一元二次方程教學設計（通用16篇）
作為一位杰出的教職工，就難以避免地要準備教學設計，編寫教學設計有利于我們科學、合理地支配課堂時間。那么應當如何寫教學設計呢？以下是小編精心整理的一元二次方程教學設計，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
一元二次方程教學設計 1
教學目標
知識與技能：
能說出一元二次方程及其相關概念，能判斷一個方程是否為一元二次方程。
過程與方法
1、經歷從實際問題中建立一元二次方程概念的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界數量關系的重要數學模型，發展符號感。
2、從實際情境中進一步體會方程是刻畫現實世界的一個有效數學模型。
情感態度價值觀：
通過本節的學習，進一步體會學習和探究一元二次方程的必要性及數學知識來源于生活，又能為生活服務，從而激發學習熱情。
教學重難點
重點：一元二次方程的概念和化任意的一元二次方程為一般形式
難點：從實際問題中抽象一元二次方程的概念及字母系數一元二次方程的各項系數的確定
教學媒體
多媒體
課時安排
1課時
教學過程
一、簡要回顧，方程思想
簡要回顧方程知識，方程在生活中的應用，以及用方程思想解決實際問題時的大致思路：
1、把待求的量用字母表示出來；
2、把已知量與未知量放在同等地位進行運算；
3、尋求建立等量關系
4、解方程（組）
體會感悟：往往解決一個未知數的問題，就需要建立一個等量關系；解決兩個未知數的問題，則需要建立兩個等量關系。……
二、展示素材，創設情境
1、某校要在校園內墻邊的空地上修建一個平面圖為矩形的存車處，要求存車處的一面靠墻（墻長15m，如圖中AB所示），另外三面用90m的鐵柵欄圍起來，并在與AB垂直的.一邊上開一道2m寬的門。如果矩形存車處的面積為480m2，請以矩形一邊長為未知數列方程。
提問：題中有哪些等量關系？如何設未知數？
學生活動：小組討論，回答上述問題。然后根據題意，列出方程。
師：讓每個小組說出他們所列的方程，對出現的問題進行更正
提問：你們列的方程一樣么？為什么？將所列的方程進行整理看看現在結果一樣么？學生整理得出兩個方程分別為：x2-92x+960=0和x2-46x+240=0
提問：x2-92x+960=0和x2-46x+240=0這兩個方程有什么相同之處？
學生小組討論片刻，說出自己的認識，如都是整式方程，都含有一個未知數，未知數的最高次都是2等。
2、某住宅小區準備開辟一塊面積為600m2的矩形綠地，要求長比寬多10m，設綠地寬為xm，請你列出關于x的方程。
3、如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m。如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？
由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻_________m，如果設梯子底端滑動xm，那么滑動后梯子底端距墻_______________m。根據題意，可得方程___________________________。
及時教育學生，要學會用數學的眼光觀察生活中的現象，培養自己發現問題與解決問題的能力。
三、觀察歸納，抽象命名
從上面的幾個素材中可以看出，這類方程在生活中大量出現，上面的方程都是只含有一個未知數x的整式方程，并且都可以化為ax?bx?c?0（a、b、c為常數，a≠0）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0(a，b，c為常數，a不等于0)
其中ax2是二次項，bx是一次項，c常數項
a為：二次項系數；b為：一次項系數
四、鞏固練習
1、自己編擬一元二次方程，并指出其中的二次項系數、一次項系數和常數項。
2、課本P32練習1、2
五、小結
學生回憶總結本節課學了哪些知識？有什么體會？
六、作業
課本P32習題1、2、3
七、板書設計
一元二次方程教學設計 2
一、教學目標：
1、知識與能力：理解配方法，會利用配方法以一元二次式進行配方。通過對比、轉化，總結得出配方法的一般過程，提高分析能力。通過對一元二次方程二次項系數是否為1的分類處理，鍛煉學生的抽象概括能力。
2、過程與方法：會用配方法解簡單的數學系數的一元二次方程。發現不同方程的轉化方式，運用已有知識解決新問題。
3、情感態度價值觀：通過配方法的探究活動，培養學生勇于探索的良好學習習慣。感覺數學的嚴謹性以及數學結論的確定性。
二、教學重難點:
1、重點---會利用配方法熟練解一元二次方程。
2、難點---對于二次項系數不為1的一元二次方程通過系數化1進行適當變形后再利用配方法求解。
三、教學過程
(一)活動1：提出問題
要使一塊長方形場地的長比寬多6m，并且面積為16m2，場地的長和寬各是多少？設計意圖：讓學生在解決實際問題中學習一元二次方程的解法。
師生行為：教師引導學生回顧列方程解決實際問題的基本思路，學生討論分析。
（二）活動2：溫故知新
1.填上適當的數，使下列各式成立，并總結其中的規律。
（1）x+6x+=(x+3)
(2)x+8x+=(x+)
（3）x2-12x+=(x-)2
(4)x2-5x+=(x-)2
(5)a2+2ab+=(a+)2
(6)a2-2ab+=(a-)2
2.用直接開平方法解方程：x2+6x+9=2
設計意圖：第一題為口答題，復習完全平方公式，旨在引出配方法，培養學生探究的興趣。
(三)活動3：自主學習
自學課本Ｐ31---P32思考下列問題：
1.仔細觀察教材問題2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接開平方法能解嗎？
2.怎樣解方程x2+6x-16=0？看教材框圖，能理解框圖中的每一步嗎？（同學之間可以交流、師生間也可交流。）
3.討論：在框圖中第二步為什么方程兩邊加9？加其它數行嗎？
4.什么叫配方法？配方法的`目的是什么？
5.配方的關鍵是什么？交流與點撥：
重點在第2個問題，可以互相交流框圖中的每一步，實際上也是第3個問題的討論，教師這時對框圖中重點步驟作講解，特別是兩邊加9是配方的關鍵，使之配成完全平方式。利用a2±2ab+b2=(a±b)2。
注意：9=（），而6是方程一次項系數。所以得出配方的關鍵是方程兩邊加上一次項系數一半的平方，從而配成完全平方式。
設計意圖：學生通過自學經歷思考、討論、分析的過程，最終形成把一個一元二次方程配成完全平方式形式來解方程的思想
(四)活動4：例題學習
例（教材P33例1）解下列方程：(1)x-8x+1=0(2)2x+1=-3x(3)3x2-6x+4=0教師要選擇例題書寫解題過程，通過例題的學習讓學生仔細體會用配方法解方程的一般步驟。
交流與點撥：用配方法解一元二次方程的一般步驟：
（1）將方程化成一般形式并把二次項系數化成1；（方程兩邊都除以二次項系數）
（2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數項。
（3）配方，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方。
