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導數的概念教學設計（精選10篇）
作為一位杰出的老師，往往需要進行教學設計編寫工作，教學設計是連接基礎理論與實踐的橋梁，對于教學理論與實踐的緊密結合具有溝通作用。寫教學設計需要注意哪些格式呢？下面是小編幫大家整理的導數的概念教學設計，歡迎閱讀與收藏。
導數的概念教學設計 1
一、教材分析
導數的概念是高中新教材人教A版選修2-2第一章1.1.2的內容，是在學生學習了物理的平均速度和瞬時速度的背景下，以及前節課所學的平均變化率基礎上，闡述了平均變化率和瞬時變化率的關系，從實例出發得到導數的概念，為以后更好地研究導數的幾何意義和導數的應用奠定基礎。
新教材在這個問題的處理上有很大變化，它與舊教材的區別是從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數。
問題1氣球平均膨脹率--→瞬時膨脹率
問題2高臺跳水的平均速度--→瞬時速度
根據上述教材結構與內容分析，立足學生的認知水平，制定如下教學目標和重、難點
二、教學目標
1、知識與技能：
通過大量的實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數。
2、過程與方法：
①通過動手計算培養學生觀察、分析、比較和歸納能力
②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數學思想方法
3、情感、態度與價值觀：
通過運動的觀點體會導數的內涵，使學生掌握導數的概念不再困難，從而激發學生學習數學的興趣.
三、重點、難點
重點：導數概念的形成，導數內涵的理解
難點：在平均變化率的基礎上去探求瞬時變化率，深刻理解導數的內涵
通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點
四、教學設想(具體如下表)
教學環節教學內容師生互動設計思路
創設情景
引入新課
幻燈片
回顧上節課留下的思考題：
在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考下面的問題：
(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎
(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎
首先回顧上節課留下的思考題：
在學生相互討論，交流結果的基礎上，提出：大家得到運動員在這段時間內的平均速度為“0”，但我們知道運動員在這段時間內并沒有“靜止”。為什么會產生這樣的情況呢
引起學生的好奇，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內的運動狀態，為了能更精確地刻畫物體運動，我們有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度。
使學生帶著問題走進課堂，激發學生求知欲
初步探索、展示內涵
根據學生的認知水平，概念的形成分了兩個層次：
結合跳水問題，明確瞬時速度的定義
問題一：請大家思考如何求運動員的瞬時速度，如t=2時刻的瞬時速度
提出問題一，組織學生討論，引導他們自然地想到選取一個具體時刻如t=2，研究它平均速度變化情況來尋找到問題的思路，使抽象問題具體化
理解導數的內涵是本節課的教學重難點，通過層層設疑，把學生推向問題的中心，讓學生動手操作，直觀感受來突出重點、突破難點
問題二：請大家繼續思考，當Δt取不同值時，嘗試計算的值
Δt
Δt
-0.10.1
-0.010.01
-0.0010.001
-0.00010.0001
-0.000010.00001
……….….…….…
學生對概念的認知需要借助大量的直觀數據，所以我讓學生利用計算器，分組完成問題二，
幫助學生體會從平均速度出發，“以已知探求未知”的數學思想方法，培養學生的動手操作能力
問題三：當Δt趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢
Δt
Δt
-0.1-12.610.1-13.59
-0.01-13.0510.01-13.149
-0.001-13.09510.001-13.1049
-0.0001-130099510.0001-13.10049
-0.00001-13.0999510.00001-13.100049
……
一方面分組討論，上臺板演，展示計算結果，同時口答：在t=2時刻，Δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值-13.1，即瞬時速度，第一次體會逼近思想;另一方面借助動畫多渠道地引導學生觀察、分析、比較、歸納，第二次體會逼近思想，為了表述方便，數學中用簡潔的符號來表示，即數形結合，掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重難點，體驗數學的簡約美
問題四：運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢
引導學生繼續思考:運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示學生意識到將代替2，可類比得到
