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等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計

時間:2022-05-19 17:09:16 教學(xué)設(shè)計 我要投稿

等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計(精選7篇)

  作為一名辛苦耕耘的教育工作者,總不可避免地需要編寫教學(xué)設(shè)計,借助教學(xué)設(shè)計可以更大幅度地提高學(xué)生各方面的能力,從而使學(xué)生獲得良好的發(fā)展。怎樣寫教學(xué)設(shè)計才更能起到其作用呢?下面是小編精心整理的等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計(精選7篇),僅供參考,歡迎大家閱讀。

等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計(精選7篇)

  等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計1

  [教學(xué)目標(biāo)]

  1.知識與技能目標(biāo):掌握等差數(shù)列的概念;理解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程;了解等差數(shù)列的函數(shù)特征;能用等差數(shù)列的通項公式解決相應(yīng)的一些問題。

  2.過程與方法目標(biāo):讓學(xué)生親身經(jīng)歷“從特殊入手,研究對象的性質(zhì),再逐步擴大到一般”這一研究過程,培養(yǎng)他們觀察、分析、歸納、推理的能力。通過階梯性的強化練習(xí),培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力。

  3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo):通過對等差數(shù)列的研究,培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求索精神;使學(xué)生逐步養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、及時總結(jié)的好習(xí)慣。

  [教學(xué)重難點]

  1.教學(xué)重點:等差數(shù)列的概念的理解,通項公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。

  2.教學(xué)難點:

  (1)對等差數(shù)列中“等差”兩字的把握;

  (2)等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)。

  [教學(xué)過程]

  一.課題引入

  創(chuàng)設(shè)情境引入課題:(這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列,下面我們看這樣一些例子)

  二、新課探究

  (一)等差數(shù)列的定義

  1、等差數(shù)列的定義

  如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d來表示。

  (1)定義中的關(guān)健詞有哪些?

  (2)公差d是哪兩個數(shù)的差?

  (二)等差數(shù)列的通項公式

  探究1:等差數(shù)列的通項公式(求法一)

  如果等差數(shù)列首項是,公差是,那么這個等差數(shù)列如何表示?呢?

  根據(jù)等差數(shù)列的定義可得:

  因此等差數(shù)列的通項公式就是:,

  探究2:等差數(shù)列的通項公式(求法二)

  根據(jù)等差數(shù)列的定義可得:

  將以上-1個式子相加得等差數(shù)列的通項公式就是:,

  三、應(yīng)用與探索

  例1、(1)求等差數(shù)列8,5,2,…,的第20項。

  (2)等差數(shù)列-5,-9,-13,…,的第幾項是–401?

  (2)、分析:要判斷-401是不是數(shù)列的項,關(guān)鍵是求出通項公式,并判斷是否存在正整數(shù)n,使得成立,實質(zhì)上是要求方程的正整數(shù)解。

  例2、在等差數(shù)列中,已知=10,=31,求首項與公差d.

  解:由,得。

  在應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d過程中,對an,a1,n,d這四個變量,知道其中三個量就可以求余下的一個量,這是一種方程的思想。

  鞏固練習(xí)

  1.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6,-3a-5,-10a-1,則a=()。

  2.一張?zhí)葑幼罡咭患墝?3cm,最低一級寬110cm,中間還有10級,各級的寬度成等差數(shù)列。求公差d。

  四、小結(jié)

  1.等差數(shù)列的通項公式:

  公差;

  2.等差數(shù)列的計算問題,通常知道其中三個量就可以利用通項公式an=a1+(n-1)d,求余下的一個量;

  3.判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列只需看是否為常數(shù)即可;

  4.利用從特殊到一般的思維去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)系規(guī)律或解決數(shù)學(xué)問題.

  五、作業(yè):

  1、必做題:課本第40頁習(xí)題2.2第1,3,5題

  2、選做題:如何以最快的速度求:1+2+3+???+100=

  等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計2

  [教學(xué)目標(biāo)]

  1.知識與技能目標(biāo):掌握等差數(shù)列的概念;理解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程;了解等差數(shù)列的函數(shù)特征;能用等差數(shù)列的通項公式解決相應(yīng)的一些問題。

  2.過程與方法目標(biāo):讓學(xué)生親身經(jīng)歷“從特殊入手,研究對象的性質(zhì),再逐步擴大到一般”這一研究過程,培養(yǎng)他們觀察、分析、歸納、推理的能力。通過階梯性的強化練習(xí),培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力。

  3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo):通過對等差數(shù)列的研究,培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求索精神;使學(xué)生逐步養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、及時總結(jié)的好習(xí)慣。

  [教學(xué)重難點]

  1.教學(xué)重點:等差數(shù)列的概念的理解,通項公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。

  2.教學(xué)難點:

  (1)對等差數(shù)列中“等差”兩字的把握;

  (2)等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)。

  [教學(xué)過程]

  一.課題引入

  創(chuàng)設(shè)情境

  引入課題:(這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列,下面我們看這樣一些例子)

  (1)、在過去的三百多年里,人們分別在下列時間里觀測到了哈雷慧星:

  1682,1758,1834,1910,1986,( )

  你能預(yù)測出下次觀測到哈雷慧星的大致時間嗎?判斷的依據(jù)是什么呢?

