《因式分解——提公因式法》教案

時間：2024-12-09 10:24:55

《因式分解——提公因式法》教案（通用6篇）

　　作為一位杰出的教職工，時常需要用到教案，教案有助于學生理解并掌握系統的知識。如何把教案做到重點突出呢？下面是小編精心整理的《因式分解——提公因式法》教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

《因式分解——提公因式法》教案（通用6篇）

　　《因式分解——提公因式法》教案 1

　　教學目標

　　教學知識點：讓學生了解多項式公因式的意義，初步會用提公因式法分解因式。

　　能力訓練要求：通過找公因式，培養學生的觀察能力。

　　情感與價值觀：要求讓學生養成獨立思考的習慣，同時培養學生的合作交流意識

　　教學重點

　　能觀察出多項式的公因式，并根據分配律把公因式提出來。

　　教學難點

　　讓學生識別多項式的公因式。

　　教學方法

　　獨立思考——合作交流法。

　　教學過程

　　一、創設問題情境，引入新課

　　引例：一塊場地由三個矩形組成，這些矩形的長分別為，寬都是，求這塊場地的面積。

　　二、新課講解

　　1、公因式與提公因式法分解因式的`概念。

　　若將剛才的問題一般化，即三個矩形的長分別為a、b、c，寬都是m，則這塊場地的面積為ma+mb+mc，或m（a+b+c），可以用等號來連接。

　　ma+mb+mc=m（a+b+c）

　　從上面的等式中，大家注意觀察等式左邊的每一項有什么特點？各項之間有什么聯系？等式右邊的項有什么特點？

　�。�1）公因式：多項式的各項中都含有的因式叫做它的公因式

　�。�2）提公因式法：把多項式中的公因式提取出來的分解因式方法叫做提公因式法。

　　2、例題講解

　　例1、將下列各式分解因式：

　�。�1）3x+6；（2）7x2－21x；（3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x。

　　3、議一議

　　提公因式法的步驟。①找各項系數的最大公約數，②找各項中含有的相同的字母，相同字母的指數取次數最低的

　　4、想一想

　　提公因式法分解因式與單項式乘以多項式有什么關系？（互逆變換）

　　三、。課堂練習

　　1、隨堂練習P43~44

　　2、補充練習把3x2－6xy+x分解因式

　　四、課時小結

　　1、提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（a+b+c）。

　　2、提公因式法分解因式，關鍵在于觀察、發現多項式的公因式。

　　3、找公因式的一般步驟

　　（1）若各項系數是整系數，取系數的最大公約數；

　�。�2）取相同的字母，字母的指數取較低的；

　�。�3）取相同的多項式，多項式的指數取較低的

　�。�4）所有這些因式的乘積即為公因式。

　　4、特別注意：①不要漏項②公因式相差符號的，如（x－y）與（y－x）要先統一公因式，同時要防止出現符號問題

　　五、課后作業習題

　　六、活動與探究

　　利用分解因式計算：（1）32004－32003；（2）（－2）101+（－2）100。

　　《因式分解——提公因式法》教案 2

　　一、教材分析

　　本節是因式分解的第2小節，占兩個課時，這是第一課時，它主要讓學生經歷從乘法的分配律的逆運算到提取公因式的過程，讓學生體會數學的主要思想——類比思想，運用類比的數學方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學生易于理解和掌握.如學生在接受提取公因式法時，由整式的乘法的逆運算到提取公因式的概念，由提取的公因式是單項式到提取的公因式是多項式時的分解方法，都是利用了類比的數學思想，從而使得學生接受新的概念時顯得輕松自然，容易理解，讓學生進一步了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系.

　　二、學生知識狀況分析

　　學生的技能基礎：在上一節課的基礎上，學生基本上了解了分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系，能通過觀察、類比等手段，尋求因式分解與因數分解之間的關系，這為今天的深入學習提供了必要的基礎.

　　學生活動經驗基礎：學生有了上一節課的活動基礎，由于本節課采用的活動方法與上節課很相似，依然是觀察、對比等，學生對于這些活動方法較熟悉，有較好的活動經驗.

　　三、教學目標

　　知識與技能

　　1、經歷探索多項式各項公因式的過程，并在具體問題中能確定多項式的公因式。

　　2、會用提公因式法把多項式分解因式。

　　3、培養學生解決問題的能力。

　　過程與方法

　　在探索過程中培養學生解決問題的主動性，加強學生的直覺思維并滲透化歸的思想。

　　情感、態度與價值觀

　　在數學活動中培養學生的合作意識和創新精神，體會數學知識間的整體聯系。

　　教學重點：會用提公因式法分解因式。

　　教學難點：正確找出多項式中各項的公因式，并注意各項變形的符號問題。

　　四、教學過程設計

　�。ㄒ唬� 溫故知新

　　活動內容：計算：采用什么方法？依據是什么？

　　活動目的：旨在讓學生通過乘法分配律的逆運算這一特殊算法，使學生通過類比的思想自然地過渡到理解提公因式法的概念上，從而為提公因式法的掌握埋下伏筆。

　　（二）想一想

　　活動內容：

　　多項式 ab+ac中，各項有相同的因式嗎？多項式 3x2+x呢？多項式mb2+nb–b呢？

　　結論：多項式中各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式.