與舊教材相比，這里不提及極限概念，而是通過形象生動的逼近思想來定義時刻的瞬時速度，更符合學生的認知規律，提高了他們的思維能力，體現了特殊到一般的思維方法
借助其它實例，抽象導數的概念
問題五：氣球在體積時的瞬時膨脹率如何表示呢
類比之前學習的瞬時速度問題，引導學生得到瞬時膨脹率的表示
積極的師生互動能幫助學生看到知識點之間的聯系，有助于知識的重組和遷移，尋找不同實際背景下的數學共性，即對于不同實際問題，瞬時變化率富于不同的實際意義
問題六：如果將這兩個變化率問題中的函數用來表示，那么函數在處的瞬時變化率如何呢
在前面兩個問題的鋪墊下，進一步提出，我們這里研究的函數在處的瞬時變化率即在處的導數，記作
(也可記為)
引導學生舍棄具體問題的實際意義，抽象得到導數定義，由淺入深、由易到難、由特殊到一般，幫助學生完成了思維的飛躍;同時提及導數產生的時代背景，讓學生感受數學文化的熏陶，感受數學來源于生活，又服務于生活。
循序漸進、延伸
拓展例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第xh時候，原油溫度(單位：)為
(1)計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。
(2)計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。
步驟：
①啟發學生根據導數定義，再分別求出和
②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5，大家能說明它的含義嗎
③大家是否能用同樣方法來解決問題二
④師生共同歸納得到，導數即瞬時變化率，可反映物體變化的快慢
步步設問，引導學生深入探究導數內涵
發展學生的應用意識，是高中數學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以具體問題為載體，加深學生對導數內涵的.理解，體驗數學在實際生活中的應用
變式練習：已知一個物體運動的位移(m)與時間t(s)滿足關系s(t)=-2t2+5t(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時速度
(2)求物體在t時刻的瞬時速度
(3)求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動
學生獨立完成，上臺板演，第三次體會逼近思想
目的是讓學生學會用數學的眼光去看待物理模型，建立各學科之間的聯系，更深刻地把握事物變化的規律
歸納總結
內化知識
1、瞬時速度的概念
2、導數的概念
3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般
引導學生進行討論，相互補充后進行回答，老師評析，并用幻燈片給出
讓學生自己小結，不僅僅總結知識更重要地是總結數學思想方法。這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程，這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養成良好的學習習慣
作業安排、板書設計(必做)第10頁習題A組第2、3、4題
(選做)：思考第11頁習題B組第1題作業是學生信息的反饋，能在作業中發現和彌補教學中的不足，同時注重個體差異，因材施教
附后板書設計清楚整潔，便于突出知識目標
五、學法與教法
學法與教學用具
學法：
(1)合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討問題。(如問題2的處理)
(2)自主學習：引導學生通過親身經歷，動口、動腦、動手參與數學活動。(如問題3的處理)
(3)探究學習：引導學生發揮主觀能動性，主動探索新知。(如例題的處理)
教學用具：電腦、多媒體、計算器
教法：整堂課圍繞“一切為了學生發展”的教學原則，突出：
①動——師生互動、共同探索。
②導——教師指導、循序漸進：
(1)新課引入——提出問題，激發學生的求知欲
(2)理解導數的內涵——數形結合，動手計算，組織學生自主探索，獲得導數的定義
(3)例題處理——始終從問題出發，層層設疑，讓他們在探索中自得知識
(4)變式練習，深化對導數內涵的理解，鞏固新知
六、評價分析
這堂課由平均速度到瞬時速度再到導數，展示了一個完整的數學探究過程。提出問題、計算觀察、發現規律、給出定義，讓學生經歷了知識再發現的過程，促進了個性化學習。
從舊教材上看，導數概念學習的起點是極限，即從數列的極限，到函數的極限，再到導數。這種概念建立方式具有嚴密的邏輯性和系統性，但學生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對導數本質的理解。
新教材不介紹極限的形式化定義及相關知識，而是用直觀形象的逼近方法定義導數。
通過列表計算、直觀地把握函數變化趨勢(蘊涵著極限的描述性定義)，學生容易理解;
這樣定義導數的優點：
1、避免學生認知水平和知識學習間的矛盾;
2、將更多精力放在導數本質的理解上;
3、學生對逼近思想有了豐富的直觀基礎和一定的理解，有利于在大學的初級階段學習嚴格的極限定義。
(附)板書設計