  (2)、通常情況下,從地面到11km的高空,氣溫隨高度的變化而變化符合一定的規(guī)律,請你根據(jù)下表估計一下珠穆朗瑪峰峰頂?shù)臏囟取?/p>

  (3) 1,4,7,10,( ),16,…

  (4) 2,0,-2,-4,-6,( ),…

  它們共同的規(guī)律是?

  從第二項起,每一項與前一項的差等于同一個常數(shù)。

  我們把有這一特點的數(shù)列叫做等差數(shù)列。

  二、新課探究

  (一)等差數(shù)列的定義

  1、等差數(shù)列的定義

  如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d來表示。

  (1)定義中的關(guān)健詞有哪些?

  (2)公差d是哪兩個數(shù)的差?

  2、等差數(shù)列定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式:

  試一試:它們是等差數(shù)列嗎?

  (1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10…

  (2) 5,5,5,5,5,5,…

  (3) -1,-3,-5,-7,-9,…

  (4) 數(shù)列{an},若an+1-an=3

  3、等差中頂定義

  在如下的兩個數(shù)之間,插入一個什么數(shù)后這三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列:

  (1)、2 ,( ) ,4 (2)、-12,( ) ,0 ( 3 ) a ,( ),b

  如果在a與b中間插入一個數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項。(二)等差數(shù)列的通項公式

  探究1:等差數(shù)列的通項公式(求法一)

  如果等差數(shù)列 首項是 ,公差是 ,那么這個等差數(shù)列 如何表示? 呢?

  根據(jù)等差數(shù)列的定義可得:

  , , ,…。

  所以: ,

  ,

  ,

  ……

  由此得 ,

  因此等差數(shù)列的通項公式就是: ,

  探究2:等差數(shù)列的通項公式(求法二)

  根據(jù)等差數(shù)列的定義可得:

  ……

  將以上 -1個式子相加得等差數(shù)列的通項公式就是: ,

  三、應(yīng)用與探索

  例1、(1) 求等差數(shù)列8,5,2,…,的第20項。

  (2) 等差數(shù)列 -5,-9,-13,…,的第幾項是 –401?

  (2)、分析:要判斷-401是不是數(shù)列的項,關(guān)鍵是求出通項公式,并判斷是否存在正整數(shù)n,使得 成立,實質(zhì)上是要求方程 的正整數(shù)解。

  例2、在等差數(shù)列中,已知 =10, =31,求首項 與公差d.

  解:由 ,得 。

  在應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d過程中,對an,a1,n,d這四個變量,知道其中三個量就可以求余下的一個量,這是一種方程的思想。

  鞏固練習(xí)

  1. 等差數(shù)列{an}的前三項依次為 a-6,-3a-5,-10a-1,則a =( )。

  A. 1 B. -1 C. -2 D. 22.一張?zhí)葑幼罡咭患墝?3cm,最低一級寬110cm,中間還有10級,各級的寬度成等差數(shù)列。求公差d。四、小結(jié)

  1.等差數(shù)列的通項公式:

  公差 ;

  2. 等差數(shù)列的計算問題,通常知道其中三個量就可以利用通項公式an=a1+(n-1)d,求余下的一個量;

  3. 判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列只需看 是否為常數(shù)即可;

  4. 利用從特殊到一般的思維去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)系規(guī)律或解決數(shù)學(xué)問題.

  五、作業(yè):

  1、必做題:課本第40頁 習(xí)題2.2 第1,3,5題

  2、選做題:如何以最快的速度求:1+2+3++100=

  高斯說:“請同學(xué)們預(yù)習(xí)下一節(jié):等差數(shù)列的前N項和。”

  等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計3

  【教學(xué)目標(biāo)】

  一、知識與技能

  1.掌握等差數(shù)列前n項和公式;

  2.體會等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程;

  3.會簡單運用等差數(shù)列前n項和公式。

  二、過程與方法

  1. 通過對等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo),體會倒序相加求和的思想方法;

  2. 通過公式的運用體會方程的思想。

  三、情感態(tài)度與價值觀

  結(jié)合具體模型,將教材知識和實際生活聯(lián)系起來,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實用性,有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,并通過對等差數(shù)列求和歷史的了解,滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。

