平面向量教學課件
平面向量是在二維平面內既有方向又有大小的量，物理學中也稱作矢量，與之相對的是只有大小、沒有方向的數量（標量）。平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。
【學習目標】
1、理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；
2、掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；
3、掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；
4、了解向量線性運算的性質及其幾何意義。
【學習要點】
1、向量概念
________________________________________________________叫零向量，記作 ；長度為______的向量叫做單位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。
規定： 與______向量平行；長度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。
2、向量加法
求兩個向量和的運算，叫做向量的加法，向量加法有___________法則與______________法則。
3、向量減法
向量 加上 的相反向量叫做 與 的差，記作_________________________，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。
4、實數與向量的積
實數 與向量 的積是一個_______，記作________，其模及方向與____的值密切相關。
5、兩向量共線的充要條件
向量 與非零向量 共線的充要條件是有且只有一個實數 ，使得__________。
【典型例題】
例1 在四邊形ABCD中， 等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
例2 若平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O，且 ， ，則 、 表示向量 為 （ ）
A、 + B、 — C、— + D、— —
例3 設 、 是兩個不共線的向量，則向量 與向量 共線的充要條件是 （ ）
A、 0 B、 C、 1 D、 2
例4 下列命題中：
（1） = ， = 則 =
�。�2）| |=| |是 = 的必要不充分條件
（3） = 的充要條件是
（4） = （ ）的充要條件是 =
其中真命題的有__________________。
例5 如圖5-1-1，以向量 ，為邊作平行四邊形AOBD，又 ，，用 、 表示 、 和 。
【課堂練習】
1、 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、“兩向量相等”是“兩向量共線”的（ ）
A、充分不必要條件 B、必要不充分條件
C、充要條件 D、既不充分也不必要條件
3、 已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A、C），則 等于 （ ）
A、
B、
C、
D、
4、若| |=1，| |=2， =且 ，則向量 與 的夾角為（ ）
A、300 B、600 C、1200 D、1500
【課堂反思】
2.2 平面向量的坐標運算
【學習目標】
1、知識與技能：了解平面向量的基本定理及其意義、掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；理解用坐標表示的平面向量共線的條件。
2、能力目標：會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算；
3、情感目標：通過對平面向量的基本定理來理解坐標，實現從圖形到坐標的轉換過程，鍛煉學生的轉化能力。
【學習過程】
1、平面向量基本定理
如果 、 是同一平面內的兩個 的向量，那么對這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 、 使 ，其中不共線的向量 、 叫做表示這一平面內所有向量的'一組 。
2、平面向量的正交分解及坐標表示
把一個向量分解為兩個互相 的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐標系內，分別取與 軸、 軸正方向相同的兩個 向量 、 作為基底，對任一向量 ，有且只有一對實數 、 使得 ，則實數對（ ， ）叫做向量 的直角坐標，記作 = ，其中 、 分別叫做 在 軸、 軸上的坐標， 叫做向量 的 表示。相等向量其坐標 ，坐標相同的向量是 向量。
3、平面向量的坐標運算
（1）若 = ， = ，則 =
�。�2）若A ，B ，則
�。�3）若 =（ ， ），則
4、平面向量共線的坐標表示
若 = ， = ， 則 // 的充要條件是
5、若 ，其中 ，則有：
【典型例題】
例1 設 、 分別為與 軸、 軸正方向相同的兩個單位向量，若 則向量 的坐標是（ ）
A、（2，3） B、（3，2） C、（—2，—3） D、（—3，—2）
例2 已知向量 ，且 // 則 等于( )
A、 B、— C、 D、—
分析 同共線向量的充要條件易得答案。
例3 若已知 、 是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是 ( )
A、 與— B、3 與2 C、 + 與 — D、 與2
例4 已知 當實數 取何值時， +2 與2 —4 平行？
【課堂練習】
1、已知 =（1，2）， =（—2，3）若 且
則 ____________, _________________。
2、已知點A（ ，1）、B（0，0）、C（ ，0），設∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有 其中 等于( )
A、2 B、 C、—3 D、
3、平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A 若點C滿足 ，其中 、 且 + 則點C的軌跡方程為 ( )
A、 B、
C、 D、
4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）且 ， 求點M、N的坐標及向量 的坐標。
【課堂反思】
2.3 平面向量的數量積及其運算
【學習目標】
1．知識與技能：
（1）理解向量數量積的定義與性質；
�。�2）理解一個向量在另一個向量上的投影的定義；
�。�3）掌握向量數量積的運算律；
�。�4）理解兩個向量的夾角定義；
2．過程與方法：
（1）能用投影的定義求一個向量在另一個向量上的投影；
（2）能區別數乘向量與向量的數量積；
�。�3）掌握兩向量垂直、平行和反向時的數量積；
3．情感、態度與價值觀：
�。�1）培養學生用數形結合的思想理解向量的數量積及它的幾何意義；
（2）使學生體會周圍事物周期變化的奧秘，從而激發學生學習數學的興趣；
（3）培養數形結合的數學思想；
【學習過程】
1、請寫出平面向量的坐標運算公式：
（1）若 = ， = ，則 =
�。�2）若A ，B ，則
�。�3）若 =（ ， ），則
2、平面向量共線的坐標表示
若 = ， = ， 則 // 的充要條件是
3、兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量 與 ，作 ＝ ， ＝ ，則_________________________叫 與 的夾角.