導數的概念教學設計 2
導數是近代數學中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲。《導數的概念》這一節內容，大致分成四個課時，我主要針對第三課時的教學，談談我的理解與設計，敬請各位專家斧正。
一、教材分析
1.1編者意圖《導數的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數的概念”，“導數的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導數的概念；介紹導數的幾何意義，是為了加深對導數的理解。從而充分借助直觀來引出導數的概念；用極限思想抽象出導數；用函數思想拓展、完善導數以及在應用中鞏固、反思導數，教材的顯著特點是從具體經驗出發，向抽象和普遍發展，使探究知識的過程簡單、經濟、有效。
1.2導數概念在教材的地位和作用“導數的概念”是全章核心。不僅在于它自身具有非常嚴謹的結構，更重要的是，導數運算是一種高明的數學思維，用導數的運算去處理函數的性質更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數學中的不少問題；導數的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經濟學等其它學科和生產、生活的各個領域都有廣泛的應用。導數的出現推動了人類事業向前發展。
1.3教材的內容剖析知識主體結構的比較和知識的遷移類比如下表：
表1、知識主體結構比較
通過比較發現：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限。因此以兩個背景作為新知的生長點，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構提供了有效的類比方法。
1.4重、難點剖析
重點：導數的概念的形成過程。
難點：對導數概念的`理解。
為什么這樣確定呢？導數概念的形成分為三個的層次：f（x）在點x0可導→f（x）在開區間（，b）內可導→f（x）在開區間（，b）內的導函數→導數，這三個層次是一個遞進的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導數概念的形成過程是重點；教材中出現了兩個“導數”，“兩個可導”，初學者往往會有這樣的困惑，“導數到底是個什么東西？一個函數是不是有兩種導數呢？”，“導函數與導數是怎么統一的？”。事實上：
（1）f（x）在點x0處的導數是這一點x0到x0+△x的變化率的極限，是一個常數，區別于導函數。
（2）f（x）的導數是對開區間內任意點x而言，是x到x+△x的變化率的極限，是f（x）在任意點的變化率，其中滲透了函數思想。
（3）導函數就是導數！是特殊的函數：先定義f（x）在x0處可導、再定義f（x）在開區間（，b）內可導、最后定義f（x）在開區間的導函數。
（4）y=f（x）在x0處的導數就是導函數在x=x0處的函數值，表示為這也是求f′（x0）的一種方法。初學者最難理解導數的概念，是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關鍵詞的區別和聯系，會出現較大的分歧和差別，要突破難點，關鍵是找到“f（x）在點x0可導”、“f（x）在開區間的導函數”和“導數”之間的聯系，而要弄清這種聯系的最好方法就是類比！用“速度與導數”進行類比。
二、目的分析
2.1學生的認知特點。在知識方面，對函數的極限已經熟悉，加上兩個具體背景的學習，新知教學有很好的基礎；在技能方面，高三學生，有很強的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態度。
2.2教學目標的擬定。鑒于這些特點，并結合教學大綱的要求以及對教材的分析，擬定如下的教學目標：
知識目標：
①理解導數的概念。
②掌握用定義求導數的方法。
③領悟函數思想和無限逼近的極限思想。
能力目標：
①培養學生歸納、抽象和概括的能力。
②培養學生的數學符號表示和數學語言表達能力。
情感目標：通過導數概念的學習，使學生體驗和認同“有限和無限對立統一”的辯證觀點。接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數學問題的積極態度。
三、過程分析
設計理念：遵循特殊到一般的認知規律，結合可接受性和可操作性原則，把教學目標的落實融入到教學過程之中，通過演繹導數的形成，發展和應用過程，幫助學生主動建構概念。
導數的概念教學設計 3
一、目標
知識與技能：了解可導函數的單調性與其導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間。
過程與方法：多讓學生舉命題的例子，培養他們的辨析能力；以及培養他們的分析問題和解決問題的能力；
情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。
二、重點難點
教學重點：利用導數研究函數的單調性，會求不超過4次的多項式函數的單調區間
教學難點：利用導數研究函數的單調性，會求不超過4次的多項式函數的單調區間
三、教學過程：