  【教學(xué)重點】

  等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

  【教學(xué)難點】

  在等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程中體會倒序相加的思想方法。

  【重點、難點解決策略】

  本課在設(shè)計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略。利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想,層層深入,通過學(xué)生自主探究、分析、整理出推導(dǎo)公式的思路,同時,借助多媒體的直觀演示,幫助學(xué)生理解,師生互動、講練結(jié)合,從而突出重點、突破教學(xué)難點。

  【教學(xué)用具】

  多媒體軟件,電腦

  【教學(xué)過程】

  一、明確數(shù)列前n項和的定義,確定本節(jié)課中心任務(wù):

  本節(jié)課我們來學(xué)習(xí)《等差數(shù)列的前n項和》,那么什么叫數(shù)列的前n項和呢,對于數(shù)列{an}:a1,a2,a3,…,an,…我們稱a1+a2+a3+…+an為數(shù)列{an}的前n項和,用sn表示,記sn=a1+a2+a3+…+an,

  如S1 =a1, S7 =a1+a2+a3+……+a7,下面我們來共同探究如何求等差數(shù)列的前n項和。

  二、問題牽引,探究發(fā)現(xiàn)

  問題1:(播放媒體資料情景引入)印度泰姬陵世界七大奇跡之一。傳說陵寢中有一個三角形圖案,以相同大小的圓寶石鑲飾而成,共有100層(見圖),奢靡之程度,可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少圓寶石嗎?

  即: S100=1+2+3+······+100=?

  著名數(shù)學(xué)家高斯小時候就會算,聞名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢?請同學(xué)們思考高斯方法的特點,適合類型和方法本質(zhì)。

  特點: 首項與末項的和: 1+100=101,

  第2項與倒數(shù)第2項的和: 2+99 =101,

  第3項與倒數(shù)第3項的和: 3+98 =101,

  · · · · · ·

  第50項與倒數(shù)第50項的和: 50+51=101,

  于是所求的和是: 101×50=5050。

  1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050

  同學(xué)們討論后總結(jié)發(fā)言:等差數(shù)列項數(shù)為偶數(shù)相加時首尾配對,變不同數(shù)的加法運算為相同數(shù)的乘法運算大大提高效率。高斯的方法很妙,如果等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)時怎么辦呢?

  探索與發(fā)現(xiàn)1:假如讓你計算從第一層到第21層的珠寶數(shù),高斯的首尾配對法行嗎?

  即計算S21=1+2+3+ ······ +21的值,在這個過程中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)時,首尾配對出現(xiàn)了問題,通過動畫演示引導(dǎo)幫助學(xué)生思考解決問題的辦法,為引出倒序相加法做鋪墊。

  把“全等三角形”倒置,與原圖構(gòu)成平行四邊形。平行四邊形中的每行寶石的個數(shù)均為21個,共21行。有什么啟發(fā)?

  1+ 2 + 3 + …… +20 +21

  21 + 20 + 19 + …… + 2 +1

  S21=1+2+3+…+21=(21+1)×21÷2=231

  這個方法也很好,那么項數(shù)為偶數(shù)這個方法還行嗎?

  探索與發(fā)現(xiàn)2:第5層到12層一共有多少顆圓寶石?

  學(xué)生探究的同時通過動畫演示幫助學(xué)生思考剛才的方法是否同樣可行?請同學(xué)們自主探究一下(老師演示動畫幫助學(xué)生)

  S8=5+6+7+8+9+10+11+12=

  【設(shè)計意圖】進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列求和時倒序相加是否可行。從而得出倒序相加法適合任意項數(shù)的等差數(shù)列求和,最終確立倒序相加的思想和方法!

  好,這樣我們就找到了一個好方法——倒序相加法!現(xiàn)在來試一試如何求下面這個等差數(shù)列的前n項和?

  問題2:等差數(shù)列1,2,3,…,n, … 的前n項和怎么求呢?

  解:(根據(jù)前面的學(xué)習(xí),請學(xué)生自主思考獨立完成)

  【設(shè)計意圖】強化倒序相加法的理解和運用,為更一般的等差數(shù)列求和打下基礎(chǔ)。

  至此同學(xué)們已經(jīng)掌握了倒序相加法,相信大家可以推導(dǎo)更一般的等差數(shù)列前n項和公式了。

  問題3:對于一般的等差數(shù)列{an}首項為a1,公差為d,如何推導(dǎo)它的前n項和sn公式呢?

