數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之我見為題目的總結(jié)
[摘要] 本文以《高等幾何》課程學(xué)習(xí)為例淺談作者數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中概念的學(xué)習(xí)及課堂上、課后的學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)數(shù)學(xué)過(guò)程中自信與興趣的培養(yǎng)。
緒言：
數(shù)學(xué)是具有嚴(yán)謹(jǐn)邏輯的高度抽象概括的理論。它的學(xué)習(xí)與文科的學(xué)習(xí)不同，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的學(xué)習(xí)。①這個(gè)思維活動(dòng)的學(xué)習(xí)過(guò)程很艱苦，但在《高等幾何》這門課程的學(xué)習(xí)中，我悟出了一些學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的小竅門，可以把這個(gè)艱苦的過(guò)程轉(zhuǎn)化為一種的樂(lè)趣，現(xiàn)在寫出來(lái)同大家一起分享。
一、數(shù)學(xué)概念巧記憶
“概念形成主要依賴的是對(duì)感性材料的抽象，概念同化主要依靠的是對(duì)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的概括。”②這就是說(shuō)，要掌握概念就是要充分抽象感性材料和概括知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。在學(xué)到交比那一節(jié)時(shí)，發(fā)現(xiàn)（P1P2,P3P4）=(λ1-λ3) (λ2-λ4)/（λ2-λ3）（λ1-λ4）等式右邊不太好記，這時(shí)抽象的看一下，原來(lái)只記住式子里λ的下標(biāo)就可以把式子寫出來(lái)了，所以一個(gè)小口訣“1324，2314”就完全搞定了原來(lái)讓人覺得頭疼的公式。于是，我在學(xué)到“簡(jiǎn)單矩形六點(diǎn)形的對(duì)邊”時(shí)如法炮制：因?yàn)楹?jiǎn)單六點(diǎn)形的對(duì)邊分別為A1A2與A4A5、A2A3與A5A6、A3A4與A6A1。這么一長(zhǎng)串的對(duì)邊變成了“1245，2356，3461”后同樣也多念兩遍，這個(gè)概念的記憶就顯得很輕松了。
可是，大多數(shù)的數(shù)學(xué)定理并不像公式那么整齊，不能編小口訣，那怎么辦呢？其實(shí)也很簡(jiǎn)單，把同一類型的題型理出來(lái)一個(gè)個(gè)攻下來(lái)后，那些概念自然就爛熟于心了。例如在剛學(xué)到Desargues定理時(shí)，我覺得定理很繞口，于是我就先看后面的“應(yīng)用舉例”。發(fā)現(xiàn)例1.14，例1.15與習(xí)題1，6，7都是同一類型的，特別是習(xí)題6，幾乎就是例1.15的一個(gè)翻版。套用定理做完這幾題后我就歸納出了用Desargues定理證明共點(diǎn)線和共線點(diǎn)的方法，就是找對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線或?qū)?yīng)邊交點(diǎn)的問(wèn)題，而圖上一般只有10個(gè)點(diǎn)，去掉一個(gè)點(diǎn)后就只剩了9個(gè)，也就是透視軸加兩個(gè)三角形了。這樣一看，Desargues定理就在運(yùn)用中活學(xué)活記在了腦海里，也不覺得繞口了。實(shí)踐出真知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看來(lái)的確需要多做題才能有所領(lǐng)悟。
二、課堂主動(dòng)效率高