（4）原方程變為(mx+n)2=p的形式。
（5）如果右邊是非負數，就可用直接開平方法求取方程的解。設計意圖：牢牢把握通過配方將原方程變為(mx+n)2=p的形式方法。
（五）課堂練習：
1.教材Ｐ34練習1（做在課本上，學生口答）
2.教材Ｐ34練習2師生行為：對于第二題根據時間可以分兩組完成，學生板演，教師點評。
設計意圖：通過練習加深學生用配方法解一元二次方程的方法。
四、歸納與小結：
1.理解配方法解方程的含義。
2.要熟練配方法的技巧，來解一元二次方程，
3.掌握配方法解一元二次方程的一般步驟，并注意每一步的易錯點。
4.配方法解一元二次方程的解題思想：“降次”由二次降為一次。
五、布置作業
教材P42習題22.2第3題
---教后反思
通過本節課的學習，我發現：配方法不僅是解一元二次方程的方法之一，而且它還可作為其它許多數學問題的一種研究思想，其發揮的作用和意義十分重要。從學生的學習情況來看，效果普遍良好，且已基本掌握了這種數學方法，從本節課的具體教學過程來分析，我有以下幾點體會和認識。
1、學生對這塊知識的理解很好，學生自己總結了配方法的具體步驟，即：
①化二次項系數為1；
②移常數項到方程右邊；
③方程兩邊同時配上一次項系數一半的平方；
④化方程左邊為完全平方式；
⑤（若方程右邊為非負數）利用直接開平方法解得方程的根。理解起來也很容易，然后再加以練習鞏固
2、教學方法上的幾點體會：
①需要創造性地使用教材，可以根據學生的實際情況對教材內容進行適當調整。
②相信學生要為學生提供充分展示自己的機會本節課多次組織學生合作交流，通過小組合作，為學生提供展示自己聰明才智的機會，并且在此過程中教師發現了學生在分析問題和解決問題時出現的獨到見解，以及思維的誤區，這樣使得老師可以更好地指導今后的教學。
3、當然在這一塊知識的教學過程中，學生也出現了個別錯誤，表現在：
①二次項系數沒有化為1就盲目配方；
②不能給方程“兩邊”同時配方；③配方之后，右邊是0，結果方程根書寫成x＝﹡的形式（應為x1=x2=﹡）；
④所給方程的未知字母有時不是x，而是y、z、a、m等，但個別粗心甚至細心的同學在結果寫方程根時字母都變成了x。對于以上錯誤，我在最后的知識小結中，又重點強調了配方法的一般步驟，并說明其中關鍵的一步是第③步，必須依據等式的基本性質給方程兩邊同時加常數。
4、對于基礎較差的少數學生我只要求認真理解并鞏固“配方法”；對于基礎較好的同學根據他們的課堂反應，我還在知識拓寬方面加以提示：因為完全平方式的值定是非負數，故若在說明某一多項式是否為非負數時，可采用配方法來證，這樣對有些善于鉆研思考的同學來說，在有關配方法的應用和探究方面，為之起到“拋磚引玉”的作用，也為后期部分知識的教學作了一定的鋪墊。
5、在我本節課的教學當中，也有如下不妥之處：
①對不同層次的學生要求程度不適當；
②在提示和啟發上有些過度；
③為學生提供的思考問題時間較少，導致部分學生對本節知識“囫圇吞棗”，而最終“消化不良”，在以后的課堂教學中，我會力爭克服以上不足。
一元二次方程教學設計 3
一、教學目標
1、知識與技能：
會根據增長率問題中的數量關系和等量關系，列出一元二次方程，并能對方程解的合理性作出解釋。
2、過程與方法:
通過猜想、探討構建一元二次方程模型。
3、情感、態度與價值觀：
（１）通過自主、探究性學習，使學生養成良好的思維習慣。
（２）通過對方程解的合理性解釋，培養學習實事求是的作風。
二、教學重點難點
1、重點：
找出問題中的數量關系；
2、難點：
找等量關系并列出相應方程、
三、教材分析
本節課是從實際問題引入的基本概念，學習方程的基本解法之后所提出的一些實際問題，以及最后一節的實踐與探索，都是為了給與學生都創造一些探索交流的機會，讓學生了解數學知識的發展，學會解決一些簡單問題的方法，特別是從實際情景尋找所隱含的數量關系，建立適當的數學模型。
四、教學過程與互動設計
（一）溫故知新
1、請同學們回憶并回答解一元一次方程應用題的一般步驟：
第一步：弄清題意和題目中的已知數、未知數，用字母表示題目中的一個未知數；
第二步：找出能夠表示應用題全部含義的相等關系；
第三步：根據這些相等關系列出需要的代數式(簡稱關系式)，從而列出方程；
第四步：解這個方程，求出未知數的值；
第五步：在檢查求得的答數是否符合應用題的實際意義后，寫出答案(包括單位名稱。)
、解一元二次方程的應用題的步驟與解一元一次方程應用題的步驟一樣。
我們先來解一些具體的題目，然后總結一些規律或應注意事項。
（二）創設情景，導入新課
1、一個長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米。
若梯子的頂端下滑1米，那么
（1）猜一猜，底端也將滑動1米嗎？
（2）列出底端滑動距離所滿足的方程。
【答案】①底端將滑動1米多
②提示：先利用勾股定理在實際問題中的應用，說明數學來源于實際。
2、【探究活動】
某商店1月份的利潤是2500元，3月份的利潤達到3000元，這兩個月的利潤平均增長的百分率是多少（精確到0.1％）？
（１）學生討論：怎樣計算月利潤增長百分率？
【點評】通過學生討論得出月利潤增長百分率＝月增利潤/月利潤
例8某商品經過兩次降價，每瓶零售價由56元降為31.5元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率。
分析：若一次降價百分率為x，則一次降價后零售價為原來的（1-x）倍，即56（1-x）；第二次降價的百分率仍為31.5x，則第二次降價后零售價為原來的'56（1-x）的（1-x）倍。
解：設平均降價百分率為x，根據題意，得
56（1-x）2=31.5
解這個方程，得
x1=1.75，x2=0.25
因為降價的百分率不可能大于1，所以x1=1.75不符合題意，符合題意要求的是x=0.25=25%
答每次降價百分率為25%、
【跟蹤練習】
某藥品經兩次降價，零售價降為原來的一半、已知兩次降價的百分率一樣，求每次降價的百分率（精確到0.1％）、
【友情提示】我們要牢牢把握列方程解決實際問題的三個重要環節：①整體地，系統地審清問題；②把握問題中的等量關系；③正確求解方程并檢驗解的合理性。
（三）應用遷移，鞏固提高
1、某商品原價200元，連續兩次降價a％后售價為148元，下列所列方程正確的是（）
（A）200(1+a％)2=148（B）200(1－a％)2=148
（C）200(1－2a％)=148（D）200(1－a2％)=148
2、為綠化家鄉，某中學在2003年植樹400棵，計劃到2005年底，使這三年的植樹總數達到1324棵，求此校植樹平均增長的百分數？
(四)達標測試
1、某超市一月份的營業額為100萬元，第一季度的營業額共800萬元，如果平均每月增長率為x，則所列方程應為（）
A、100(1+x)2=800B、100+100×2x=800C、100+100×3x=800D、100[1+(1+x)+(1+x)2]=800
2、某地開展植樹造林活動，兩年內植樹面積由30萬畝增加到42萬畝，若設植樹面積年平均增長率為，根據題意列方程，一元二次方程的解法
3、某農場的糧食產量在兩年內從3000噸增加到3630噸，平均每年增產的百分率是多少?