函數的贈與減、增減的快與慢以及函數的最大值或最小值等性質是非常重要的。通過研究函數的這些性質，我們可以對數量的變化規律有一個基本的了解。我們以導數為工具，對研究函數的增減及極值和最值帶來很大方便。
四、學情分析
我們的學生屬于平行分班，沒有實驗班，學生已有的知識和實驗水平有差距。需要教師指導并借助動畫給予直觀的認識。
五、教學方法
發現式、啟發式
新授課教學基本環節：預習檢查、總結疑惑→情境導入、展示目標→合作探究、精講點撥→反思總結、當堂檢測→發導學案、布置預習
六、課前準備
1.學生的學習準備：
2.教師的教學準備：多媒體課件制作，課前預習學案，課內探究學案，課后延伸拓展學案。
七、課時安排：
1課時
八、教學過程
(一)預習檢查、總結疑惑
檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。
提問
1.判斷函數的單調性有哪些方法？
（引導學生回答“定義法”，“圖象法”。）
2.比如，要判斷y=x2的單調性，如
何進行？（引導學生回顧分別用定義法、圖象法完成。）
3.還有沒有其它方法？如果遇到函數：
y=x3－3x判斷單調性呢？（讓學生短時
間內嘗試完成，結果發現：用“定義法”，
作差后判斷差的符號麻煩；用“圖象法”,圖象很難畫出來。）
4.有沒有捷徑？（學生疑惑,由此引出課題）這就要用到咱們今天要學的導數法。
以問題形式復習相關的舊知識，同時引出新問題：三次函數判斷單調性，定義法、圖象法很不方便，有沒有捷徑？通過創設問題情境，使學生產生強烈的問題意識，積極主動地參與到學習中來。
（二）情景導入、展示目標。
設計意圖：步步導入，吸引學生的注意力，明確學習目標。
（探索函數的單調性和導數的關系）問：函數的單調性和導數有何關系呢？
教師仍以y=x2為例，借助幾何畫板動態演示，讓學生記錄結果在課前發的表格第二行中：
函數及圖象單調性切線斜率k的正負導數的正負
問：有何發現？（學生回答）
問：這個結果是否具有一般性呢？
（三）合作探究、精講點撥。
我們來考察兩個一般性的例子：
（教師指導學生動手實驗：把準備的牙簽放在表中曲線y=f(x)的圖象上，作為曲線的切線，移動切線并記錄結果在上表第三、四行中。）
問：能否得出什么規律？
讓學生歸納總結，教師簡單板書：
在某個區間(a，b)內，
若f(x)>0，則f(x)在(a，b)上是增函數；
若f(x)<0，則在f(x)(a，b)上是減函數。
教師說明：
要正確理解“某個區間”的含義，它必需是定義域內的某個區間。
1.這一部分是后面利用導數求函數單調區間的理論依據，重要性不言而喻，而學生又只學習了導數的意義和一些基本運算，要想得到嚴格的證明是不現實的，因此，只要求學生能借助幾何直觀得出結論，這與新課標中的要求是相吻合的。
2.教師對具體例子進行動態演示，學生對一般情況進行實驗驗證。由觀察、猜想到歸納、總結，讓學生體驗知識的發現、發生過程，變灌注知識為學生主動獲取知識，從而使之成為課堂教學活動的主體。
3.得出結論后，教師強調正確理解“某個區間”的含義，它必需是定義域內的某個區間。這一點將在例1的變式3具體體現。
4.考慮到本節課堂容量較大，這里沒有提到函數在個別點處導數為零不影響單調性的情況（如y=x3在x=0處），這一問題將在后續課程中給學生補充。
應用導數求函數的單調區間
例1.求函數y=x2－3x的單調區間。
（引導學生得出解題思路：求導→
令f(x)>0，得函數單調遞增區間，令f(x)<0，得函數單調遞減區間→下結論）
變式1：求函數y=3x3－3x2的單調區間。
（競賽活動：將全班同學分成兩大組指定分別用單調性的定義，和用求導數的方法解答，每組各推薦一位同學的答案進行投影。）
求單調區間是導數的一個重要應用，也是本節重點，為此，設計了例1及三個變式：
設計例1可引導學生得出用導數法求單調區間的解題步驟
設計變式1及競賽活動可以激發學生的學習熱情，讓他們學會比較,并深刻體驗導數法的優越性。
鞏固提高
變式2：求函數y=3ex－3x單調區間。
（學生上黑板解答）
變式3：求函數的單調區間。
設計變式2且讓學生上黑板解答可以規范解題格式，同時使學生了解用導數法可以求更復雜的函數的`單調區間。
設計變式3是可使學生體會考慮定義域的必要性
例1及三個變式，依次涉及二次，三次函數，含指數的函數、反比例函數，這樣一題多變，逐步深化，從而讓學生領會：如何應用及哪類單調性問題該應用“導數法”解決。
多媒體展示探究思考題。
在學生分組實驗的過程中教師巡回觀察指導。(課堂實錄)，
（四）反思總結，當堂檢測。
教師組織學生反思總結本節課的主要內容，并進行當堂檢測。
設計意圖：引導學生構建知識網絡并對所學內容進行簡單的反饋糾正。（課堂實錄）
（五）發導學案、布置預習。
設計意圖：布置下節課的預習作業，并對本節課鞏固提高。教師課后及時批閱本節的延伸拓展訓練。
九、板書設計
例1.求函數y=3x2－3x的單調區間。
變式1：求函數y=3x3－3x2的單調區間。
變式2：求函數y=3ex－3x單調區間。
變式3：求函數的單調區間。
十、教學反思
本課的設計采用了課前下發預習學案，學生預習本節內容，找出自己迷惑的地方。課堂上師生主要解決重點、難點、疑點、考點、探究點以及學生學習過程中易忘、易混點等，最后進行當堂檢測，課后進行延伸拓展，以達到提高課堂效率的目的。
在后面的教學過程中會繼續研究本節課，爭取設計的更科學，更有利于學生的學習，也希望大家提出寶貴意見，共同完善，共同進步!