　　活動目的：在學生能順利地尋找數的公因數之后，再引導學生采用類比的方法在多項式中尋找相同的因式.

　　（三）議一議

　　活動內容：

　　多項式2x2+6x3中各項的公因式是什么？那多項式2x2y+6x3y2中各項的公因式是什么？

　　結論：（1）各項系數是整數，系數的最大公約數是公因式的系數；

　　（2）各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分；

　�。�3）公因式的系數與公因式字母部分的積是這個多項式的公因式.

　　活動目的：公因式由簡單到復雜，由于第一個多項式提供的比較簡單，尋找的公因式不具備歸納的條件，而后面所提供的尋找多項式2x2y+6x3y2中各項的公因式只是多了含字母y的因式，對比前一個公因式，通過尋找多項式2x2y+6x3y2中各項的公因式，可順利的歸納出確定多項式各項公因式的方法，培養學生的初步歸納能力

　　具備了歸納出怎樣尋找多項式各項公因式的條件，培養學生的初步歸納能力.

　�。ㄋ模� 試一試

　　活動內容：

　　將以下多項式寫成幾個因式的乘積的形式：

　�。�1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nb–b

　　如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

　　活動目的：

　　讓學生嘗試著使用因式分解的意義以及提公因式法的定義進行幾個簡單的多項式的分解，為過渡到較為復雜的多項式的分解提供必要的準備.

　�。ㄎ澹� 做一做

　　活動內容：將下列多項式進行分解因式：

　�。�1）3x+ （2）7x –21 （3） 8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3+12x2－28x

　　先讓學生思考這些問題，然后教師在教學中注意講清確定公因式的具體步驟，從系數、字母和字母的次數3個方面進行分析；講完后要分析公因式和另一個因式之間的關系，并思考：如果提出公因式，另一個因式是否還有公因式？從而把提取公因式的“提”的具體含意深刻化。

　　最后學生歸納：提取公因式的步驟：

　�。�1）找公因式；（2）提公因式.

　　易出現的問題：（1）第二題只提出7x作為公因式

　　（2）第（3）題中的最后一項提出ab后，漏掉了“+1”；

　　（3）第（4）題提出“–”時，后面的因式不是每一項都變號.

　　教師提醒：（1）各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分；

　�。�2）因式分解后括號內的'多項式的項數與原多項式的項數是否相同；

　�。�3）如果多項式的首項為“–”時，則先提取“–”號，然后提取其它公因式；

　　（4）將分解因式后的式子再進行單項式與多項式相乘，其積是否與原式相等.

　　活動目的：根據用提公因式法進行因式分解時出現的問題，在教師的啟發與指導下，學生自己歸納出提公因式的步驟及怎樣預防提取公因式時出現類似問題，為提取公因式積累經驗.

　�。┫胍幌耄禾峁蚴椒ㄒ蚴椒纸馀c單項式乘多項式有什么關系？

　　活動目的：通過學生的回顧與思考，強化學生對確定公因式的方法及提公因式法的步驟的理解，進一步清楚地了解提公因式法與單項式乘多項式的互逆關系，加深對類比的數學思想的理解。

　　（七）反饋練習

　　活動內容： 1、找出下列各多項式的公因式：

　　（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn–24m2n3 （4）a2b–2ab2+ab

　　2.把下列各式因式分解：（隨堂練習）

　　活動目的：通過學生的反饋練習，使教師能全面了解學生對公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法與步驟是否掌握，以便教師能及時地進行查缺補漏.通過查缺補漏強化學生確定公因式的方法及提公因式法的步驟，能熟練地利用提公因式法分解因式。

　　五、教學反思

　　由于因式分解的主要目的是對多項式進行恒等變形，它的作用更多的是應用于多項式的計算和化簡，比如在以后將要學習的分式運算、解分式方程、二次根式化簡等中都要用到因式分解的知識。因此應該注重因式分解的概念和方法的教學。

　　本節運用類比的數學方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學生易于理解和掌握.如學生在接受提取公因式法時，由提公因數到找公因式，由整式的乘法的逆運算到提取公因式的概念，都是利用了類比的數學思想，從而使得學生接受新的概念時顯得輕松自然，容易理解。