4、某小組計劃在一季度每月生產100臺機器部件，二月份開始每月實際產量都超過前月的產量，結果一季度超產20%，求二，三月份平均每月增長率是多少?(精確到1%)
5、某鋼鐵廠今年一月份的某種鋼產量是5000噸，此后每月比上個月產量提高的百分數相同，且三月份比二月份的產量多1200噸，求這個相同的百分數
五、課堂小結
一元二次方程教學設計 4
教學目標：
（一）知識與技能：
1、理解并掌握用配方法解簡單的一元二次方程。
2、能利用配方法解決實際問題，增強學生的數學應用意識和能力。
（二）過程與方法目標：
1、經歷探索利用配方法解一元二次方程的過程，使學生體會到轉化的數學思想。
2、在理解配方法的基礎上，熟練應用配方法解一元二次方程的過程，培養學生用轉化的數學思想解決實際問題的能力。
（三）情感，態度與價值觀
啟發學生學會觀察，分析，尋找解題的途徑，提高學生分析問題，解決問題的能力。
教學重點、難點：
重點：理解并掌握配方法，能夠靈活運用用配方法解一元二次方程。
難點：通過配方把一元二次方程轉化為（x+m）2=n(n≥0)的形式。
教學方法：根據教學內容的特點及學生的年齡、心理特征及已有的知識水平，本節課采用問題教學和對比教學法，用“創設情境——建立數學模型——鞏固與運用——反思、拓展”來展示教學活動。
教學內容
學生活動
設計意圖
一復習舊知
用直接開平方法解下列方程：
（1）9x2=4(2)(x+3)2=0
總結：上節課我們學習了用直接開平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。
二創設情境，設疑引新
在實際生活中，我們常常會遇到一些問題，需要用一元二次方程來解決。
例：小明用一段長為20米的竹籬笆圍成一個矩形，怎樣設計才可以使得矩形的面積為9米？
三新知探究
1提問：這樣的'方程你能解嗎？
x2＋6x＋9＝0①
2、提問：這樣的方程你能解嗎？
x2＋6x＋4＝0②
思考：方程②與方程①有什么不同？能否把它化成方程①的形式呢？
歸納總結配方法：
通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，這樣的解法叫做配方法。
配方法的依據：完全平方公式
配方法的關鍵：給方程的兩邊同時加上一次項系數一半的平方
點撥：先通過移項將方程左邊化為x2＋ax形式，然后兩邊同時加上一次項系數一半的平方進行配方，然后直接開平方求解。
四合作討論，自主探究
1、配方訓練
(1)x2+12x+()=(x+6)2
(2)x2-12x＋()＝(x-)2
(3)x2+8x+()=(x+)2
(4)x2+mx+()=(x+)2
強調：當一次項系數為負數或分數時，要注意運算的準確性。
2、將下列方程化為（x+m）2=n
(n≥0)的形式并計算出X值。
（1）x2－4x＋3＝0
（2）x2＋3x－1＝0
解：X2-4X+3=0
移向：得X2-4X=-3
配方:得X2-4X+2^2=-3+2^2(兩邊同時加上一次項系數一半的平方)
即：（X-2)2=1
開平方，得：X-2=1或X-2=-1
所以：X=3或X=1
方程（2）有學生完成。
3、鞏固訓練：課本55頁隨堂練習第一題。
五小結
1、用配方法解二次項系數為一的一元二次方程的基本思路：先將方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式，然后兩邊開平方就可以得到方程的解。
2、用配方法解二次項系數為一的一元二次方程的一般步驟：
（1）移項（常數項移到方程右邊）
（2）配方（方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方）
（3）開平方
（4）解出方程的根
六布置作業
習題2.3第1，2題
兩個學生黑板上那解題，剩余學生練習本上計算。
學生觀看課件，思考老師提出的問題，得到：設該矩形的長為x米，依題意得
x(10－x)=9
但是發現所列方程無法用直接開平方法解。于是引入新課。
學生通過觀察發現，方程的左邊是一個完全平方式，可以化為(x+3)2=0，然后就可以運用上節課學過的直接開平方法解了。
方程②的左邊不是一個完全平方式，于是不能直接開平方。學生陷入思考，給學生充分思考、交流的時間和空間。
在學生思考的時候，老師引導學生將方程②與方程①進行對比分析，然后得到：
x2＋6x＝－4
x2＋6x＋9＝－4＋9
（x+3）2=5
從而可以用直接開平方法解，給出完整的解題過程。
在學生充分思考、討論的基礎上總結：配方時，常數項為一次項系數的一半的平方。
檢查學生的練習情況。小組合作交流。
學生歸納后教師再做相應的補充和強調。
學生分組完成方程（2）和課后隨堂練習第一題
學生分組總結本節課知識內容。
一元二次方程教學設計 5
教學目標
1、了解整式方程和一元二次方程的概念；
2、知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式，一元二次方程。
3、通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。
教學重點和難點
重點：一元二次方程的概念和它的一般形式。
難點：對一元二次方程的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。
教學建議
教材分析：
1）知識結構：本小節首先通過實例引出一元二次方程的概念，介紹了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各項的名稱。
2）重點、難點分析
理解一元二次方程的定義：
是一元二次方程的重要組成部分。方程，只有當時，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：
（1）一元二次方程的條件是確定的，如方程（），把它化成一般形式為，由于，所以，符合一元二次方程的定義。
（2）條件是用“關于的一元二次方程”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于的一元二次方程”，這時題中隱含了的條件，這在解題中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系數的項，且出現“關于的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于的方程”，這就有兩種可能，當時，它是一元一次方程；當時，它是一元二次方程，解題時就會有不同的結果。
教學目的
1、了解整式方程和一元二次方程的`概念；
2、知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。
3、通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。
教學難點和難點:
重點:
1、一元二次方程的有關概念。
2、會把一元二次方程化成一般形式。
難點:
一元二次方程的含義。
教學過程設計
一、引入新課
引例：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?
分析：
1、要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。
2、這個問題用什么數學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。
3、讓學生自己列出方程(x（x十5）＝150)
深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎？
二、新課
1、從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上初中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從初一一直貫穿到初三。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)
2、什么是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別、也就是說一元二次方程首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個一元二次方程、這還取決于未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做一元二次方程、(板書一元二次方程的定義)
3、強化一元二次方程的概念
下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?
(1)3x十2＝5x—3：
(2)x2＝4
(3)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；
(4)(x—1)(x—2)＝x2十8
從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然后再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。
4、一元二次方程概念的延伸
提問：一元二次方程很多嗎?你有辦法一下寫出所有的一元二次方程嗎?
引導學生回顧一元二次方程的定義，分析一元二次方程項的情況，啟發學生運用字母，找到一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
1）、提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）、講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數名稱、
3）、強調：一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。
強化概念（課本P6）
1、說出下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項：
（1）x2十3x十2＝O（2）x2—3x十4＝0；(3)3x2-5＝0
（4）4x2十3x—2＝0；(5)3x2—5＝0；(6)6x2—x=0。
2、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項：
(1)6x2＝3-7x；(3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2
課堂小節
(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一一元二次方程（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；
(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；
(3)要很熟練地說出隨便一個一元二次方程中一二次項、一次項、常數項：二次項系數、一次項系數、
課外作業：略
一元二次方程教學設計 6
學習目標：
1.使學生會用列一元二次方程的方法解決有關增長率的應用題;
2.進一步培養學生分析問題、解決問題的能力。
學習重點：
會列一元二次方程解關于增長率問題的應用題。
學習難點：
如何分析題意，找出等量關系，列方程。
學習過程：
一、復習提問：
列一元二次方程解應用題的一般步驟是什么?
二、探索新知：
1.情境導入
問題：“坡耕地退耕還林還草”是國家為了解決西部地區水土流失生態問題、幫助廣大農民脫貧致富的一項戰略措施，某村村長為帶領全村群眾自覺投入“坡耕地退耕還林還草”行動，率先示范。2002年將自家的.坡耕地全部退耕，并于當年承包了30畝耕地的還林還草及管理任務，而實際完成的畝數比承包數增加的百分率為x，并保持這一增長率不變，2003年村長完成了36.3畝坡耕地還林還草任務，求①增長率x是多少?②該村有50戶人家，每戶均地村長2003年完成的畝數為準，國家按每畝耕地500斤糧食給予補助，則國家將對該村投入補助糧食多少萬斤?
2.合作探究、師生互動
教師引導學生分析關于環保的情境導入問題，這是一個平均增長率問題，它的基數是30畝，平均增長的百分率為x，那么第一次增長后，即2002年實際完成的畝數是30(1+x)，第二次增長后，即2003年實際完成的畝數是30(1+x)2，而這一年村長完成的畝數正好是36.3畝。
教師引導學生運用方程解決問題：
①30(1+x)2=36.3;(1+x)2=1.21;1+x=±1.1;x1=0.1=10%，x2=-2.1(舍去)，所以增長的百分率為10%。
②全村坡耕地還林還草為50×36.3=1815(畝)，國家將補助糧食1815×500=907500(斤)=90.75(萬斤)。
三、例題學習：
說明：題目中求平均每月增長的百分率，直接設增長的百分率為x，好處在于計算簡便且直接得出所求。
例、某產品原來每件是600元，由于連續兩次降價，現價為384元，如果兩降價的百分率相同，求每次降價百分之幾?