導數的概念教學設計 4
教學內容：
人教版9冊三角形面積公式推導部分
教學目的：
1、通過讓學生主動探索三角形面積計算公式，經歷三角形面積公式的探索過程，進一步感受轉化的數學思想和方法。
2、使學生理解三角形面積計算公式，能正確地計算三角形的面積。
3、通過操作、觀察、比較，培養學生問題意識、概括能力和推理能力，發展學生的空間觀念。
教學過程：
一、閱讀質疑。
先請同學們自己閱讀以下材料，然后以小組為單位交流一下你們都學會了哪些知識，可以提出什么問題，并把問題隨手記錄下來。
1厘米
學生閱讀后首先回顧了平行四邊形、長方形地面積公式及推導過程。然后學生提出了質疑，主要問題有：
（1）數方格怎么求三角形的面積？
（2）不數方格怎么求三角形的面積？有沒有一個通用公式？
（3）能把三角形也轉化成我們學過的圖形求面積嗎？
（4）轉化成的這些圖形跟三角形有什么關系嗎？
（析：孔子曾說：“疑是思之始，學之端”。這里老師打破了學生等待老師提問的常規，要求學生把閱讀材料作為學習主題，通過閱讀提出問題，真正體現了“以生為本”。）
二、點撥激思
1.數方格的問題
學生根據學習材料可以解答用數方格的方法求三角形的面積。
老師接著問：有一個很大的三角形池塘，你來用數方格求它的面積。
學生小聲笑了起來。為什么笑？老師問到。學生說數方格太麻煩了，池塘也不好劃分方格。
嗯，看來數方格求面積是有一定局限性的，今天我們就來研究三角形的面積。
（析：一石激起千層浪，學生由數方格方法的局限性這一認識的困惑與沖突，有效地引發了學生探究面積計算公式的生長點，使學生有了探究發現的空間。）
2.轉化的問題
你想把三角形轉化成什么圖形？學生會轉化成平行四邊形、長方形、正方形。梯形行嗎？這時學生會有兩種答案，有的說行，有的說不行，為什么不行？老師追問，學生在討論中達成共識:必須轉化成學過的，可以計算面積的圖形。
師：三角形怎樣才能轉化成這些圖形？請同學們利用手中學具，通過拼一拼，折一折，剪一剪，利用轉化成這些圖形來解決下面的幾個問題。
（析：這里把“新”問題轉化成了“老”問題來解決，有效地把學法指導融入到了教學中，給學生創造了更廣闊、更真實的自主空間，無疑有利于學生可持續性發展。）
三、探索解疑
學生操作，討論，匯報。
1.轉化的圖形
學生的答案有很多種，把兩個完全一樣的三角形轉化成了平行四邊形、長方形和正方形，還有把一個三角形沿高剪下拼成了正方形、長方形，還有把一個三角形沿中位線對折，兩邊也折轉化成了2層的長方形。
2.解決轉化前后圖形間的關系
（1）大小的關系
通過比較學生們發現，兩個完全一樣的三角形拼成的圖形跟三角形關系是S=S÷2。一個三角形轉化成的圖形跟三角形關系是S=S
（2）底和高的關系
拼割前后各部分有什么關系？（指底和高）能推導出三角形的面積公式嗎？
生1：兩個完全一樣的銳角三角形轉化成了平行四邊形，三角形的高就是平行四邊形的高，三角形的底就是平行四邊形的底。因為平行四邊形的面積是底×高，它是由兩個三角形拼成的，所以三角形的面積是底×高÷2
師：思路真清晰，為什么÷2，誰還想說。
（學生依次講拼成的長方形，正方形這兩種情況）
（3）公式推導
師；同學們真了不起，想出了這么多好方法推出了三角形的面積公式，那誰能給大家說說三角形的面積等于什么？
生：底×高÷2
師：如果我用S表示三角形的面積，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那三角形的面積公式該怎么表示呢？
生：S=a×h÷2
（4）推導拓展
師：我們再來看第二組，你能通過一個三角形的轉化來推導它的`面積公式嗎？
學生1：我是把一個等腰三角形對折，然后從中間剪開拼成了一個長方形，這個長方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因為長方形的面積是長×寬，長方形的面積等于三角形的面積，所以三角形的面積是底×高÷2。
學生2：我是把一個直角三角形的上面對折下來，然后剪開，把它補在一邊，拼成了一個長方形。這個長方形的長是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面積是底×高÷2。
生3：我是把一個三角形沿著兩邊的重點對折，然后又把底邊的重點這樣對折，折成了一個長方形，這個長方形的底是三角形底的一半，寬是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面積是底×高÷2
師：這個方法怎樣，誰來評價一下。學生評價，太棒了。
生4：我還有一種辦法。把一個長方形沿對角線折疊，因為長方形的面積是長×寬，長方形是兩個三角形拼成的，所以，三角形的面積是底×高÷2
（析：把探究的權利充分的交給學生，學生自由組合，利用已有的知識經驗，通過折、移、拼、剪，得到了不同的圖形，雖然是不同的角度、不同的手段、不同的方法，但達到了同一目的，得到了正確的三角形面積計算公式，更重要的是探究過程中學生的思維空間得到了拓展，思維個性得到了發揮。）
歸納小結
出示學習材料2，學生閱讀后談感想。體會祖國的古代科學家得了不起，2000多年前就推導出了這個公式。今天同學們通過自己的研究也推導出了三角形的面積計算公式，說明同學們也很聰明，相信將來你們還會有更多更大的發現，到那時你們的名字也將載如史冊，大家有信心嗎？
師：好，今天這節課我們研究了三角形的面積，你們學到了哪些知識，有什么收獲？回去繼續反思整理，寫出你們的反思報告。
（析：課堂總結不僅要關注學生學會了什么，更要關注用什么方法學，學后有什么感想，要有意識的促進學生反思：我還有什么疑問？打算怎么辦？，把課后反思納入到學習的系統連續的過程中。）
總析：本節課有以下兩個特點
1.充分體現了“問題意識的培養”。
老師用了一種新的教學流程進行教學。即以“提出問題”，“研究問題”，“解決問題”為主線。當一個問題得到解決后，新的問題接著出現，學生始終處于“憤”和“悱”及對問題的探究中，有效地調動學生的學習的興奮點，學生的問題意識得到發展。