“早起的鳥兒才能抓到蟲子吃。”有預(yù)習(xí)習(xí)慣的人會(huì)比沒有的人學(xué)得輕松的多。但不是每個(gè)人每堂課前都能預(yù)習(xí)的，很多時(shí)候我們沒有那么多時(shí)間。那么，課前沒有預(yù)習(xí)該怎樣去盡量聽好課、提高課堂效率呢？坦白說(shuō)，我的預(yù)習(xí)習(xí)慣不是太好，因?yàn)闀r(shí)常會(huì)沒有時(shí)間，或者對(duì)自己比較有自信。我一直都覺得上課效率決定一切。上課時(shí)保持比老師快一步的節(jié)奏聽課是我最喜歡的，因?yàn)槟菢酉喈?dāng)輕松。比如在學(xué)定理2.12 “Poncelet定義<=>Steiner定義”時(shí)定理證明有一整頁(yè)，我就在老師還沒講到定理證明時(shí)就把證明過(guò)程看一遍，這樣在老師講到定理證明時(shí)我就有充裕的時(shí)間邊聽邊看后面一頁(yè)的內(nèi)容。在證明過(guò)程的.后一頁(yè)提到“定理2.12的證明過(guò)程為我們提供了一個(gè)作圖方法，稱為Steiner作圖法”。考慮到作圖是幾何學(xué)習(xí)的重要部分，我就把定理的證明過(guò)程中的那張圖仔細(xì)研究一遍，再在自己的草稿紙上畫一遍確保完全領(lǐng)悟（上圖）。這樣，我就相當(dāng)于把這個(gè)作圖法學(xué)了兩遍，效果自然不比預(yù)習(xí)差。而在之后的學(xué)習(xí)中，就更證明我判斷的準(zhǔn)確性。因?yàn)榱?xí)題2.4的第8小題，用的正是 Steiner作圖法。而正因?yàn)槲覄偛诺姆e極主動(dòng)，這題就能很容易地解出來(lái)了。相反，如果我沒有那樣做，那我的處境就會(huì)相當(dāng)?shù)谋粍?dòng)，很可能只聽懂了證明過(guò)程卻不想到如何運(yùn)用它。當(dāng)然，這只是我個(gè)人的一些經(jīng)驗(yàn)，它并不一定適合于每個(gè)人，但我覺得無(wú)論是誰(shuí)，無(wú)論學(xué)什么，都是應(yīng)該主動(dòng)的，態(tài)度決定一切。
三、歸納總結(jié)消化透
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)十分重視循序漸進(jìn)原則，強(qiáng)調(diào)打好基礎(chǔ)，踏踏實(shí)實(shí)前進(jìn)。“學(xué)習(xí)必須踏實(shí)，不能踏空一步。踏空一步，就要付出重補(bǔ)的代價(jià)；踏空多步，補(bǔ)不勝補(bǔ)，就會(huì)使人上不去，就會(huì)完全泄氣。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“只有經(jīng)過(guò)消化、提煉的過(guò)程，基礎(chǔ)才算是鞏固了”，“有了這個(gè)基礎(chǔ)，以后的學(xué)習(xí)就可以大大加快。”③前者說(shuō)出了一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)弱勢(shì)群體形成的原因，而后者說(shuō)明了優(yōu)勢(shì)群體中每個(gè)個(gè)體學(xué)習(xí)的成功之處所在。這也說(shuō)明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貫徹循序漸進(jìn)原則的重要性，堅(jiān)持三天一小理，五天一大理，每上完一次課就整理筆記，每過(guò)一段時(shí)間把學(xué)過(guò)的東西整理一下，前后的知識(shí)要融會(huì)貫通，在復(fù)習(xí)中溫故知新，同時(shí)也為自己整理出比較清晰的知識(shí)框架，從而避免了在考試前臨時(shí)抱佛腳的尷尬。例如證明共點(diǎn)線和共線點(diǎn)的問(wèn)題，除了第一章的Desargues定理可以用來(lái)證明，第二章的成透視對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列或線束，第四章的Pascal定理和Brianchon定理都可以用來(lái)證明。串聯(lián)起來(lái)復(fù)習(xí)效果會(huì)更好。又如第四章第五節(jié)的二次點(diǎn)列上的射影變換時(shí)，可以參照第二章第三節(jié)的一維基本形的射影對(duì)應(yīng)，它們有很多相似的地方，很值得對(duì)比鞏固。歸納總結(jié)知識(shí)以后，印象會(huì)更深刻，掌握會(huì)更牢固。
四、創(chuàng)新質(zhì)疑增自信