(小組合作交流教師點撥)
時間基數降價降價后價錢
第一次600600x600(1-x)
第二次600(1-x)600(1-x)x600(1-x)2
(由學生寫出解答過程)
四、鞏固練習：
一商店1月份的利潤是2500元，3月份的利潤達到3000元，這兩個月的利潤平均增長的百分率是多少(精確到0.1%)?
五、課堂總結：
1.善于將實際問題轉化為數學問題，嚴格審題，弄清各數據間相互關系，正確列出方程。
2.注意解方程中的巧算和方程兩個根的取舍問題。
六、反饋練習：
1.某商品計劃經過兩個月的時間將售價提高20%，設每月平均增長率為x，則列出的方程為()
A.x+(1+x)x=20%B.(1+x)2=20%
C.(1+x)2=1.2D.(1+x%)2=1+20%
2.某工廠計劃兩年內降低成本36%，則平均每年降低成本的百分率是()
3.某種藥劑原售價為4元，經過兩次降價，現在每瓶售價為2.56元，問平均每次降低百分之幾?
一元二次方程教學設計 7
教學目標：
1、經歷抽象一元二次方程概念的過程，進一步體會是刻畫現實世界的有效數學模型
2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能將一元二次方程轉化為一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項。
教學重點
1、一元二次方程及其它有關的概念。
2、利用實際問題建立一元二次方程的數學模型。
教學難點
1、建立一元二次方程實際問題的數學模型、
2、把一元二次方程化為一般形式
教學方法
指導自學，自主探究
課時：第一課時
教學過程
（學生通過導學提綱，了解本節課自己應該掌握的內容）
一、自主探索：（學生通過自學，經歷思考、討論、分析的過程，最終形成一元二次方程及其有關概念）
1、請認真完成課本P39—40議一議以上的內容；化簡上述三個方程。
2、你發現上述三個方程有什么共同特點？
你能把這些特點用一個方程概括出來嗎？
3、請同學看課本40頁，理解記憶一元二次方程的概念及有關概念你覺得理解這個概念要掌握哪幾個要點？你還掌握了什么？
二、學以致用：（通過練習，加深學生對一元二次方程及其有關概念的理解與把握）
１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？
①②③
④x2+2x-3=1+x2⑤ax2+bx+c=0
2、判斷下列方程是不是關于x的一元二次方程，如果是，寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
3、若關于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，則k的值是多少？
4、關于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0，在什么條件下它是一元二次方程?在什么條件下它是一元一次方程?
5、以－2、3、0三個數作為一個一元二次方程的系數和常數項，請你寫出滿足條件的'不同的一元二次方程？
三、反思：（學生，進一步加深本節課所學內容）
這節課你學到了什么？
四、自查自省：（通過當堂小測，及時發現問題，及時應對）
1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1個B、2個C、3個D、4個
（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、將方程－5x2+1=6x化為一般形式為___________________。其二次項是_________，系數為_______，一次項系數為______，常數項為______。
2、關于x的方程(m2－4)x2+(m+2)x+2m+3=0，當m__________時，是一元二次方程；當m__________時，是一元一次方程。
作業：必做題：習題7.1
選做題：（挑戰自我）p41隨堂練習
1、已知關于的方程是一元二次方程，則為何值？
2、當m為何值時，方程(m+1)x+1+27mx+5=0是關x于的一元二次方程？
3、關于的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根為，則的值多少？
4、某校為了美化校園，準備在一塊長32米，寬20米的長方形場地上修筑若干條道路，余下部分作草坪，并請全校同學參與設計，現在有兩位學生各設計了一種(如圖)，根據兩種設計各列出方程，求圖中道路的寬分別是多少，使圖(1)，(2)的草坪面積為540米2。
（1）（2）
板書設計：一元二次方程
定義：一個未知數整式方程可以化為
一般形式ax2+bx+c=0(a、b、c為常數，a≠0)
二次項一次項常數項
系數為a系數為b
教學反思
這次我參加了區里組織的優質。
課比賽，這次的優質課采用市里要求的1/3模式，這對于我們來說具有一定的挑戰性。所謂“1/3模式”，就是把課堂教學時間大致分為3個部分，1/3的時間個人自主學習，1/3的時間小組合作學習，1/3的時間全班交流討論。在1/3模式中，整個教學過程由教師和學生共同參與，每個環節1/3的時間只是大致的劃分，可根據學習內容靈活安排。這就對教師提出了較高的要求。
首先要準備好學案。學案就是學生學習的依據。在學案里，教師要提出明確的學習要求。學習要求可包括以下方面：完成學習任務的時間、學習內容的范圍、完成學習任務所要達到的程度、自主學習成果展現的形式等。這就要求教師要提前考慮周全，對于學生學習的要求要一次性提出，內容上有梯度。學生自主學習時，教師要深入學生當中，觀察學生的學習狀況，檢查學習任務完成的情況，有針對性的指導和幫助教師對自主學習方法和途徑的指導要適度，既要滿足學生完成學習任務的需要，又不能擠占學生自主探究的空間。
其次，學習氛圍是合作學習成功的關鍵之一，教師要營造安全的心理環境、充裕的時空環境、熱情的幫助環境、真誠的激勵環境，只就要求教師在語言上也要有較高水平，會發動學生，會調動學生的積極性，讓課堂氣氛活躍起來，讓學生充分發揮自己的水平。
再是，由于課堂上主要是以學生為主。這就要求教師盡量少講，要充當好組織者、引導者、傾聽者的角色，不要急于發表自己的觀點，只要學生能講的教師就不要講，要避免因為教師呈現自己的觀點而打破學生的討論。學生說完的東西，如果沒有問題，教師就不要重復。教師對學習內容要點的講解要有的放矢，能起到畫龍點睛的作用。要在學生原有的水平上進行提升，有助于學生加深對知識的理解。
我們只有在教學中不斷的學習，不斷的改進自己，才能保證我們的課堂很精彩，是名副其實的優質課。
一元二次方程教學設計 8
教學內容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念、
教學目標
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應用一元二次方程概念解決一些簡單題目、
1、通過設置問題，建立數學模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義、
2、一元二次方程的一般形式及其有關概念、
3、解決一些概念性的題目、
4、態度、情感、價值觀
4、通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情、
重難點關鍵
1、重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念并用這些概念解決問題、
2、難點關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念、
教學過程
一、復習引入
學生活動：列方程、
問題（1）《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”
大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？
如果假設門的高為x尺，那么，這個門的寬為_______尺，根據題意，得_______。
整理、化簡，得：__________。
問題（2）如圖，如果，那么點C叫做線段AB的黃金分割點。
如果假設剪后的正方形邊長為x，那么原來長方形長是________，寬是_____，根據題意，得：_______。
整理，得：________。
老師點評并分析如何建立一元二次方程的數學模型，并整理。
二、探索新知
學生活動：請口答下面問題、
（1）上面三個方程整理后含有幾個未知數？
（2）按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是幾次？
（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？
點評：
（1）都只含一個未知數x；
（2）它們的最高次數都是2次的；
（3）都有等號，是方程。
因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的.方程，叫做一元二次方程、
一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）、這種形式叫做一元二次方程的一般形式、
一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項、
例1、將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項、
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）、因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等、
解：去括號，得：
40-16x-10x+4x2=18
移項，得：4x2-26x+22=0
其中二次項系數為4，一次項系數為-26，常數項為22、
例2、（學生活動：請二至三位同學上臺演練）將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數；一次項、一次項系數；常數項、
分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式、
解：去括號，得：
x2+2x+1+x2-4=1
移項，合并得：2x2+2x-4=0
其中：二次項2x2，二次項系數2；一次項2x，一次項系數2；常數項-4、
三、鞏固練習
教材P32練習1、2
四、應用拓展
例3、求證：關于x的方程（2-8+17）x2+2x+1=0，不論取何值，該方程都是一元二次方程、
分析：要證明不論取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明2-8+17≠0即可、
證明：2-8+17=（-4）2+1
∵（-4）2≥0
∴（-4）2+1>0，即（-4）2+1≠0
∴不論取何值，該方程都是一元二次方程、
五、歸納小結（學生總結，老師點評）
本節課要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次項、二次項系數，一次項、一次項系數，常數項的概念及其它們的運用、
六、布置作業
一元二次方程教學設計 9
教學目標
知識與技能目標
1、構建本章的部分知識框圖。
2、復習一元二次方程的概念、解法。
過程與方法
1、通過對本章方程解法的復習，進一步提高學生的運算能力。
2、在解一元二次方程的過程中體會轉化等數學思想。
情感、態度與價值觀。
通過師生共同的活動，使學生在交流和反思的'過程中建立本章的知識體系，從而體驗學習數學的成就感。
教學重點
1、一元二次方程的概念。
2、一元二次方程的四種解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。
教學難點
解法的靈活選擇；例4和例5的解法。
教學過程
一、創設情境
導入新課
問題：本章中，我們有哪些收獲？（教師點撥引導學生構建本章部分知識框圖）
二、師生互動
共同探究
1、復習概念
例1
例2
2、四種解法
（1）
解法及其關系
（2）
根的形式
x1=3
x2=4
（3）熟悉解法
例3用四種解法分別解此方程
（4）方法優選
3、方法補充
例4
4、解法糾錯
例5
解關于x的方程
錯誤解法
正確解法
三、小結反思
提煉思想
我們有哪些收獲？解方程的思想方法是什么？
四、布置作業
鞏固提高
一元二次方程教學設計 10
學習目標
1、一元二次方程的求根公式的推導。
2、會用求根公式解一元二次方程。
3、通過運用公式法解一元二次方程的訓練，提高學生的運算能力，養成良好的運算習慣。
學習重、難點
重點：一元二次方程的求根公式。
難點：求根公式的條件：b2-4ac≥0。
學習過程：
一、自學質疑：
1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0。
2、用配方解一元二次方程的步驟是什么?
