滬教版四年級(jí)上數(shù)學(xué)《樹狀算圖與算法流程》教學(xué)反思
這幾天，和學(xué)生們一起學(xué)習(xí)了關(guān)于樹狀算圖與算法流程的課程。這實(shí)際上是屬于一種類型，或者說是一種思維方法的數(shù)學(xué)課。重在學(xué)生對(duì)算理的理解，對(duì)應(yīng)用題解題思路的清晰。因此，樹狀算圖也好，分布式也好，綜合式也罷，總離不開學(xué)生對(duì)解題思路的明晰把握，要以學(xué)生對(duì)算法算理、數(shù)理邏輯、解題思路的正確辨析為基礎(chǔ)。
樹狀算圖，也只是一種表達(dá)數(shù)學(xué)邏輯的方法工具。因此，我們得把這種工具方法它的實(shí)在價(jià)值完全展現(xiàn)給學(xué)生看。只有這樣，經(jīng)過學(xué)生自我的一種認(rèn)同，在具體的解題思維過程當(dāng)中，真正體味到樹狀算圖的便捷、直觀等優(yōu)點(diǎn)，他們才覺得有必要去接受它。當(dāng)然了，某一種新生事物，對(duì)于需要接觸它的人而言，尤其是那些毫無經(jīng)驗(yàn)的人而言，是有些先驗(yàn)性質(zhì)的。比如，我們對(duì)于樹狀算圖的構(gòu)造樣式，對(duì)于他的功能體現(xiàn)等，都是有個(gè)經(jīng)驗(yàn)積淀之后的某種規(guī)定的，也可以說是習(xí)慣使然、經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)證之后的規(guī)范要求吧。
所以，樹狀算圖的產(chǎn)生學(xué)習(xí)，必定有些牽引的基礎(chǔ)，必定要有老師做一個(gè)形象的、直觀的介紹。“看，老師用一種新的方法來表達(dá)這樣的數(shù)學(xué)思維，樹狀算圖”。 “看這樣的樹狀算圖，他形如樹苗，兩個(gè)枝丫填條件，中間填運(yùn)算符號(hào)，下面的結(jié)果，你看懂了嗎？”之后，學(xué)生有一個(gè)接受消化的過程。這個(gè)過程當(dāng)中，我們老師應(yīng)該將對(duì)樹狀算圖的理解帶回到具體的應(yīng)用解題當(dāng)中的。讓學(xué)生說說，這個(gè)應(yīng)用題的解題思路怎樣，或者你是準(zhǔn)備怎樣去解決這個(gè)問題的，用的怎樣的數(shù)量關(guān)系？我們要注重學(xué)生思維的而自我表達(dá)，老師可以在敘述上要加以引導(dǎo)規(guī)范。比如“先怎樣想……，得出……，再與……，最后……。”結(jié)合具體的題目情境，說出每一步之運(yùn)算意義及邏輯根據(jù)。只有當(dāng)這一步踏實(shí)地完成后，才能在表達(dá)數(shù)學(xué)思維的方法層面上，有個(gè)選擇的必要性。到底是選擇分布式好呢，還是樹狀算圖比較方便。
而且，也不能在具體的每一道應(yīng)用題當(dāng)中，都會(huì)讓學(xué)生體會(huì)到樹狀算圖對(duì)于思路表達(dá)的便利直觀之作用。事實(shí)上，一些簡單的應(yīng)用題，其所要求的解題思路可以說很簡單明了。這時(shí)，業(yè)已習(xí)慣使用的那中列算式解答的方法更快。所以說，不必為了講述樹狀算圖的功能價(jià)值，而特意地將解題思路復(fù)雜化，或者故意將學(xué)生本已明了的算式算理引入到樹狀算圖的列舉過程中來。關(guān)鍵的看，是什么樣的應(yīng)用題型，確定怎樣的解題思路。至于需不需要用到樹狀算圖，需不需要學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)畫樹狀算圖來幫助理解題意之過程，都是形式方法層面的考究了。