  即求 =a1+a2+a3+……+an=

  ∴(1)+(2)可得:2

  ∴

  公式變形:將代入可得:

  【設(shè)計意圖】學(xué)生在前面的探究基礎(chǔ)上水到渠成順理成章很快就可以推導(dǎo)出一般等差數(shù)列的前n項和公式,從而完成本節(jié)課的中心任務(wù)。在這個過程中放手讓學(xué)生自主推導(dǎo),同時也復(fù)習(xí)等差數(shù)列的通項公式和基本性質(zhì)。

  三、公式的`認(rèn)識與理解:

  1、根據(jù)前面的推導(dǎo)可知等差數(shù)列求和的兩個公式為:

  (公式一)

  (公式二)

  探究: 1、(1)相同點: 都需知道a1與n;

  (2)不同點: 第一個還需知道an ,第二個還需知道d;

  (3)明確若a1,d,n,an中已知三個量就可求Sn。

  2、兩個公式共涉及a1, d, n, an,Sn五個量,“知三”可“求二”。

  2、探索與發(fā)現(xiàn)3:等差數(shù)列前n項和公式與梯形面積公式有什么聯(lián)系?

  用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前 n 項和公式,這里對圖形進(jìn)行了割、補兩種處理,對應(yīng)著等差數(shù)列 n 項和的兩個公式.,請學(xué)生聯(lián)想思考總結(jié)來有助于記憶。

  【設(shè)計意圖】幫助學(xué)生類比聯(lián)想,拓展思維,增加興趣,強化記憶

  四、公式應(yīng)用、講練結(jié)合

  1、練一練:

  有了兩個公式,請同學(xué)們來練一練,看誰做的快做的對!

  根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)的等差數(shù)列{an}的Sn :

  (1)a1=5,an=95,n=10

  解:500

  (2)a1=100,d=-2,n=50

  解:

  【設(shè)計意圖】熟悉并強化公式的理解和應(yīng)用,進(jìn)一步鞏固“知三求二”。

  下面我們來看兩個例題:

  2、例題1:

  2000年11月14日教育部下發(fā)了<<關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的通知>>.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標(biāo):從2001年起用10年時間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng). 據(jù)測算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施,計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?

  解:設(shè)從2001年起第n年投入的資金為an,根據(jù)題意,數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列,其中 a1=500, d=50

  那么,到2010年(n=10),投入的資金總額為

  答: 從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元。

  【設(shè)計意圖】讓學(xué)生體會數(shù)列知識在生活中的應(yīng)用及簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法。

  3、例題2:

  已知一個等差數(shù)列{an}的前10項的和是310,前20項的和是1220,由這些條件可以確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎?

  解:

  法1:由題意知

  ,

  代入公式得:

  解得,

  法2:由題意知

  ,

  代入公式得:

  ,

  即,

  ②①得,,故

  由得故

  【設(shè)計意圖】掌握并能靈活應(yīng)用公式并體會方程的思想方法。

  4、反饋達(dá)標(biāo):

  練習(xí)一:在等差數(shù)列{an}中,a1=20, an=54,sn =999,求n.

  解:由解n=27

  練習(xí)2: 已知{an}為等差數(shù)列,,求公差。

  解:由公式得

  即d=2

  【設(shè)計意圖】進(jìn)一強化求和公式的靈活應(yīng)用及化歸的思想(化歸到首項和公差這兩個基本元)。

  五、歸納總結(jié) 分享收獲:(活躍課堂氣氛,鼓勵學(xué)生大膽發(fā)言,培養(yǎng)總結(jié)和表達(dá)能力)

  1、倒序相加法求和的思想及應(yīng)用;

  2、等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程;

  3、掌握等差數(shù)列的兩個求和公式,;

  4、前n項和公式的靈活應(yīng)用及方程的思想。

  …………

  六、作業(yè)布置:

  (一)書面作業(yè):

  1.已知等差數(shù)列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。

  2.在a,b之間插入10個數(shù),使它們同這兩個數(shù)成等差數(shù)列,求這10個數(shù)的和。

  (二)課后思考:

  思考:等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法除了倒序相加法還有沒有其它方法呢?

  【設(shè)計意圖】通過布置書面作業(yè)鞏固所學(xué)知識及方法,同時通過布置課后思考題來延伸知識拓展思維。

  附:板書設(shè)計

  等差數(shù)列的前n項和

  1、數(shù)列前n項和的定義:

  2、等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo):

  3、公式的認(rèn)識與理解:

  公式一:

  公式二:

  四:例題及解答:

  議練活動:

  等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計4

  一、知識與技能

  1.了解公差的概念,明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件,能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列;

  2.正確認(rèn)識使用等差數(shù)列的各種表示法,能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項.

  二、過程與方法

  1.通過對等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生:的觀察力及歸納推理能力;

  2.通過等差數(shù)列變形公式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生:思維的深刻性和靈活性.