2.重視研究問題的過程。
這節課以思維訓練代替了重復練習，以發展學生的創造思維為重點，引導學生用多種方法進行轉化，然后通過觀察、操作、比較、歸納、抽象概括推導出公式，沒有通過太多的練習卻獲得了超常規的解題能力。這個過程是學生自主探究的過程，這個過程是學生綜合能力培養和提高的過程。
導數的概念教學設計 5
一、考試要求：
（1）導數概念及其幾何意義
①了解導數概念的實際背景
②理解導數的幾何意義。
（2）導數的運算
①能根據導數定義，求函數的導數。
②能利用下面給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數（僅限于形如的復合函數）的導數。
二、知識梳理：
1、如果當時，有極限，就說函數在點處可導，并把這個極限叫做在點處的導數（或變化率）。記作或，即。的幾何意義是曲線在點處的切線；瞬時速度就是位移函數對時間的'導數。
2、幾種常見函數的導數
（1）(其中為常數)；（2）()；（3）；
（4）（5）（6）；
3、可導函數的四則運算的求導法則
（1）；（2）；（3）（）；
（4）的導數（其中）；
三、基礎檢測：
1、設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）
2、已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（）
A。1B。2C。3D。4
3、設函數是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線在處的切線的斜率為（）A。B。0C。D。5
4、已知對任意實數，有，且時，則時（）A。B。
C。D。
5、若，則下列命題正確的是（）
Ａ。Ｂ。Ｃ。Ｄ。
6、點是曲線上任意一點，則到直線的距離的最小值是；
7、若函數的圖像與直線只有一個公共點，則實數的取值范圍是
8、若點在曲線上移動，則過點的切線的傾斜角取值范圍是
9、設函數（1）證明：的導數；
（2）若對所有都有，求的取值范圍。
10、已知在區間[0,1]上是增函數,在區間上是減函數,又(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在區間(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范圍.
導數的概念教學設計 6
一、教學目標：
了解可導函數的單調性與其導數的關系.掌握利用導數判斷函數單調性的方法.
二、教學重點：
利用導數判斷一個函數在其定義區間內的單調性.
教學難點：判斷復合函數的單調區間及應用；利用導數的符號判斷函數的單調性.
三、教學過程
（一）復習引入
1、增函數、減函數的定義
一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是增函數。當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數。
2、函數的單調性
如果函數y＝f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做y＝f(x)的`單調區間。
在單調區間上增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。
例1討論函數y＝x2－4x＋3的單調性。
解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值
f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3)作差
＝(x1－x2)(x1＋x2－4)變形
當x1＜x2＜2時，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定號
∴y＝f(x)在(－∞,2)單調遞減。判斷
當2＜x1＜x2時，x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，
∴y＝f(x)在(2,＋∞)單調遞增。綜上所述y＝f(x)在(－∞,2)單調遞減，y＝f(x)在(2,＋∞)單調遞增。
能否利用導數的符號來判斷函數單調性？
導數的概念教學設計 7
一、教學目標
知識與技能：
掌握兩個函數的和、差、積、商的求導法則，熟練運用導數的運算法則求某些簡單函數的導數。
過程與方法：
通過對導數的運算法則的探究過程，加深對求導法則的理解，增強有條理的思考。
情感、態度與價值觀：
在探究過程中，提高學習興趣，激發求知欲。
二、教學重難點
教學重點：
函數的`和、差、積、商的求導法則。
教學難點：
對積和商求導法則的理解和運用。
三、教學過程
（一）導入新課
復習基本求導公式，并回顧導數的定義。
提問：如何求解兩個函數的和、差、積、商的導數，引入課題。
（二）探究新知
探究一：函數的和、差的導數
四、板書設計
導數的概念教學設計 8
教學目標：
1、理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念；
2、理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法；
3、理解切線概念實際背景，培養學生解決實際問題的能力和培養學生轉化
問題的能力及數形結合思想。
教學重點：
理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。
教學難點：
用“無限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點處切線的斜率。
教學過程：
一、問題情境
1、問題情境。
如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？