3、用配方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次方程的實數根呢?
二、交流展示：
剛才我們已經利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步驟解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?
三、互動探究：
一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)，當b2-4ac≥0時，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法。
由此我們可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系數a、b、c確定的'。因此，在解一元二次方程時，先將方程化為一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提條件下，把各項系數a、b、c的值代入，就可以求得方程的根。
注：(1)把方程化為一般形式后，在確定a、b、c時，需注意符號。
(2)在運用求根公式求解時，應先計算b2-4ac的值;當b2-4ac≥0時，可以用公式求出兩個不相等的實數解;當b2-4ac<0時，方程沒有實數解。就不必再代入公式計算了。
四、精講點撥：
例1、課本例題
總結:其一般步驟是：
(1)把方程化為一般形式，進而確定a、b，c的值。(注意符號)
(2)求出b2-4ac的值。(先判別方程是否有根)
(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后寫出方程的根。
例2、解方程：
(1)2x2-7x+3=0(2)x2-7x-1=0
(3)2x2-9x+8=0(4)9x2+6x+1=0
五、糾正反饋：
做書上第P90練習。
六、遷移應用：
例3、一個直角三角形三邊的長為三個連續偶數，求這個三角形的三條邊長。
例4、求方程的兩根之和以及兩根之積。
拓展應用:關于的一元二次方程的一個根是，則;
方程的另一根是
一元二次方程教學設計 11
一、教學目標
知識與技能
（1）理解一元二次方程的意義。
（2）能熟練地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次項系數，一次項系數及常數項。
過程與方法
在分析、揭示實際問題的數量關系并把實際問題轉化成數學模型（一元二次方程）的過程中，使學生感受方程是刻畫現實世界數量關系的工具，增加對一元二次方程的感性認識。
情感、態度與價值觀
通過探索建立一元二次方程模型的過程，使學生積極參與數學學習活動，增進對方程的認識，發展分析問題、解決問題的能力。
二、教材分析：教學重點難點
重點：經歷建立一元二次方程模型的過程，掌握一元二次方程的一般形式。
難點：準確理解一元二次方程的意義。
三、教學方法
創設情境——主體探究——合作交流——應用提高
四、學案
（1）預學檢測
3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定義是怎樣的？其一般形式是怎樣的？
五、教學過程
（一）創設情境、導入新
（1）自學本P2—P3并完成書本
（2）請學生分別回答書本內容再
（二）主體探究、合作交流
（1）觀察下列方程：
（35-2x）2=9004x2-9=03y2-5y=7
它們有什么共同點？它們分別含有幾個未知數？它們的左邊分別是未知數的幾次幾項式？
（2）一元二次方程的概念與一般形式？
如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊是只含一個未知數的二次多項式，那么這樣的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數a≠0），其中，a、b、c分別稱為二次項系數、一次項系數和常數項，如x2-x=56
(三)應用遷移、鞏固提高
例1：根據一元二次方程定義，判斷下列方程是否為一元二次方程？為什么？
x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2
例2：將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的.一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項。
解：去括號得
3x2-3x=5x+10
移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0
其中二次項系數為3，一次項系數為-8，常數項為-10。
學生練習：書本P4練習
（四）總結反思拓展升華
總結
1.一元二次方程的定義是怎樣的？
2.一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的項及系數都是根據一般式定義的，這與多項式中的項、次數及其系數的定義是一致的。
3.在實際問題轉化為一元二次方程數學模型的過程中，體會學習一元二次方程的必要性和重要性。
反思
方程ax3+bx2+cx+d=0是關于x的一元二次方程的條是a=0且b≠0，是一元一次方程的條是a=b=0且c≠0。
（五）布置作業
（1）必做題P4習題1.1A組1.2
（2）選做題： 若xm-2=9是關于x的一元二次方程，試求代數式（m2-5m+6）÷（m2-2m）的值。
一元二次方程教學設計 12
第一課時
一、教學目標
1、使學生會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間關系的應用題。
2、通過列方程解應用問題，進一步體會提高分析問題、解決問題的能力。
3、通過列方程解應用問題，進一步體會代數中方程的思想方法解應用問題的優越性。
二、重點·難點·疑點及解決辦法
1、教學重點：
會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間的關系的應用題。
2、教學難點：
根據數與數字關系找等量關系。
3、教學疑點：
學生對列一元二次方程解應用問題中檢驗步驟的理解。
4、解決辦法：
列方程解應用題，就是先把實際問題抽象為數學問題，然后由數學問題的解決而獲得對實際問題的解決。列方程解應用題，最重要的是審題，審題是列方程的基礎，而列方程是解題的關鍵，只有在透徹理解題意的基礎上，才能恰當地設出未知數，準確找出已知量與未知量之間的等量關系，正確地列出方程。
三、教學過程
1、復習提問：
（1）列方程解應用問題的步驟？
①審題。
②設未知數。
③列方程。
④解方程。
⑤答。
（2）兩個連續奇數的表示方法是，（n表示整數）
2、例題講解：
例1兩個連續奇數的積是323，求這兩個數。
分析：
（1）兩個連續奇數中較大的奇數與較小奇數之差為2，
（2）設元（幾種設法）a、設較小的'奇數為x，則另一奇數為，b、設較小的奇數為，則另一奇數為；c、設較小的奇數為，則另一個奇數。
以上分析是在教師的引導下，學生回答，有三種設法，就有三種列法，找三位學生使用三種方法，然后進行比較、鑒別，選出最簡單解法。
解法（一）設較小奇數為x，另一個為，
據題意，得
整理后，得
解這個方程，得。