  三、情感態(tài)度與價值觀

  通過等差數(shù)列概念的歸納概括,培養(yǎng)學(xué)生:的觀察、分析資料的能力,積極思維,追求新知的創(chuàng)新意識.

  教學(xué)過程

  導(dǎo)入新課

  師:上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點.下面我們看這樣一些數(shù)列的例子:(課本P41頁的4個例子)

  (1)0,5,10,15,20,25,…;

  (2)48,53,58,63,…;

  (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5…;

  (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 366,….

  請你們來寫出上述四個數(shù)列的第7項.

  生:第一個數(shù)列的第7項為30,第二個數(shù)列的第7項為78,第三個數(shù)列的第7項為3,第四個數(shù)列的第7項為10 510.

  師:我來問一下,你依據(jù)什么寫出了這四個數(shù)列的第7項呢?以第二個數(shù)列為例來說一說.

  生:這是由第二個數(shù)列的后一項總比前一項多5,依據(jù)這個規(guī)律性我得到了這個數(shù)列的第7項為78.

  師:說得很有道理!我再請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下,看看以上四個數(shù)列有什么共同特征?我說的是共同特征.

  生:1每相鄰兩項的差相等,都等于同一個常數(shù).

  師:作差是否有順序,誰與誰相減?

  生:1作差的順序是后項減前項,不能顛倒.

  師:以上四個數(shù)列的共同特征:從第二項起,每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)(即等差);我們給具有這種特征的數(shù)列起一個名字叫——等差數(shù)列.

  這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容.

  推進(jìn)新課

  等差數(shù)列的定義:一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母“d”表示).

  (1)公差d一定是由后項減前項所得,而不能用前項減后項來求;

  (2)對于數(shù)列{an},若an-a n-1=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母),n≥2,n∈N*,則此數(shù)列是等差數(shù)列,d叫做公差.

  師:定義中的關(guān)鍵字是什么?(學(xué)生:在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到一些概念,能否抓住定義中的關(guān)鍵字,是能否正確地、深入的理解和掌握概念的重要條件,更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要一環(huán).因此教師:應(yīng)該教會學(xué)生:如何深入理解一個概念,以培養(yǎng)學(xué)生:分析問題、認(rèn)識問題的能力)

  生:從“第二項起”和“同一個常數(shù)”.

  師::很好!

  師:請同學(xué)們思考:數(shù)列(1)、(2)、(3)、(4)的通項公式存在嗎?如果存在,分別是什么?

  生:數(shù)列(1)通項公式為5n-5,數(shù)列(2)通項公式為5n+43,數(shù)列(3)通項公式為2.5n-15.5,….

  師:好,這位同學(xué)用上節(jié)課學(xué)到的知識求出了這幾個數(shù)列的通項公式,實質(zhì)上這幾個通項公式有共同的特點,無論是在求解方法上,還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性,下面我們來共同思考.

  [合作探究]

  等差數(shù)列的通項公式

  師:等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得到的,若一個等差數(shù)列{an}的首項是a1,公差是d,則據(jù)其定義可得什么?

  生:a2-a1=d,即a2=a1+d.

  師:對,繼續(xù)說下去!

  生:a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;

  a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;

  ……

  師:好!規(guī)律性的東西讓你找出來了,你能由此歸納出等差數(shù)列的通項公式嗎?

  生:由上述各式可以歸納出等差數(shù)列的通項公式是an=a1+(n-1)d.

  師:很好!這樣說來,若已知一數(shù)列為等差數(shù)列,則只要知其首項a1和公差d,便可求得其通項an了.需要說明的是:此公式只是等差數(shù)列通項公式的猜想,你能證明它嗎?

  生:前面已學(xué)過一種方法叫迭加法,我認(rèn)為可以用.證明過程是這樣的:

  因為a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.將它們相加便可以得到:an=a1+(n-1)d.

  師:太好了!真是活學(xué)活用啊!這樣一來我們通過證明就可以放心使用這個通項公式了.

  [教師:精講]

  由上述關(guān)系還可得:am=a1+(m-1)d,

  即a1=am-(m-1)d.

  則an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,

  即等差數(shù)列的第二通項公式an=am+(n-m)d.(這是變通的通項公式)

  由此我們還可以得到.

  [例題剖析]

  【例1】(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項;

  (2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13…的項?如果是,是第幾項?

  師:這個等差數(shù)列的首項和公差分別是什么?你能求出它的第20項嗎?

  生:1這題太簡單了!首項和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因為n=20,所以由等差數(shù)列的通項公式,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

  師:好!下面我們來看看第(2)小題怎么做.

  生:2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數(shù)列通項公式為an=-5-4(n-1).

