(xué)生掌握從此數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式來求的方法。
3. 3讓學(xué)生收集、改編和自編例題和練習(xí)題
小學(xué)數(shù)學(xué)隨著時(shí)代的發(fā)展也出現(xiàn)了一些與時(shí)俱進(jìn)的內(nèi)容，而由于時(shí)間和篇幅的限制，初等數(shù)論教材上的例題和練習(xí)題不僅數(shù)量有限，而且有一定的滯后性，因此可以鼓勵(lì)學(xué)生通過各種渠道收集各種例題和練習(xí)題.例如可以從中小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中收集與初等數(shù)論相關(guān)的題目，也可以從互聯(lián)網(wǎng)上去收集一些趣味性強(qiáng)且時(shí)代性強(qiáng)又與初等數(shù)論密切相關(guān)的目，當(dāng)然也可以從初等數(shù)論的其他教材和習(xí)題集及相關(guān)書籍中收集，例如就有許多趣味性強(qiáng)的題目;也可以將一些題目進(jìn)行改編;當(dāng)然也可以根據(jù)所學(xué)的知識(shí)自編題目。收集、改編和自編例題和練習(xí)題不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能使學(xué)生在收集、改編和自編的過程中加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解從而提高對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力。
生活中有許多類似童謠的趣味性強(qiáng)且與初等數(shù)論有關(guān)的題目，例如：三十六頭羊，分成九行，只許成單，不許成雙，怎樣安排?再例如身份證的使用在現(xiàn)代社會(huì)越來越頻繁，第二代18位身份證的最后一位是檢驗(yàn)碼，很多人不知道，其實(shí)它和整除的帶余除法有關(guān)一百盞燈分別標(biāo)上號(hào)碼1,2,3…100，開始它們都是滅的，第一個(gè)人把每盞燈的拉線開關(guān)各拉一下，使得每盞燈都亮了，第二個(gè)人把標(biāo)號(hào)為2的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉一下，第三個(gè)人把標(biāo)號(hào)為3的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉一下，以此類推，直至當(dāng)?shù)谝话賯�(gè)人把標(biāo)號(hào)為100的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉一下.問最后有哪幾盞燈亮著?這個(gè)題目很有趣味，也可將它改編為：一百盞燈分別標(biāo)上號(hào)碼1,2,3 , …,100，開始它們都是滅的，第一個(gè)人把標(biāo)號(hào)為1的約數(shù)的燈的拉線開關(guān)拉一下，第二個(gè)人把標(biāo)號(hào)為2的約數(shù)的燈的拉線開關(guān)拉一下，第三個(gè)人把標(biāo)號(hào)為3的約數(shù)的燈的拉線開關(guān)拉一下，以此類推，直至當(dāng)?shù)谝话賯�(gè)人把標(biāo)號(hào)為100的約數(shù)的燈的開關(guān)拉一下.問最后有哪幾盞燈亮著?而在學(xué)了最小公倍數(shù)后就可讓學(xué)生自編如被2,3,6,8,9整除的最小的四位數(shù)是多少?
3. 4在例題和練習(xí)題中提倡一題多解
隨著高校教學(xué)改革的發(fā)展，初等數(shù)論的課時(shí)越來越少，以懷化學(xué)院為例：2001級(jí)初等教育專業(yè)(當(dāng)時(shí)教育部還沒有開設(shè)小學(xué)教育專業(yè))周課時(shí)3節(jié)，每學(xué)期18周，開課二個(gè)學(xué)期共108節(jié)課，2005級(jí)小學(xué)教育專業(yè)周課時(shí)4節(jié)，每學(xué)期17周，開課一個(gè)學(xué)期共68節(jié)課，2013級(jí)小學(xué)教育專業(yè)周課時(shí)3節(jié)，每學(xué)期16周，開課一學(xué)期共48節(jié)課.課時(shí)少就必須高效利用例題，而一題多解可讓學(xué)生從不同角度思考問題，不僅可得出不同的解法，也有效地訓(xùn)練了學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，尤其是一題多解中的每一種解法都有代表性的例題必須精講。
4結(jié)語
初等數(shù)論教材的改革是教學(xué)改革的一個(gè)重要方面，一本優(yōu)秀的教材如第一版序中所說:“作為一個(gè)好的校本，我認(rèn)為要具有三個(gè)條件.第一是教材要選擇得恰當(dāng)，安排得自然.第二是說理要嚴(yán)格而清楚，深入而淺出，也就是邏輯性與直觀性都要強(qiáng).第三是要引人入勝，使人有‘欲窮千里目，更上一層樓’之感，換句話說，問題的來源與發(fā)展都要交代清楚，使讀者能從少許見多許，增加他們目前學(xué)習(xí)與今后鉆研的興趣.”其中第一點(diǎn)就是教材的內(nèi)容要選擇恰當(dāng)，不同專業(yè)的學(xué)生選擇的教材內(nèi)容應(yīng)符合相應(yīng)的專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，而本文只僅僅提出了一些關(guān)于選擇例題和練習(xí)題的看法，其實(shí)小學(xué)教育專業(yè)初等數(shù)論教材還可以在內(nèi)容上進(jìn)行改革，例如增加數(shù)學(xué)史知識(shí)和一些中小學(xué)數(shù)學(xué)競賽知識(shí)有關(guān)的內(nèi)容，而且教材改革還必須有相應(yīng)的教學(xué)改革，才能達(dá)到良好的效果。
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