如果將點P附近的曲線放大，那么就會發現，曲線在點P附近看上去有點像是直線。
如果將點P附近的曲線再放大，那么就會發現，曲線在點P附近看上去幾乎成了直線。事實上，如果繼續放大，那么曲線在點P附近將逼近一條確定的直線，該直線是經過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。
因此，在點P附近我們可以用這條直線來代替曲線，也就是說，點P附近，曲線可以看出直線（即在很小的范圍內以直代曲）。
2、探究活動。
如圖所示，直線l1，l2為經過曲線上一點P的兩條直線，
（1）試判斷哪一條直線在點P附近更加逼近曲線；
（2）在點P附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線的`直線l3嗎？
（3）在點P附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線的直線嗎？
二、建構數學
切線定義：如圖，設Q為曲線C上不同于P的一點，直線PQ稱為曲線的割線。隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近逼近曲線C，當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為經過點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。
思考：如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？
三、數學運用
例1試求在點（2，4）處的切線斜率。
解法一分析：設P（2，4），Q（xQ，f（xQ）），
則割線PQ的斜率為：
當Q沿曲線逼近點P時，割線PQ逼近點P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率；
當Q點橫坐標無限趨近于P點橫坐標時，即xQ無限趨近于2時，kPQ無限趨近于常數4。
從而曲線f（x）＝x2在點（2，4）處的切線斜率為4。
解法二設P（2，4），Q（xQ，xQ2），則割線PQ的斜率為：
當？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數4，從而曲線f（x）＝x2，在點（2，4）處的切線斜率為4。
練習試求在x＝1處的切線斜率。
解：設P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），則割線PQ的斜率為：
當？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數2，從而曲線f（x）＝x2＋1在x＝1處的切線斜率為2。
小結求曲線上一點處的切線斜率的一般步驟：
（1）找到定點P的坐標，設出動點Q的坐標；
（2）求出割線PQ的斜率；
（3）當時，割線逼近切線，那么割線斜率逼近切線斜率。
思考如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？
解設
所以，當無限趨近于0時，無限趨近于點處的切線的斜率。
變式訓練
1。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；
2。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；
3。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。
課堂練習
已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。
四、回顧小結
1、曲線上一點P處的切線是過點P的所有直線中最接近P點附近曲線的直線，則P點處的變化趨勢可以由該點處的切線反映（局部以直代曲）。
2、根據定義，利用割線逼近切線的方法，可以求出曲線在一點處的切線斜率和方程。
五、課外作業
導數的概念教學設計 9
【學習要求】
1.能根據定義求函數y=c，y=x，y=x2，y=1x的導數.
2.能利用給出的基本初等函數的導數公式求簡單函數的導數.
【學法指導】
1.利用導數的定義推導簡單函數的導數公式，類推一般多項式函數的導數公式，體會由特殊到一般的思想.通過定義求導數的過程，培養歸納、探求規律的能力，提高學習興趣.
2.本節公式是下面幾節課的'基礎，記準公式是學好本章內容的關鍵.記公式時，要注意觀察公式之間的聯系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.公式5與公式7中lna的位置的不同等.
1.幾個常用函數的導數
原函數導函數
f(x)=cf′(x)=
f(x)=xf′(x)=
f(x)=x2f′(x)=
f(x)=1x
f′(x)=
f(x)=x
f′(x)=
2.基本初等函數的導數公式
原函數導函數
f(x)=cf′(x)=
f(x)=xα(α∈Q*)f′(x)=
f(x)=sinxf′(x)=
f(x)=cosxf′(x)=
f(x)=axf′(x)=(a>0)
f(x)=exf′(x)=
f(x)=logax
f′(x)=(a>0且a≠1)
f(x)=lnxf′(x)=
探究點一幾個常用函數的導數
問題1怎樣利用定義求函數y=f(x)的導數?
問題2利用定義求下列常用函數的導數：(1)y=c(2)y=x(3)y=x2(4)y=1x(5)y=x
問題3導數的幾何意義是曲線在某點處的切線的斜率.物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度.(1)函數y=f(x)=c(常數)的導數的物理意義是什么?
(2)函數y=f(x)=x的導數的物理意義呢?
問題4畫出函數y=1x的圖象.根據圖象，描述它的變化情況，并求出曲線在點(1,1)處的切線方程.