因此，要充分尊重學(xué)生，先讓他們把自己的解題思路表述完整。這個(gè)是基礎(chǔ)，也是們數(shù)學(xué)應(yīng)用題學(xué)習(xí)的必要前提。學(xué)生在初學(xué)樹狀算圖時(shí)，教材安排了與樹狀算圖對(duì)應(yīng)的算式，先是分布式，后是綜合式。這完全是一種鋪墊過程。畢竟，學(xué)生已有的表達(dá)習(xí)慣是使用算式來解答應(yīng)用題。在算式列舉與計(jì)算的過程中，也伴隨著解題思路、算理邏輯的整個(gè)理解過程。而我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的樹狀算圖，就是為學(xué)生在理解算理，理解數(shù)量關(guān)系上提供一種新視角。樹狀算圖，可以直觀形象地展示出思維過程，它注重解題思路的層次分明，包括上下空間的延展，也包括書寫時(shí)間上的延伸。因而先算哪一步，怎樣得到結(jié)果，先算的這一步其結(jié)果與下一步存在怎樣的算理聯(lián)系等，這些思維現(xiàn)象都會(huì)在樹狀算圖中得以返現(xiàn)。
既然樹狀算圖只不過是一種表達(dá)數(shù)學(xué)思維的方法而已，那么我們還是得以學(xué)生的思維清晰、模型建構(gòu)為本。所以，這些課的一個(gè)教學(xué)著落點(diǎn)，仍是數(shù)學(xué)思維過程的形成與表述。離開了他，一切都只是空有其表，甚至樹狀算圖的列舉也成為一種累贅。有條理，有目的性，有條件性地分析問題，從條件出發(fā)，結(jié)合問題，能夠形成正確的'解題思路，抽象出合適的數(shù)學(xué)解題模型，那才是這些課的重難點(diǎn)所在。
教材明確了一點(diǎn)，將教學(xué)點(diǎn)的著力點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生的算法思維上。為了更好地實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，也考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)的后進(jìn)性，我們引進(jìn)了樹狀算圖。由于樹狀算圖有諸多優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于算法思維的表達(dá)有促進(jìn)作用，我們才覺得方法學(xué)習(xí)本身就是很有價(jià)值。相比算式表達(dá)法而言，在復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系應(yīng)用題解答中，運(yùn)用樹狀算圖能夠更加清晰明確、直觀形象地幫助學(xué)生理解題意，從而更好地理順?biāo)悸罚奖愕亟鉀Q問題。
這樣的課程學(xué)習(xí)，其實(shí)學(xué)生早已有過類似的經(jīng)驗(yàn)過程。他們已經(jīng)學(xué)會(huì)怎樣去思維，對(duì)于簡單的應(yīng)用題，他們也能夠確立解題思路。比如，結(jié)合條件看問題，注意四則運(yùn)算的合理運(yùn)用，關(guān)于倍數(shù)關(guān)系的思考，問題問什么等等，還有一些關(guān)涉到題意理解的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。這些都是應(yīng)用題解答的基礎(chǔ)準(zhǔn)備工作。學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)告訴他們，根據(jù)題意先列算式，而且分布式的考慮在前，而后可能綜合式的再思索。所以，這樣的過程，我們也得兼顧到。我們可以先讓學(xué)生分布算式，然后根據(jù)分布式的先后聯(lián)系，確定樹狀算圖的空間結(jié)構(gòu)。
雖然，這樣的過程似乎是重走回頭路，是一種反其道而行之的思維過程。因?yàn)楹苊黠@，當(dāng)我們能分布式厘清思維過程，能夠用算式來表達(dá)數(shù)量關(guān)系，那么反過來再要求依據(jù)算是關(guān)系來確定樹狀算圖的結(jié)構(gòu)分布，那不是重復(fù)啰嗦嗎？也有多此一舉、誤解貶低樹狀算圖的意思。其實(shí)，這里我們必須要有所區(qū)分。從思維過程之表達(dá)方面來看，樹狀算圖與分布式是等價(jià)的。可是，方法本身也得有所借助才能理解。