  由題意可知,本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100,即-401是這個數(shù)列的第100項.

  師:剛才兩個同學(xué)將問題解決得很好,我們做本例的目的是為了熟悉公式,實質(zhì)上通項公式就是an,a1,d,n組成的方程(獨立的量有三個).

  說明:(1)強調(diào)當(dāng)數(shù)列{an}的項數(shù)n已知時,下標(biāo)應(yīng)是確切的數(shù)字;(2)實際上是求一個方程的正整數(shù)解的問題.這類問題學(xué)生:以前見得較少,可向?qū)W生:著重點出本問題的實質(zhì):要判斷-401是不是數(shù)列的項,關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式an,判斷是否存在正整數(shù)n,使得an=-401成立.

  【例2】已知數(shù)列{an}的通項公式an=pn+q,其中p、q是常數(shù),那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?若是,首項與公差分別是什么?

  例題分析:

  師:由等差數(shù)列的定義,要判定{an}是不是等差數(shù)列,只要根據(jù)什么?

  生:只要看差an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).

  師:說得對,請你來求解.

  生:當(dāng)n≥2時,〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)〕

  an-an-1=(pn+1)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù),

  所以我們說{an}是等差數(shù)列,首項a1=p+q,公差為p.

  師:這里要重點說明的是:

  (1)若p=0,則{an}是公差為0的等差數(shù)列,即為常數(shù)列q,q,q,….

  (2)若p≠0,則an是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點(n,an)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上,一次項的系數(shù)是公差p,直線在y軸上的截距為q.

  (3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數(shù)),稱其為第3通項公式.課堂練習(xí)

  (1)求等差數(shù)列3,7,11,…的第4項與第10項.

  分析:根據(jù)所給數(shù)列的前3項求得首項和公差,寫出該數(shù)列的通項公式,從而求出所┣笙.

  解:根據(jù)題意可知a1=3,d=7-3=4.∴該數(shù)列的通項公式為an=3+(n-1)×4,即an=4n-1(n≥1,n∈N*).∴a4=4×4-1=15,a 10=4×10-1=39.

  評述:關(guān)鍵是求出通項公式.

  (2)求等差數(shù)列10,8,6,…的第20項.

  解:根據(jù)題意可知a1=10,d=8-10=-2.

  所以該數(shù)列的通項公式為an=10+(n-1)×(-2),即an=-2n+12,所以a20=-2×20+12=-28.

  評述:要求學(xué)生:注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.

  (3)100是不是等差數(shù)列2,9,16,…的項?如果是,是第幾項?如果不是,請說明理由.

  分析:要想判斷一個數(shù)是否為某一個數(shù)列的其中一項,其關(guān)鍵是要看是否存在一個正整數(shù)n值,使得an等于這個數(shù).

  解:根據(jù)題意可得a1=2,d=9-2=7.因而此數(shù)列通項公式為an=2+(n-1)×7=7n-5.

  令7n-5=100,解得n=15.所以100是這個數(shù)列的第15項.

  (4)-20是不是等差數(shù)列0,,-7,…的項?如果是,是第幾項?如果不是,請說明理由.

  解:由題意可知a1=0,,因而此數(shù)列的通項公式為.

  令,解得.因為沒有正整數(shù)解,所以-20不是這個數(shù)列的項.

  課堂小結(jié)

  師:(1)本節(jié)課你們學(xué)了什么?(2)要注意什么?(3)在生:活中能否運用?(讓學(xué)生:反思、歸納、總結(jié),這樣來培養(yǎng)學(xué)生:的概括能力、表達(dá)能力)

  生:通過本課時的學(xué)習(xí),首先要理解和掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式a n-a n-1=d(n≥2);其次要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d(n≥1).

  等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計5

  教學(xué)目標(biāo):

  (1)理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項公式;

  (2)利用等差數(shù)列的通項公式能由a1,d,n,an“知三求一”,了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及思想;

  (3)通過作等差數(shù)列的圖像,進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想;通過等差數(shù)列的通項公式應(yīng)用,滲透方程思想。

  教學(xué)重、難點:等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項公式。

  知識結(jié)構(gòu):一般數(shù)列定義通項公式法

  遞推公式法

  等差數(shù)列表示法應(yīng)用

  圖示法

  性質(zhì)列舉法

  教學(xué)過程:

  (一)創(chuàng)設(shè)情境:

  1.觀察下列數(shù)列:

  1,2,3,4,……;(軍訓(xùn)時某排同學(xué)報數(shù))①

  10000,9000,8000,7000,……;(溫州市房價平均每月每平方下跌的價位)②

  2,2,2,2,……;(坐38路公交車的車費)③

  問題:上述三個數(shù)列有什么共同特點?(學(xué)生會發(fā)現(xiàn)很多規(guī)律,如都是整數(shù),再舉幾個非整數(shù)等差數(shù)列例子讓學(xué)生觀察)

  規(guī)律:從第2項起,每一項與前一項的差都等于同一常數(shù)。

  引出等差數(shù)列。

  (二)新課講解:

  1.等差數(shù)列定義:

  一般地,如果一個數(shù)列從第項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母表示。

  問題:(a)能否用數(shù)學(xué)符號語言描述等差數(shù)列的定義?

