《二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象》教學(xué)設(shè)計

時間：2021-06-12 08:52:11 教學(xué)設(shè)計我要投稿

　　教學(xué)目標(biāo)：

《二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象》教學(xué)設(shè)計

　　1、使學(xué)生進一步理解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

　　2、滲透解析幾何，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)等數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題，及邏輯思維的能力。

　　3、使學(xué)生參與教學(xué)過程，通過主體的積極思維，體驗感悟數(shù)學(xué)。逐步建立數(shù)學(xué)的觀念，培養(yǎng)學(xué)生獨立地獲取知識的能力。

　　教學(xué)重點：

　　初步理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

　　教學(xué)難點：

　　初步理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

　　教學(xué)用具：

　　微機

　　教學(xué)方法：

　　探究式、小組合作學(xué)習(xí)

　　教學(xué)過程：

　　例1、已知：拋物線y=x2－（m2－1）x－2m2－2

　　⑴求證：無論m取什么實數(shù)，拋物線與x軸一定有兩個交點

　　⑵m取什么實數(shù)時，兩交點間距離最短？是多少？

　　解：

　　△ =(m2－1)2＋4(2m2＋2)

　　=m4－2m2＋1＋8m2＋8

　　=m4＋6m2＋9

　　=(m2＋3)2

　　m2≥0

　　∴m2＋3＞0

　　∴△＞0

　　∴拋物線與x軸有兩個交點

　　問題：為什么說當(dāng)△＞0時，拋物線y =ax2+bx+c與x軸有兩個交點。（能否從數(shù)和形兩方面說明）

　　設(shè)計意圖：在課堂上創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生說數(shù)學(xué)的機會，學(xué)會合作學(xué)習(xí)，以達到①經(jīng)驗共享，在思維的碰撞中共同提高。②學(xué)會合作，消除個人中心。③發(fā)現(xiàn)自我，提高參與度。④弘揚個體的主體性，形成健康，豐富的個性。

　　數(shù)：點在曲線上，點的坐標(biāo)滿足曲線的方程。反之，曲線方程的每一個實數(shù)解對應(yīng)的點都在曲線上。拋物線與x軸的交點，既在拋物線上，又在x軸上。所以交點的坐標(biāo)既滿足拋物線的解析式，也滿足x軸的解析式。設(shè)交點坐標(biāo)為（x，y）

　　∴

　　這樣交點問題就轉(zhuǎn)化成求這個二元二次方程組的解。代入y =0，消去y，轉(zhuǎn)化成ax2+bx+c=0這個一元二次方程求根問題。根據(jù)以前學(xué)過的知識，當(dāng)△＞0時， ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根。∴y =ax2+bx+c

　　y =0

　　有兩個不等的實數(shù)解

　　∴拋物線與ｘ軸交于兩個不同的點。

　　形：頂點在ｘ軸上方，且開口向下。或者頂點在ｘ軸下方，且開口向上。

　　設(shè)計意圖：滲透解析幾何的基本思想

　　使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化思想使學(xué)生在解題過程當(dāng)中，感知數(shù)學(xué)的直觀性和形式化這二重性。掌握數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想方法。逐步學(xué)會數(shù)學(xué)的思維。

　　轉(zhuǎn)化成代數(shù)語言為：

　　小結(jié)：第一種方法，根據(jù)解析幾何的基本思想。將求曲線的交點問題，轉(zhuǎn)化成求方程組的解的問題。

　　第二種方法，借助于圖象思考問題，比較直觀。發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再用數(shù)學(xué)的符號語言將其形式化。這既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合的思想方法，也是探索解數(shù)學(xué)問題的一般方法。

　　思考：試從數(shù)、形兩方面說明拋物線與x軸的交點個數(shù)與判別式的符號的關(guān)系。

　　設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個再創(chuàng)造的過程，不能等同于數(shù)學(xué)知識的匯集，而要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造過程。使主體積極地參與到學(xué)習(xí)中去。以數(shù)學(xué)知識為載體，揭示出蘊涵于其中的數(shù)學(xué)思想方法，逐步形成數(shù)學(xué)觀念。

　　⑵m取什么實數(shù)時，兩交點間距離最短?是多少?