于是，在理解樹狀算圖時(shí)（包括對(duì)他的空間結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)價(jià)值等的理解），尤其對(duì)于學(xué)生初學(xué)而言，我們大可以將算式算理轉(zhuǎn)移到樹狀算圖上來。似乎是由算式來引出樹狀算圖，那只是表現(xiàn)，也只是暫時(shí)性的一種借助。我們更要關(guān)注的是，學(xué)生能否依據(jù)應(yīng)用題題意來直接用樹狀算圖表達(dá)自己的思維過程。因此，在初學(xué)時(shí)，我們完全可以，而且有必要將算式算理與樹狀算圖的算理進(jìn)行對(duì)照，進(jìn)行一個(gè)聯(lián)系的過程。
這里，我們還要注意到，樹狀算圖作為一種表達(dá)算法流程的方法，其應(yīng)用價(jià)值并不僅僅在于應(yīng)用題型的解答上，還有對(duì)綜合算式的理解。當(dāng)綜合算式變得復(fù)雜起來時(shí)，我們可以云用樹狀算圖來幫助理解。實(shí)際上，也就是一個(gè)運(yùn)算順序的理解過程。綜合算式在空間分布上，并不有直觀的先后層次感，他只是運(yùn)用一些既定的符號(hào)來標(biāo)示運(yùn)算的先后順序，而這樣的符號(hào)本身需要做一定的思維理解。有些有困難的學(xué)生，無法做到自如運(yùn)用括號(hào)。有些學(xué)生，他或許自己知道運(yùn)算順序，但是在哎列舉綜合算式時(shí)，卻又會(huì)不自覺地出現(xiàn)不帶括號(hào)的問題。每當(dāng)這樣的情況，當(dāng)運(yùn)算順序有承接遞進(jìn)關(guān)系的時(shí)候，樹狀算圖就顯示出他的優(yōu)勢(shì)了。他直觀先后，層次分明，無需括號(hào)。在計(jì)算時(shí)，由上而下，自如應(yīng)當(dāng)。當(dāng)然了，肯定一方面的相對(duì)優(yōu)勢(shì)，并不意味著對(duì)另一方面的絕對(duì)否定。我們要善于運(yùn)用，要善于方法。千萬不要以為，這幾節(jié)課集中學(xué)習(xí)了樹狀算圖的方法，就要求學(xué)生題題用樹狀算圖來解題。我們的立足點(diǎn)在于，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)樹狀算圖的過程中，體會(huì)到它的方便直觀等優(yōu)點(diǎn)，并能結(jié)合樹狀算圖來幫助對(duì)算法思路的理解，也可以說是對(duì)學(xué)生解題思維方法的一種完善補(bǔ)充。學(xué)習(xí)過程中，不能本末倒置，以為是為了樹狀算圖而樹狀算圖，為了學(xué)會(huì)樹狀算圖的畫法工整，而故意讓學(xué)生在業(yè)已理解題意并已經(jīng)做出綜合算式方法的解答后，還來一個(gè)樹狀算圖的解答過程。這樣，其實(shí)就喪失了大部分學(xué)習(xí)本身的價(jià)值意義了。
于是，我們不能機(jī)械地認(rèn)為樹狀算圖一定比算式表達(dá)方法好，也不能機(jī)械地認(rèn)為樹狀算圖的教學(xué)就只是完成大綱的要求任務(wù)而已，更不能生硬地將樹狀算圖與算式理解隔離分開。因?yàn)椋瑯錉钏銏D也要服務(wù)于算法思維的清晰，在具體的解題過程中，樹狀算圖與算式之間可以互通映證，可以交相參證，達(dá)到理順?biāo)悸贰椭忸}的學(xué)習(xí)效果。
總而言之，在算法算理明確的前提下，到底是算式表達(dá)好，還是樹狀算圖表達(dá)更佳，那得以具體運(yùn)用情景而定。要明確這一點(diǎn)，兩者在幫助表達(dá)算法方面是等價(jià)的，無孰優(yōu)劣，無所高下。只是我們以為，一種更優(yōu)的工具方法，反過來又會(huì)促進(jìn)思維本身的有效開發(fā)。因而，學(xué)好樹狀算圖也絕對(duì)不是對(duì)算式方法的重復(fù)，更在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種更新的、更加方便的解題方法，多一個(gè)理解的角度。
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