離散數學論文

　　摘要：起初，集合論主要是對分析數學中的“數集”或幾何學中的“點集”進行研究。但是隨著科學的發展，集合論的概念已經深入到現代各個方面，成為表達各種嚴謹科學概念必不可少的數學語言。隨著計算機時代的到來，集合的元素已由傳統的“數集”和“點集”拓展成包含文字、符號、圖形、圖表和聲音等多媒體信息，構成了各種數據類型的集合。

　　關鍵詞：集合論、計算機、應用

　　1、集合論的歷史。

　　集合論是一門研究數學基礎的學科。集合論是現代數學的基礎，是數學不可或缺的基本描述工具。可以這樣講，現代數學與離散數學的“大廈”是建立在集合論的基礎之上的。21世紀數學中最為深刻的活動，就是關于數學基礎的探討。這不僅涉及到數學的本性，也涉及到演繹數學的正確性。數學中若干悖論的發現，引發了數學史上的第三次危機，而這種悖論在集合論中尤為突出。

　　集合論是德國著名數學家康托爾(G.Cantor)于19世紀末創立的。

　　十七世紀數學中出現了一門新的分支：微積分。在之后的一二百年中這一嶄新學科獲得了飛速發展并結出了豐碩成果。其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎。十九世紀初，許多迫切問題得到解決后，出現了一場重建數學基礎的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端。

　　經歷二十余年后，集合論最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數學家們的贊同。數學家們樂觀地認為從算術公理系統出發，只要借助集合論的概念，便可以建造起整個數學的大廈。在1900年第二次國際數學大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣布“??數學已被算術化了。我們可以說，現在數學已經達到了絕對的嚴格。”然而這種自得的情緒并沒能持續多久。

　　這一僅涉及集合與屬于兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地。號稱“天衣無縫”、“絕對嚴密”的數學陷入了自相矛盾之中。從此整個數學的基礎被動搖了，由此引發了數學史上的第三次數學危機。

　　危機產生后，眾多數學家投入到解決危機的工作中去。1908年，德國數學家策梅羅(E.Zermelo)提出公理化集合論，試圖把集合論公理化的方法來消除悖論。他認為悖論的出現是由于康托爾沒有把集合的概念加以限制，康托爾對集合的定義是含混的．策梅羅希望簡潔的公理能使集合的定義及其具有的性質更為顯然。策梅羅的公理化集合論后來演變成ZF或ZFS公理系統。從此原本直觀的集合概念被建立在嚴格的.公理基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。與此相對應，在1908年以前由康托爾創立的集合論被稱為樸素集合論。

　　2、集合論在計算科學中的應用。

　　集合論在計算機科學中的應用集合論包括集合、關系和函數3部分。1)集合集合不僅可以表示數,而且可以像數一樣進行運算,還

　　可以用于非數值信息的表示和處理,如數據的增加、刪除、排序以及數據間關系的描述,有些很難用傳統的數值計算來處理的問題,卻可以用集合來處理。因此,集合論在程序語言、數據結構、數據庫與知識庫、形式語言和人工智能等領域得到了廣泛應用。2)關系關系也廣泛地應用于計算機科學技術中,例如計算機程序的輸入和輸出關系、數據庫的數據特性關系和計算機語言的字符關系等,是數據結構、情報檢索、數據庫、算法分析、計算機理論等計算機領域中的良好數據工具。另外,關系中劃分等價類的思想也可用于求網絡的最小生成樹等圖的算法中。3)函數函數可以看成是一種特殊的關系,計算機中把輸入、輸出間的關系看成是一種函數。類似地,在開關理論、自動機原理和可計算性理論等領域中,函數都有極其廣泛的應用,其中雙射函數是密碼學中的重要工具。

　　起初，集合論主要是對分析數學中的“數集”或幾何學中的“點集”進行研究。但是隨著科學的發展，集合論的概念已經深入到現代各個方面，成為表達各種嚴謹科學概念必不可少的數學語言。

　　隨著計算機時代的到來，集合的元素已由傳統的“數集”和“點集”拓展成包含文字、符號、圖形、圖表和聲音等多媒體信息，構成了各種數據類型的集合。集合不僅可以用來表示數及其運算，更可以用來表示和處理非數值信息。數據的增加、刪除、修改、排序以及數據間關系的描述等這些很難用傳統的數值計算操作，可以很方便地用集合運算來處理。從而集合論在編譯原理、開關理論、信息檢索、形式語言、數據庫和知識庫、CAD、CAM、CAI及AI等各個領域得到了

　　廣泛的應用，而且還得到了發展，如扎德(Zadeh)的模糊集理論和保拉克(Pawlak)的粗糙集理論等等。集合論的方法已經成為計算科學工作者不可缺少的數學基礎知識。

　　參考文獻：〔1〕屈婉玲，耿素云，等。離散數學[M]。北京：高等教育出版社，2008。

　　〔2〕KennethH。Rosen。離散數學及其應用[M]。北京：機械工業出版社，2006。

　　〔3〕陳敏，李澤軍。離散數學在計算機學科中的應用[J]。電腦知識與技術，2009。

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