學(xué)數(shù)學(xué)是需要有興趣的，也是需要有自信的。做數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)可以嘗試用第二種、第三種方法解題，經(jīng)過(guò)一番琢磨后，如果能研究出一種比老師或同學(xué)更簡(jiǎn)單的方法，那是會(huì)大大增加自信的。例如：求兩直線l1:x1+x2-2x3=0和l2:x1+x3=0的交點(diǎn)關(guān)于二次曲線3x12+2x1x2+3x22-16x2x3+23x32=0極線方程④
解：已知二次曲線方程各項(xiàng)系數(shù)為：a11=3,a12=1,a13=0,a22=3,a23= -8,a33=23。
經(jīng)解聯(lián)立方程求得兩直線l1,l2的交點(diǎn)為P(-1,3,1)，故它的極線方程為
[3*（-1）+1*3+0*1]x1+[1*（-1）+3*3+(-8)*1]x2+[0*(-1)+(-8)*3+23*1]x3=0
即x3=0
這是一種方法，而由配極原則可以求出在線l1和l2的極點(diǎn)，兩極點(diǎn)的連線就是所求的極線。平時(shí)閑下來(lái)除了可以研究這些解題方法消遣，還可以在教材、題目中找找有沒有地方出錯(cuò)。例如：《高等幾何》書第20頁(yè)例1.6的證明過(guò)程中，倒數(shù)第二行（np - mp）α+（lq - nq’）β+（nr - lr）ν=0中ν的系數(shù)應(yīng)該是(mr – lr)，這純粹是印刷錯(cuò)誤，但發(fā)現(xiàn)這個(gè)也會(huì)讓人有不少的成就感哦！教材中還有一些印刷錯(cuò)誤就不一一例舉了。總之，學(xué)習(xí)的樂(lè)趣是要自己去尋找的，想方設(shè)法尋找數(shù)學(xué)的快樂(lè)，自然而然學(xué)習(xí)就變得快樂(lè)起來(lái)了。
結(jié)論：
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是需要付出的，特別是需要適合于自己的方法。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是需要興趣的。有研究表明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要興趣的程度是僅次于外語(yǔ)的。沒有足夠的興趣，學(xué)習(xí)將是被動(dòng)和枯燥的。有興趣的學(xué)習(xí)才能掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，但如果純粹為了興趣，而沒有足夠的耐心的話，一旦碰到特別困難的問(wèn)題就可能會(huì)逐漸的失去興趣，變主動(dòng)為被動(dòng)。⑤所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)秀的同學(xué)往往善于調(diào)節(jié)自己的心理，發(fā)揮心理能量。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是需要不斷的肯定自己、鼓勵(lì)自己的。在遇到困難時(shí)可以告訴自己：“這是使我變得更聰明的必須跨越的一道坎！”在覺得簡(jiǎn)單時(shí)，就該警醒一下自己：“別放松，否則也許會(huì)失去本屬于自己的成功！”就這樣，困難解決了，還積累了不少自信。勝不驕，敗不餒，不緊不慢，踏踏實(shí)實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)，勇敢、仔細(xì)地去學(xué)數(shù)學(xué)，漸漸的就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的思路變得越來(lái)越清晰，思維越來(lái)越靈活，做事情也變得更有條理了。這時(shí)學(xué)習(xí)伴隨著成功的喜悅，就像坐上了順風(fēng)船，在興趣和自信推動(dòng)下，顯然這時(shí)的自己會(huì)更加專注于學(xué)習(xí)，產(chǎn)生良性循環(huán)，還會(huì)在這個(gè)過(guò)程中發(fā)掘出自己更多的內(nèi)在潛力，自然也就不愁數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)苦了。
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