由得，由得，
答：這兩個奇數是17，19或者－19，－17。
解法（二）設較小的奇數為，則較大的奇數為。
據題意，得
整理后，得
解這個方程，得。
當時，
當時，。
答：兩個奇數分別為17，19；或者－19，－17。
解法（三）設較小的奇數為，則另一個奇數為。
據題意，得
整理后，得
解得，，或。
當時，。
當時，。
答：兩個奇數分別為17，19；－19，－17。
引導學生觀察、比較、分析解決下面三個問題：
1、三種不同的設元，列出三種不同的方程，得出不同的x值，影響最后的結果嗎？
2、解題中的x出現了負值，為什么不舍去？
答：奇數、偶數是在整數范圍內討論，而整數包括正整數、零、負整數。
3、選出三種方法中最簡單的一種。
練習1、兩個連續整數的積是210，求這兩個數。
2、三個連續奇數的和是321，求這三個數。
3、已知兩個數的和是12，積為23，求這兩個數。
學生板書，練習，回答，評價，深刻體會方程的思想方法。
例2有一個兩位數等于其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求這兩位數。
分析：數與數字的關系是：
兩位數十位數字個位數字。
三位數百位數字十位數字個位數字。
解：設個位數字為x，則十位數字為，這個兩位數是。
據題意，得，
整理，得，
解這個方程，得（不合題意，舍去）
當時，
答：這個兩位數是24。
以上分析，解答，教師引導，板書，學生回答，體會，評價。
注意：在求得解之后，要進行實際題意的檢驗。
練習1有一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為8，如果把十位數字與個位數字調換后，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得1855，求原來的兩位數。（35）
教師引導，啟發，學生筆答，板書，評價，體會。
四、布置作業
補充：一個兩位數，其兩位數字的差為5，把個位數字與十位數字調換后所得的數與原數之積為976，求這個兩位數。
五、板書設計
探究活動
將進貨單價為40元的商品按50元售出時，能賣500個，已知該商品每漲價1元時，其銷售量就減少10個，為了賺8000元利潤，售價應定為多少，這時應進貨為多少個？
參考答案：
精析：此題屬于經營問題。設商品單價為（50+）元，則每個商品得利潤元，因每漲1元，其銷售量會減少10個，則每個漲價元，其銷售量會減少10個，故銷售量為（500）個，為賺得8000元利潤，則應有（500）。故有=8000
當時，50+=60，500=400
當時，50+=80，500=200
所以，要想賺8000元，若售價為60元，則進貨量應為400個，若售價為80元，則進貨量應為200個。
一元二次方程教學設計 13
一、復習引入
1、已知方程x2—ax—3a=0的一個根是6，則求a及另一個根的值。
2、有上題可知一元二次方程的系數與根有著密切的關系。其實我們已學過的求根公式也反映了根與系數的關系，這種關系比較復雜，是否有根簡潔的關系？
3、有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1=，x2=、觀察兩式左邊，分母相同，分子是—b+√b2—4ac與—b—√b2—4ac。兩根之間通過什么計算才能得到更簡潔的關系？
二、探索新知
解下列方程，并填寫表格：
方程x1x2x1+x2x1、x2
x2—2x=0
x2+3x—4=0
x2—5x+6=0
觀察上面的.表格，你能得到什么結論？
（1）關于x的方程x2+px+q=0（p，q為常數，p2—4q≥0）的兩根x1，x2與系數p，q之間有什么關系？
（2）關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1，x2與系數a，b，c之間又有何關系呢？你能證明你的猜想嗎？
解下列方程，并填寫表格：
方程x1x2x1+x2x1、x2
2x2—7x—4=0
3x2+2x—5=0
5x2—17x+6=0
小結：1、根與系數關系：
（1）關于x的方程x2+px+q=0（p，q為常數，p2—4q≥0）的兩根x1，x2與系數p，q的關系是：x1+x2=—p，x1、x2=q（注意：根與系數關系的前提條件是根的判別式必須大于或等于零。）
（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先將二次項系數化為1，再利用上面的結論。
即：對于方程ax2+bx+c=0（a≠0）
∵∴
∴，
（可以利用求根公式給出證明）
例1：不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：
例2：不解方程，檢驗下列方程的解是否正確？
例3：已知一元二次方程的兩個根是—1和2，請你寫出一個符合條件的方程、（你有幾種方法？）
例4：已知方程的一個根是，求另一根及k的值、
變式一：已知方程的兩根互為相反數，求k；
變式二：已知方程的兩根互為倒數，求k；
三、鞏固練習
1、已知方程的一個根是1，求另一根及m的值、
2、已知方程的一個根為，求另一根及c的值、
四、應用拓展
1、已知關于x的方程的一個根是另一個根的2倍，求m的值、
2、已知兩數和為8，積為9，求這兩個數、
3、x2—2x+6=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=2，x1x2=6、是否正確？
五、歸納小結
1、根與系數的關系：
2、根與系數關系使用的前提是：
（1）是一元二次方程；
（2）判別式大于等于零、
六、布置作業
1、不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積。
（1）x2—5x—3=0
（2）9x+2=x2
（3）6x2—3x+2=0
（4）3x2+x+1=0
2、已知方程x2—3x+m=0的一個根為1，求另一根及m的值、
3、已知方程x2+bx+6=0的一個根為—2求另一根及b的值、
一元二次方程教學設計 14
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
“一元二次方程的解法”是初中代數的方程中的一個重要內容之一，是在學完一元一次方程、因式分解、數的開方、以及前三種因式分解法、直接開方法、配方法解一元二次方程的基礎上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和開平方兩個知識的綜合運用和升華。通過本節課的教學使學生明確配方法是解方程的通法，同時會根據題目選擇合適的方法解一元二次方程。一元二次方程的解法也是今后學習二次函數和一元二次不等式的基礎。
（二）教學目標
知識技能方面：理解一元二次方程求根公式的推導過程，會用公式法解一元二次方程。
數學思考方面：通過求根公式的推導過程進一步使學生熟練掌握配方法，培養學生數學推理的嚴密性和邏輯性以及由特殊到一般的數學思想。
解決問題方面：結合用公式法解一元二次方程的練習，培養學生快速準確的運算能力和運用公式解決實際問題的能力。
情感態度方面：讓學生體驗到所有的方程都可以用公式法解決，感受到公式的對稱美、簡潔美，滲透分類的思想；公式的引入培養學生尋求簡便方法的探索精神和創新意識。
（三）教學重、難點