探究點二基本初等函數的導數公式
問題1利用導數的定義可以求函數的導函數，但運算比較繁雜，有些函數式子在中學階段無法變形，怎樣解決這個問題?
問題2你能發現8個基本初等函數的導數公式之間的聯系嗎?
例1求下列函數的導數：(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3;(5)y=log3x.
跟蹤1求下列函數的導數：(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=
例2判斷下列計算是否正確.
求y=cosx在x=π3處的導數，過程如下：y′|=′=-sinπ3=-32.
跟蹤2求函數f(x)=13x在x=1處的導數.
探究點三導數公式的綜合應用
例3已知直線x-2y-4=0與拋物線y2=x相交于A、B兩點，O是坐標原點，試在拋物線的弧上求一點P，使△ABP的面積最大.
跟蹤3點P是曲線y=ex上任意一點，求點P到直線y=x的最小距離.
【達標檢測】
1.給出下列結論：①若y=1x3，則y′=-3x4;②若y=3x，則y′=133x;
③若y=1x2，則y′=-2x-3;④若f(x)=3x，則f′(1)=3.其中正確的個數是()
A.1B.2C.3D.4
2.函數f(x)=x，則f′(3)等于()
A.36B.0C.12xD.32
3.設正弦曲線y=sinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()
A.[0，π4]∪[3π4，π)B.[0，π)C.[π4，3π4]D.[0，π4]∪[π2，3π4]
4.曲線y=ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為________.
導數的概念教學設計 10
教學準備
1.教學目標
(1)理解平均變化率的概念.
(2)了解瞬時速度、瞬時變化率、的概念.
(3)理解導數的概念
(4)會求函數在某點的導數或瞬時變化率.
2.教學重點/難點
教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念及導數概念的形成和理解
教學難點：會求簡單函數y=f(x)在x=x0處的導數
3.教學用具
多媒體、板書
4.標簽
教學過程
一、創設情景、引入課題
【師】十七世紀，在歐洲資本主義發展初期，由于工場的手工業向機器生產過渡，提高了生產力，促進了科學技術的快速發展，其中突出的成就就是數學研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產生。
【板演/PPT】
【師】人們發現在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t(單位：秒)存在函數關系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?
【板演/PPT】
讓學生自由發言，教師不急于下結論，而是繼續引導學生：欲知結論怎樣，讓我們一起來觀察、研探。
【設計意圖】自然進入課題內容。
二、新知探究
[1]變化率問題
【合作探究】
探究1氣球膨脹率
【師】很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?
氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是
如果將半徑r表示為體積V的函數,那么
【板演/PPT】
【活動】
【分析】
當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為(1)當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為
0.62>0.16
可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.
【思考】當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?
解析：
探究2高臺跳水
【師】在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t(單位：秒)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態?
(請計算)
【板演/PPT】
【生】學生舉手回答
【活動】學生覺得問題有價值，具有挑戰性，迫切想知道解決問題的方法。
【師】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10
【設計意圖】兩個問題由易到難，讓學生一步一個臺階。為引入變化率的概念以及加深對變化率概念的理解服務。
探究3計算運動員在
這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:
(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?
(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎?
【板演/PPT】
【生】學生舉手回答
【師】在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態.
【活動】師生共同歸納出結論
平均變化率:
上述兩個問題中的函數關系用y=f(x)表示，那么問題中的變化率可用式子
我們把這個式子稱為函數y=f(x)從x1到x2的平均變化率.
習慣上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)
這里Δx看作是對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2
同樣Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均變化率可以表示為：
【幾何意義】觀察函數f(x)的圖象，平均變化率的幾何意義是什么?
探究2當Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?
從2s到(2+△t)s這段時間內平均速度
當△t趨近于0時,即無論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度都趨近與一個確定的值–13.1.
從物理的角度看,時間間隔|△t|無限變小時,平均速度就無限趨近于t=2時的瞬時速度.因此,運動員在t=2時的瞬時速度是–13.1m/s.
為了表述方便，我們用xx表示“當t=2,△t趨近于0時,平均速度趨近于確定值–13.1”.
【瞬時速度】
我們用
表示“當t=2,Δt趨近于0時,平均速度趨于確定值-13.1”。
局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。那么,運動員在某一時刻的'瞬時速度?
【設計意圖】讓學生體會由平均速度到瞬時速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒時的瞬時速度。
探究3:
(1).運動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示?
(2).函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率怎樣表示?
導數的概念:
一般地，函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是
稱為函數y=f(x)在x=x0處的導數,記作或,
【總結提升】
由導數的定義可知,求函數y=f(x)的導數的一般方法:
[3]例題講解
例題1將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品,需要對原油進行冷卻和加熱.如果第xh時,原油的溫度(單位:)為y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).計算第2h與第6h時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.
解:在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率就是
在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5/h的速率上升.
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