4、我們知道，如果一個物體在力F（與水平方向成θ角）的作用下產生位移s，那么力F所做的功W=
5、數量積的概念：
（1）兩個非零向量 、 ，過O作 = ， = ，則∠AOB叫做向量 與 的夾角，顯然，夾角
�。�2）若 與 的夾角為90 ，則稱 與 垂直，記作 ⊥
�。�3） 、 是兩個非零向量，它們的夾角為 ，則 叫做 與 的數量積（或內積），記作 。
即 =| || |cos
規定 =0，顯然，數量積的公式與物理學中力所做功的運算密切相關。
特別提醒：
�。�1）（０≤θ≤π）.并規定 與任何向量的數量積為0
�。�2）兩個向量的數量積的性質：
設 、 為兩個非零向量，
1) = 0
2)當 與 同向時， = | || |；當 與 反向時， = | || |
特別的 = | |2或.
3)cos = ；
4)| | ≤ | || |
6、“投影”的概念：如圖
定義： _____ _______叫做向量b在a方向上的投影
特別提醒：
投影也是一個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當 = 0時投影為 |b|；當 = 180時投影為 |b|
3、平面向量數量積的運算律
交換律： =______
數乘結合律： =_________=__________
分配律： =_____________
【典型例題】
例1 邊長為 的正三角形ABC中，設 ， ， 則=
例2 已知△ABC中， ， ， ， ABC的面積 ，且| |=3，| |=5，則 與 的夾角為
例3 已知 =（1，2）， =（6，—8）則 在 上的投影為
【課堂練習】
1、已知 、 均為單位向量，它們的夾角為 那么 =
2、已知單位向量 與 的夾角為 ，且 ， ，求 及 與 的夾角 。
3、若 ， ，且向量 與 垂直，則一定有( )
A、 B、 C、 D、 且
4、設 是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題
�、�
②
③ 不與 垂直
�、�
其中正確的有（ ）
A、①② B、②③ C、③④ D、②④
5、已知平面上三點A、B、C滿足 ，則
的值等于____ ______
【課后反思】
2.4 平面向量的應用
【學習目標】
一、知識與技能
1.經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學 問題與其他一些實際問題的 過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力
2.運用向量的有關知識對物理中的問題進行相關分析和計算，并在這個過程中培養學生探究問題和解決問題的能力
二、過程與方法
1.通過例題，研究利用向量知識解決物理中有關“速度的合成與分解”等問題
2.通過本節課的學習，讓學生體會應用向量知識處理平面幾何問題、力學問題與其它一些實際問題是一種行 之有效的工具；和同學一起總結方法，鞏固強化.[來源:學科網]
三、情感、態度與價值觀
1.以學生為主體，通過問題和情境的設置，充分調動和激發學生的學習興趣，培養學生解決實際問題的能力.
2.通過本節的學習，使同學們對用向量研究幾何以及其它學科有了一個初步的認識；提高學生遷移知 識的能力、運算能力和解決實際問題的能力.
【學習過程】
請認真思考后，回答下列問題：
1、判斷：
�。�1）若 四點共線，則向量 （ ）
�。�2）若向量 ，則 四點共線（ ）
�。�3）若 ，則向量 （ ）
（4）只要向量 滿足 ，就有 （ ）
2、提問：
（1）兩個非零向量平行的充要條件是什么？（你能寫出幾種表達形式）
（2）兩個非零向量垂直的充要條件是什么？（你能寫出幾種表達形式）
【典型例題】
例1 已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，求BC長．
變式 已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，點D在線段BC
上，且BD=2DC求AD長．
例２ 如圖，已知Rt⊿OAB中，∠AOB＝90o，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P為AM與BN的交點，求∠MPN．
【課堂練習】
⊿ABC中，AD，BE是中線，AD，BE相交于點G
�。�1）求證：AG=2GD
�。�2）若F為AB中點，求證G、F、C三點共線．
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