　　解：設(shè)二次函數(shù)與x軸的兩交點為(x1，0)，(x2，0)

　　解法㈠由⑴可知m為任何實數(shù)時，都有△＞0

　　解①

　　∴ x1＋x2=m2－1

　　x1·x2=－2(m2＋1)

　　∴│x2－x1│=

　　=m2＋3

　　∴當(dāng)m =0時，兩交點最小距離為3

　　這里兩交點間距離是m的函數(shù)

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生的問題意識。在解題過程當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)問題，并能運用已有的數(shù)學(xué)知識，將其一般化，形式化，解決問題，體會數(shù)學(xué)問題解決的一般方法。培養(yǎng)學(xué)生獨立地獲取數(shù)學(xué)知識的'能力。滲透函數(shù)思想

　　問題：觀察本題兩交點間距離與判別式的值之間有何異同？具有一般的規(guī)律嗎？如何說明。

　　設(shè)x1、x2 為ax2+bx+c =0的兩根

　　可以推出：

　　還可以理解為頂點到x軸距離最短。

　　設(shè)計意圖：在對比、分析中，明確概念，揭示知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

　　小結(jié)：觀察這道題的結(jié)論，我們猜測出規(guī)律，將其一般化，推導(dǎo)出這個公式，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的一般方法。

　　解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根。

　　思考：一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系。

　　思考：求m取什么實數(shù)時，y =x2－（m2－1）x －2 m2－2被直線y =2所截得的線段最短？是多少？

　　練習(xí)：

　　觀察函數(shù) 的圖象，回答：

　　（1）y>0時，x的取值范圍如何？

　　（2）y=0時，x取什么值？

　　（1）y<0時，x的取值范圍如何？

　　小結(jié)：數(shù)與形是數(shù)學(xué)中相互依賴的兩個方面。圖形比較直觀，可以啟發(fā)思路；而數(shù)學(xué)的嚴(yán)格證明也是必不可少的。直觀性和形式化是數(shù)學(xué)的兩重性。

　　探究活動

　　探究問題：

　　欣欣日用品零售商店，從某公司批發(fā)部每月按銷售合同以批發(fā)單價每把8元購進雨傘（數(shù)量至少為100把），欣欣商店根據(jù)銷售記錄，這批雨傘以零售單價每把為14元出售時，月銷售量為100把。如果零售單價每降價0。1元，月銷售量就要增加5把。

　　(1) 欣欣日用品零售商店以零售單價14元出售時，一個月的利潤為多少元？

　　(2) 欣欣日用品零售商店為了擴大銷售記錄，現(xiàn)實行降價銷售，問分別降價0。2元、0。8元、1。2元、1。6元、2。4元、3元時的利潤是多少？

　　(3) 欣欣日用品零售商店實行降價銷售后，問降價多少元時利潤最大？最大利潤為多少元？

　　(4) 現(xiàn)在該公司的批發(fā)部為了再次擴大這種雨傘的銷售量，給零售商制定如下優(yōu)惠措施：如果零售商每月從批發(fā)部購進雨傘的數(shù)量超過100把，其超過100把的部分每把按原價九五折（即百分之95）付費，但零售價每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店應(yīng)將這種雨傘的零售單價定為每把多少元出售時，才能使這種雨傘的月銷售利潤最大？最大月銷售利潤是多少元？（銷售利潤=銷售款額—進貨款額）

　　解：（1）（14—8）（元）

　　（2）638元、728元、748元、792元、792元、750元。

　　（3）設(shè)降價元時利潤最大，最大利潤為元

　　∴ 當(dāng) 時，有最大值

　　元

　　（4）設(shè)降價元時利潤最大，利潤為元

　　（其中）。

　　化簡，得。

　　，

　　∴ 當(dāng) 時，有最大值。

　　∴ 。

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