  用遞推公式表示為或.

  (b)例1:觀察下列數(shù)列是否是等差數(shù)列:

  (1)1,-1,1,-1,…

  (2)1,2,4,6,8,10,…

  意在強調(diào)定義中“同一個常數(shù)”

  (c)例2:求上述三個數(shù)列的公差;公差d可取哪些值?d>0,d=0,d<0時,數(shù)列有什么特點

  (d有不同的分類,如按整數(shù)分?jǐn)?shù)分類,再舉幾個等差數(shù)列的例子觀察d的分類對數(shù)列的影

  響)

  說明:等差數(shù)列(通常可稱為數(shù)列)的單調(diào)性:為遞增數(shù)列,為常數(shù)列,為遞減數(shù)列。

  例3:求等差數(shù)列13,8,3,-2,…的第5項。第89項呢?

  放手讓學(xué)生利用各種方法求a89,從中找出合適的方法,如利用不完全歸納法或累加法,然

  后引出求一般等差數(shù)列的通項公式。

  2.等差數(shù)列的通項公式:已知等差數(shù)列的首項是,公差是,求.

  (1)由遞推公式利用用不完全歸納法得出

  由等差數(shù)列的定義:,,,……

  ∴,,,……

  所以,該等差數(shù)列的通項公式:.

  (驗證n=1時成立)。

  這種由特殊到一般的推導(dǎo)方法,不能代替嚴(yán)格證明。要用數(shù)學(xué)歸納法證明的。

  (2)累加法求等差數(shù)列的通項公式

  讓學(xué)生體驗推導(dǎo)過程。(驗證n=1時成立)

  3.例題及練習(xí):

  應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式

  追問:(1)-232是否為例3等差數(shù)列中的項?若是,是第幾項?

  (2)此數(shù)列中有多少項屬于區(qū)間[-100,0]?

  法一:求出a1,d,借助等差數(shù)列的通項公式求a20。

  法二:求出d,a20=a5+15d=a12+8d

  在例4基礎(chǔ)上,啟發(fā)學(xué)生猜想證明

  練習(xí):

  梯子的最高一級寬31cm,最低一級寬119cm,中間還有3級,各級的寬度成等差數(shù)列,請計算中間各級的寬度。

  觀察圖像特征。

  思考:an是關(guān)于n的一次式,是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的什么條件?

  課后反思:這節(jié)課的重點是等差數(shù)列定義和通項公式概念的理解,而不是公式的應(yīng)用,有些應(yīng)試教育的味道。有時搶學(xué)生的回答,沒有真正放手讓學(xué)生的思維發(fā)展,學(xué)生活動太少,課堂氛圍不好。學(xué)生對問題的反應(yīng)出乎設(shè)計的意料時,應(yīng)該順著學(xué)生的思維發(fā)展。

  等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計6

  教學(xué)目標(biāo):

  1.知識與技能目標(biāo):理解等差數(shù)列的概念,了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及思想,掌握并會用等差數(shù)列的通項公式,初步引入“數(shù)學(xué)建模”的思想方法并能運用。

  2.過程與方法目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、猜想歸納、應(yīng)用公式的能力;在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下,滲透函數(shù)、方程的思想。

  3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo):通過對等差數(shù)列的研究培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知的精神;養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。

  教學(xué)重點:

  等差數(shù)列的概念及通項公式。

  教學(xué)難點:

  (1)理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義。

  (2)等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。

  教具:多媒體、實物投影儀

  教學(xué)過程:

  一、復(fù)習(xí)引入:

  1.回憶上一節(jié)課學(xué)習(xí)數(shù)列的定義,請舉出一個具體的例子。表示數(shù)列有哪幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式。我們這節(jié)課接著學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列。

  2.由生活中具體的數(shù)列實例引入

  (1).國際奧運會早期,撐桿跳高的記錄近似的由下表給出:

  你能看出這4次撐桿條跳世界記錄組成的數(shù)列,它的各項之間有什么關(guān)系嗎?

  (2)某劇場前10排的座位數(shù)分別是:

  48、46、44、42、40、38、36、34、32、30

  引導(dǎo)學(xué)生觀察:數(shù)列①、②有何規(guī)律?