重點：掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟；會熟練用公式法解一元二次方程。
難點：理解求根公式的推導過程和判別式
二、教學法分析
教法：本節課采用引導發現式的自主探究式與交流討論結合的方法；在教學中由舊知識引導探究一般化問題的形式展開，利用學生已有的知識、多交流、主動參與到教學活動中來。
學法：讓學生學會善于觀察、分析討論和分類歸納的方法，提出問題后，鼓勵學生通過分析、探索、嘗試解決問題的方法，銅鎖親自嘗試，使學生的思維能力得到培養。
三、過程分析
本節課的教學設計成以下六個環節：復習導入——呈現問題——例題講解——鞏固練習課時小結——布置作業。
1、復習引入：
這節課，我首先從舊知
問題（1）用配方法解方程2x28x90的練習引入，
問題（2）總結配方法的一般步驟（化一般方程——二次項系數為1——配方使左邊為完全平方式——兩邊開方——求解）。
設計意圖：讓學生鞏固昨天的知識，進一步熟練鑰匙并為今天做學的內容解一般形式的一元二次方程做好鋪墊，達到“溫故而知新”。
2、問題呈現：
你能用配方法解一般形式的一元二次方程嗎？
此處由一個特殊的舊知引導學生推導出一般的結果，希望學生學會由特殊性到一般化的思想。為降低b2b24ac推導的難度，化簡、移項、配方、變形由我和學生一起探究完成，到(x這步時，提出)
問題：①此時可以直接開平方嗎？
②等號右邊的值需要滿足什么條件？為什么？
③等號右邊的值只跟哪個式子有關？
設計意圖：師生共同完成前四步，這樣與利于減輕學生的思維負擔，便于將主要精力放在后邊公式的推導上。通過小組的討論有利于發揮學生的'互幫互助，借助小組的交流完善答案，關鍵讓學生會對掌握b24ac與方程有無實數根的關系，這里分類思想也是今后常用的一種數學思想，b24ac進行討論，
應加以強化。
最終總結出：
當b24ac＜0時，原方程無實數解。
當b24ac≥0時，原方程有實數解，
再進一步談論：b24ac＝0與b24ac＞0時，兩個解區別？
（b24ac＝0時，兩個相等的實數解，b24ac＞0時，兩個不等的實數解）
由此可知，方程有解還是無解是由b24ac決定，即b24ac是方程解的判別式。
同時，方程的解是可以將a、b、c
的值帶入公式x根公式”，利用它解一元二次方程叫做公式法。
3、例題講解
例4：用公式法解下列方程
總結步驟：
1、把方程公成一般形式，并寫出a,b,c的值。
2、求出b24ac的值
4、寫出方程的解：x1=,x2=
設計意圖：規范解題格式，讓學生體會數學課中的嚴謹的邏輯推理；體驗并掌握公式法解一元二次方程的步驟，從中讓學生領會到由特殊到一般，一般到特殊的辯證思想。
4、鞏固練習
解下列一元二次方程：①x2x60
②4x2x90
③x2100
設計意圖：
（1）熟悉公式法，強化解題格式，
（2）及時發現錯誤及時解決。
例5:解方程：x(x1)(x2)
化簡得12212x3x402
強調：
①當方程不是一般形式時，應先化成一般形式，再運用求根公式。
②你還能用其他方法解本例方程嗎？
設計意圖：明確一元二次方程解題方法的多樣性，讓學生在你觀察分析題目后靈活合理的選擇解題方法，培養學生的多樣化思維，提高解題能力和解題的速度。
5、課時小結
（1）學生作知識總結：本節課通過配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步驟解一元二次方程。
（2）我擴展：（方法歸納）求根公式是一元二次方程的專用公式，只有在確定方程是一元二次方程時才能使用，是常用而重要的一元二次方程的萬能求根公式。
6、布置作業：面向全體學生，注重個體差異，加強作業的針對性，分層布置作業，適應新課標，讓不同的學生各其所長，因材施教的要求，提高他們的學習的興趣和自信心。
四、板書設計
本節課內容較為單一，通過“層層設疑”、“復習回顧”等環節促進學生的思考和探究。
通過比較合理的問題設計鞏固練習、小組討論等形式給學生提供了充分的展示機會，強化了學生的運算能力，有利于學生掌握基本技能。
一元二次方程教學設計 15
教學目標
知識技能：掌握應用方程解決實際問題的方法步驟，提高分析問題、解決問題的能力。
過程與方法：通過探索球積分表中數量關系的過程，進一步體會方程是解決實際問題的數學模型，并且明確用方程解決實際問題時，不僅要注意解方程的過程是否正確，還要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義。
情感態度：鼓勵學生自主探究，合作交流，養成自覺反思的良好習慣。
重點：把實際問題轉化為數學問題，不僅會列方程求出問題的解，還會進行推理判斷。
難點：把數學問題轉化為數學問題。
關鍵：從積分表中找出等量關系。
教具：投影儀。
教法：探究、討論、啟發式教學。
教學過程
一、創設問題情境
用投影儀展示幾張比賽場面及比分(學習是生活需要，引起學生興趣)
二、引入課題
教師用投影儀展示課本106頁中籃球聯賽積分榜引導學生觀察，思考：①用式子表示總積分能與勝、負場數之間的數量關系;
②某隊的勝場總分能等于它的負場總積分么?
學生充分思考、合作交流，然后教師引導學生分析。
師：要解決問題①必須求出勝一場積幾分，負一場積幾分，你能從積分榜中得到負一場積幾分么?你選擇哪一行最能說明負一場積幾分?
生：從最下面一行可以發現，負一場積1分。
師：勝一場呢?
生：2分(有的用算術法、有的用方程各抒己見)
師：若一個隊勝a場，負多少場，又怎樣積分?
生：負(14-a)場，勝場積分2a，負場積分14-a，總積分a+14.
師：問題②如何解決?
學生通過計算各隊勝、負總分得出結論：不等。
師：你能用方程說明上述結論么?
生：老師，沒有等量關系。
師：欸，就是，已知里沒說，是不是不能用方程解決了?誰又沒有大膽設想?
生：老師，能不能試著讓它們相等?
師：偉大的發明都是在嘗試中進行的，試試?
生：如果設一個隊勝了x場，則負(14-x)場，讓勝場總積分等負場總積分，方程為：2x=14-x解得x=4/3(學生掌聲鼓勵)
師：x表示什么?可以是分數么?由此你的出什么結論?
生：x表示勝得場數，應該是一個整數，所以，x=4/3不符合實際意義，因此沒有哪個隊的勝場總積分等于負場總積分。
師：此問題說明，利用方程不僅求出具體數值，而且還可以推理判斷，是否存在某種數量關系;還說明用方程解決實際問題時，不僅要注意方程解得是否正確，還要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義。
拓展
如果刪去積分榜的最后一行，你還能用式子表示總積分與勝、負場數之間的數量關系嗎?
師：我們可以從積分榜中積分不相同的兩行數據求的勝負一場各得幾分，如：一、三行。
教師引導學生設未知數，列方程。學生試說。
生：設勝一場積x分，則前進隊勝場積分10x，負場積分(24-10x)分，它負了4場，所以負一場積分為(24-10x)/4,同理從第三行得到負一場積分為(23-9x)/5，從而列方程為(24-10x)/4=(23-9x)/5。解得x=2，當x=2時，(24-10x)/4=1。仍然可得負一場積1分，勝一場積2分。
三、鞏固練習
已知某山區的平均氣溫與該山的海拔高度的關系見表：
海拔高度(單位：m)
100
200
300
400
平均氣溫(單位：℃)
22
21.5
21
20.5
20
若某種植物適宜生長在18℃20℃(包括18℃20℃)的山區，請問該植物適宜種在海拔為多少米的山區?