  引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字相鄰兩個數(shù)字的差總是一個常數(shù),數(shù)列①先左到右相差0.2,數(shù)列②從左到右相差-2。

  二.新課探究,推導(dǎo)公式

  1.等差數(shù)列的概念

  如果一個數(shù)列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù),這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d來表示。

  強調(diào)以下幾點:

  ① “從第二項起”滿足條件;

  ②公差d一定是由后項減前項所得;

  ③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(shù)(強調(diào)“同一個常數(shù)” );

  所以上面的2、3都是等差數(shù)列,他們的公差分別為0.20,-2。

  在學(xué)生對等差數(shù)列有了直觀認(rèn)識的基礎(chǔ)上,我將給出練習(xí)題,以鞏固知識的學(xué)習(xí)。

  [練習(xí)一]判斷下列各組數(shù)列中哪些是等差數(shù)列,哪些不是?如果是,寫出首項a1和公差d,如果不是,說明理由。

  1.3,5,7,…… √ d=2

  2.9,6,3,0,-3,…… √ d=-3

  3. 0,0,0,0,0,0,…….; √ d=0

  4. 1,2,3,2,3,4,……;×

  5. 1,0,1,0,1,……×

  在這個過程中我將采用邊引導(dǎo)邊提問的方法,以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

  2.等差數(shù)列通項公式

  如果等差數(shù)列{an}首項是a1,公差是d,那么根據(jù)等差數(shù)列的定義可得:

  a2 - a1 =d即:a2 =a1 +d

  a3 – a2 =d即:a3 =a2 +d = a1 +2d

  a4 – a3 =d即:a4 =a3 +d = a1 +3d

  ……

  猜想: a40 = a1 +39d

  進(jìn)而歸納出等差數(shù)列的通項公式:an=a1+(n-1)d

  此時指出:這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法,這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密,為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項公式的辦法------迭加法:

  n=a1+(n-1)d

  a2-a1=d

  a3-a2=d

  a4-a3 =d

  ……

  an –a(n-1) =d

  將這(n-1)個等式左右兩邊分別相加,就可以得到

  an-a1=(n-1)d

  即an=a1+(n-1)d (Ⅰ)

  當(dāng)n=1時,(Ⅰ)也成立,所以對一切n∈N﹡,上面的公式(Ⅰ)都成立,因此它就是等差數(shù)列{an}的通項公式。

  三.應(yīng)用舉例

  例1求等差數(shù)列,12,8,4,0,…的第10項;20項;第30項;

  例2 -401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項?如果是,是第幾項?

  四.反饋練習(xí)

  1.P293練習(xí)A組第1題和第2題(要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)做完上述題目,教師提問)。目的:使學(xué)生熟悉通項公式對學(xué)生進(jìn)行基本技能訓(xùn)練。

  五.歸納小結(jié)提煉精華

  (由學(xué)生總結(jié)這節(jié)課的收獲)

  1.等差數(shù)列的概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式.

  強調(diào)關(guān)鍵字:從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)

  2.等差數(shù)列的通項公式an= a1+(n-1) d會知三求一

  六.課后作業(yè)運用鞏固

  必做題:課本P284習(xí)題A組第3,4,5題

  等差數(shù)列通項公示教學(xué)設(shè)計7

  設(shè)計思路

  數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一,它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用,而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分;另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上,對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。

  教學(xué)過程:

  一、片頭

  (30秒以內(nèi))

  前面學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念與簡單表示法,今天我們來學(xué)習(xí)一種特殊的數(shù)列-等差數(shù)列。本節(jié)微課重點講解等差數(shù)列的定義, 并且能初步判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列。

  30秒以內(nèi)

  二、正文講解(8分鐘左右)

  第一部分內(nèi)容:由三個問題,通過判斷分析總結(jié)出等差數(shù)列的定義 60 秒

  第二部分內(nèi)容:給出等差數(shù)列的定義及其數(shù)學(xué)表達(dá)式50 秒

  第三部分內(nèi)容:哪些數(shù)列是等差數(shù)列?并且求出首項與公差。根據(jù)這個練習(xí)總結(jié)出幾個常用的結(jié)152秒

  三、結(jié)尾

  (30秒以內(nèi))授課完畢,謝謝聆聽!30秒以內(nèi)

  自我教學(xué)反思

  本節(jié)課通過生活中一系列的實例讓學(xué)生觀察,從而得出等差數(shù)列的概念,并在此基礎(chǔ)上學(xué)會判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列,培養(yǎng)了學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力。充分體現(xiàn)了學(xué)生做數(shù)學(xué)的過程,使學(xué)生對等差數(shù)列有了從感性到理性的認(rèn)識過程。

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