學生分析題意，思考，在練習本上完成，然后同桌小議，代表發言，教師點撥。
四、課堂小結：
讓幾個學生談自己的`收獲，再讓一個學生全面總結。
五、布置作業：
課本108頁8、9題。
六、教學反思
本節課主要是借球賽積分表問題傳授數學知識的應用。在前面已經討論過由實際問題抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的基礎上，本節進一步以探究的形式討論如何用一元一次方程解決實際問題。要探究的問題比前幾節的問題復雜些，問題情境與實際情況更接近。本節的重點是建立實際問題的方程模型。通過探究活動，進一步體驗一元一次方程與實際的密切聯系，加強數學建模思想，培養運用一元一次方程分析和解決問題的能力。
由于本節問題的背景和表達都比較貼近實際，其中的有些數量關系比較隱蔽，所以在探究過程中正確建立方程是難點，教師要恰當的引導，讓學生弄清問題背景，分析清楚有關數量關系，找出可作為方程依據的主要相等關系，但教師不要代替學生的思考。
一元二次方程教學設計 16
一、學生知識狀況分析
學生已經學習了一元二次方程及其解法，對于方程的解及解方程并不陌生，實際問題的應用，有些抽象，雖然學生在七、八年級已經進行了有關的訓練，但還是有一定的難度。
本節內容針對的學生是才進入九年級的學生，他們已經具備了一定的抽象思維和建模能力，也具備一定的生活經驗和初步的解一元二次方程的經驗。
二、教學任務分析
本節課的主要是發展學生抽象思維，強化學生的應用意識，使學生能通過抽象思維將一個應用題抽象成一元二次方程使問題得以解決，這也是方程教學的重要任務。但學生抽象意識和能力的發展不是自發的，需要通過大量的應用實例，在實際問題的解決中讓學生感受到其廣泛應用，并在具體應用中增強學生的應用能力。因此，本節教學中需要選用大量的實際問題，通過列方程解決問題，并且在問題解決過程中，促進學生分析問題、解決問題意識和能力的提高以及抽象思維的初步形成。顯然，這個任務并非某個教學活動所能達成的，而應在教學活動中創設大量的問題解決的情境，在具體情境中發展學生的有關能力。為此，本節課的教學目標是：
知識目標：
通過分析問題中的數量關系，抽象出方程解決問題，認識方程模型的重要性，并總結運用方程解決實際問題的一般過程。
能力目標：
1、經歷分析，抽象和建模的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效的數學模型；
2、能夠抽象出一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力；
情感態度價值觀：
在問題解決中，經歷一定的合作交流活動，進一步發展學生合作交流的意識和能力。
三、學法指導
本課是學生學習完一元二次方程的解法后的應用課，雖然學生在七八年級已經進行了一定的訓練，但本課對學生而言還是有一定的難度。本課采用啟發式、問題串討論式、合作學習相結合的方式,引導學生從已有的知識和生活經驗出發，以教材提供的素材為基礎，引導學生對對問題中的數量進行分析從而抽象出方程解決問題；學生之間的合作交流、互助學習，能更好地調動學生的學習積極性，更符合學生的認知規律。無論是例題的分析還是練習的分析，盡可能地鼓勵學生動腦、動手、動口，為學生提供展示自己聰明才智的機會，并且在此過程中發現學生分析問題、解決問題的獨到見解以及思維的誤區，更好地進行學法指導。
四、教學過程分析
本課時分為以下五個教學環節：第一環節：回憶鞏固，情境導入；第二環節：做一做，探索新知；第三環節：練一練，鞏固新知；第四環節：收獲與感悟；第五環節：布置作業。
第一環節；情境導入
活動內容：提出問題：還記得梯子下滑的問題嗎？
在這個問題中，梯子頂端下滑1米時，梯子底端滑動的距離大于1米，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？如果梯子長度是13米，梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？
分組討論：
怎么設未知數？在這個問題中存在怎樣的等量關系？如何利用勾股定理抽象出方程？
活動目的：以學生所熟悉的梯子下滑問題為素材，以前面所學的勾股定理為切入點，用熟悉的情境激發學生解決問題的欲望，用學生已有的知識為支點抽象出一元二次方程使問題得以解決，進一步讓學生體會數形結合的思想。
活動的實際效果：大部分學生能夠聯系以前學過的勾股定理的三邊關系抽象出方程對上述問題進行思考，能夠在老師的引導下主動地探究問題，取得了比較理想的效果，而且也調動了學生的學習熱情，激發了學生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎。
第二環節探索新知
活動內容：見課本P53頁例1：
如圖：某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標B，在B的正東方向200海里處有一重要目標C，小島D位于AC的中點，島上有一補給碼頭。小島F位于BC中點。一艘軍艦從A出發，經B到C勻速巡航，一艘補給船同時從D出發，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達軍艦。
已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結果精確到0.1海里）
在教學中要給學生充分的時間去審清題意，分析各量之間的關系，不能粗線條解決。在講解過程中可逐步分解難點：審清題意；找準各條有關線段的長度關系；通過抽象思維建立方程模型，之后求解。
實際應用問題比較抽象，因此教學中老師要給學生充分的時間去審清題意，讓學生自己反復審題，弄清各量之間的關系，分析題目中的已知條件和要求解的問題，并在這個前提下抽象出圖形中各條線段所表示的量，弄清它們之間的關系，從而抽象出方程模型解決問題。
在學生分析題意遇到困難時，教學中可設置問題串分解難點：
（1）要求DE的長，需要如何設未知數？
（2）怎樣建立含DE未知數的等量關系？從已知條件中能找到嗎？
（3）利用勾股定理建立等量關系，如何構造直角三角形？
（4）選定后，三條邊長都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？
學生在問題串的引導下，逐層分析，在分組討論后抽象出題目中的等量關系即：
速度等量：V軍艦=2×V補給船
時間等量：t軍艦=t補給船
三邊數量關系：
弄清圖形中線段長表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示補給船的路程，AB＋BE表示軍艦的路程。
學生在此基礎上選準未知數，用未知數表示出線段：DE、EF的長，根據勾股定理抽象出方程求解，并判斷解的合理性。
鞏固練習：1、一個直角三角形的`斜邊長為7cm，一條直角邊比另一條直角邊長1cm，那么這個直角三角的面積是多少？
文本框:8cm2、如圖：在RtACB中，∠C=90°，點P、Q同時由A、B兩點出發分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半？
3、在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直），把耕地分成大小相等的六塊作試驗田，要使試驗田面積為570平方米，問道路應為多寬？
說明：三個題目的設計從簡單問題入手，第一題通過勾股定理抽象出一元二次方程解決直角三角形邊長問題；第2題構造了一個可變的直角三角形，抽象出方程解決面積問題；第三題也是面積問題，在這個問題中常設道路寬為x米，通過平移道路使六塊田地變成一塊田地，從而根據矩形面積公式抽象出方程解決問題。
活動目的：一元二次方程的應用題的類型較多，像數字問題、面積問題、平均增長（或降低）率問題、利潤問題等；本節課以教材上的引例作為出發點，作為素材來呈現，可以將應用類型作適當的拓展，在練習中將教材中的應用問題歸類呈現出來，便于學生理解和掌握。本課由數形結合問題拓展到面積問題，后面可以在練習中增加數字問題，為學生呈現更多的應用類型，讓學生在不同的情境中體會數學抽象和建模的重要性。
活動實際效果：應用問題設置都經過精心準備。通過問題串的設立，將比較復雜、難以理解的題目分成多個小的題目去理解，使學生在不知不覺中克服困難，體會到通過抽象出方程解應用題的三個重要環節：整體系統的審清題意；尋找等量關系；正確求解并檢驗解的合理性。采取的是一講一練，從鞏固練習的準確程度上來看，學生掌握得比較好，能夠達到預期的效果。
第三環節：練一練，鞏固新知
活動內容：1、在一塊正方形的鋼板上裁下寬為20cm的一個長條，剩下的長方形鋼板的面積為4800cm2。求原正方形鋼板的面積。
2、有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等于20，積等于96，多的一筆錢被許諾賞給賽義德，那么賽義德得到多少錢？
3、《九章算術》“勾股”章有一題：甲、乙二人同時從同一地點出發，甲的速度為7，乙的速度為3。乙一直向東走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇。那么相遇時，甲、乙各走了多遠？
活動目的：通過三道問題的解決，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用知識的程度。在教學過程中要以學生為主體，引導學生自主發現、合作交流。活動實際效果：學生在前面活動中積累的經驗，可以幫助學生比較順利地分析上述問題，遇有疑難可以讓學生在合作交流中解決，學生在訓練過程中更加理解數學抽象和建模的重要性、大部分學生能夠獨立解決問題。
第四環節：收獲與感悟
活動內容：提問：
1、列方程解應用題的關鍵；2、列方程解應用題的步驟；3、列方程應注意的一些問題。
學生在學習小組中回顧與反思，并進行組間交流發言。
活動目的：鼓勵學生回顧本節課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，還有什么疑難問題希望得到解決；通過對三個問題的解決，加深學生通過抽象思維抽象出方程解決實際問題的意識和能力；并且通過學生間的合作學習幫助不同層次的孩子解決實際困難，增強孩子學好數學的信心。
活動實際效果：學生通過回顧本節課的學習過程，體會利用抽象思維抽象出一元二次方程解決實際問題的方法和技巧，進一步提高自己解決問題的能力。
第五環節：布置作業
1、甲乙兩個小朋友的年齡相差4歲，兩個人的年齡相乘積等于45，你知道這兩個小朋友幾歲嗎？
2、一塊長方形草地的長和寬分別為20m和15m，在它四周外圍環繞著寬度相等的小路，已知小路的面積為246，求小路的寬度。
3、一個兩位數等于其數字之積的3倍，其十位數比個位數小2，求這兩位數。
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