　　《因式分解——提公因式法》教案 3

　　一、教學目標

　　【知識與技能】

　　理解公因式的含義及因式分解的概念，能夠應用提公因式法準確分解因式。

　　【過程與方法】

　　經歷提取公因式法分解因式的過程，提升運算能力，發展數感。

　　【情感態度價值觀】

　　獲得正確解題的成就感，體會數學的嚴謹性。

　　二、教學重難點

　　【教學重點】

　　公因式的.含義，提公因式法分解因式。

　　【教學難點】

　　準確找到公因式，正確分解因式。

　　三、教學過程

　�。ㄒ唬┮胄抡n

　　復習導入：復習之前所學習過的分解質因數和乘法公式。

　　大屏幕出示幾個因式分解的算式，提出問題：對比算式，在形式上有什么不同？引出課題。

　�。ǘ┨剿餍轮�

　　（四）小結作業

　　提問學生：通過本節課的學習，你都有哪些收獲？

　　引導學生回顧：公因式概念，以及利用提取公因式法分解因式。

　　課后作業：

　　思考還有什么方法能夠分解因式。

　　《因式分解——提公因式法》教案 4

　　教學目標

　　能確定多項式的公因式，熟練運用提公因式法分解因式.

　　經歷探索提公因式法的過程，培養逆向思維能力.

　　讓學生通過參與探索過程，培養合作意識和創新精神.

　　重點難點

　　重點

　　公因式的定義以及提公因式法分解因式.

　　難點

　　準確找出多項式中各項的公因式.

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　1. 什么叫做因式分解?與整式乘法有什么聯系?

　　2. 計算：

　　3. 觀察上式運算的結果，各項所含的因式有什么特點?

　　學生觀察到各項含有相同的因式m后，教師給出公因式的概念：

　　幾個式子的公共的因式稱為它們的公因式.

　　一個多項式如果各項含有公因式，怎樣分解因式呢?

　　二、探究新知

　　根據的計算結果，你能將分解因式嗎?分解的根據是什么?你能說說分解的具體做法是什么嗎?

　　學生思考討論后，教師引導學生分析分解的根據是乘法分配律，具體的做法是把各項的公因式提到括號外面. 隨后給出這種方法的名稱.

　　如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，這種把多項式因式分解的方法叫做提公因式法. 用提公因式法分解因式時要把所有的`公因式都提出，使剩下的多項式因式里不含公因式.

　　三、典例剖析

　　例1 把因式分解.

　　教師引導學生觀察各項的公因式，并板書分解過程.

　　解：

　　反思：分解得對不對，為什么?

　　例2把因式分解.

　　教師引導學生觀察各項的公因式，并總結出找公因式的方法：一看各項系數，找出各系數的最大公因數，二看各項的字母因式，找出相同的字母因式.

　　板書分解過程：

　　解：

　　例3 把因式分解.

　　引導學生觀察各項的公因式，并總結出找公因式的方法：一看各項系數，找出各系數的最大公因數，二看各項的字母因式，找出相同的字母因式，相同的字母取指數最小的作為公因式.

　　板書分解過程：

　　解：

　　四、小結

　　請你總結一下如何確定多項式中各項的公因式.

　　五、布置作業

　　教材P62第1題，第2題的(1)(2)(3).

　　《因式分解——提公因式法》教案 5

　　【學習目標】

　　1、理解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法的關系.

　　2、理解公因式的概念

　　3、會用提公因式法因式分解。

　　【學習重點】

　　會找公因式，會用提公因式法因式分解。

　　【學習難點】

　　找公因式。

　　【學習過程】

　　一、提出問題，創設情境

　　1、請把下列各式寫成整式的乘積的形式：

　�。�1）x2+x=；

　�。�2）x2-1=；

　�。�3）am+bm+cm=；

　�。�4）x2－2xy+y2=.

　　總結概念：把一個化成幾個整式的的形式的變形叫做把這個多項式因式分解，也叫分解因式.

　　2、辯一辯：下列變形是否是因式分解？為什么？

　�。�1）7x－7=7（x－1）.

　　(2)3a2b-ab+b=b(3a2-a)

　�。�3）x2-2x+3=(x-1)2+2

　�。�4）2m（n+c）-3（n+c）=（n+c）(2m-3)

　　(5)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)

　　(6)（x+1）（x－1）=x2－1

　�。�7）x2-4=（x+2）(x-2)

　�。�8）x+x2y=x2（+y）

　　3、問題：對于多項式：各項有何特點？你能把它分解因式嗎？

　　歸納：公因式：如多項式：的各項都有一個，我們把這個.

　　叫做這個多項式的。

　　提公因式法：如果一個多項式的各項含有，那么就可以把這個公因式，從而將多項式化成兩個因式形式，這種分解因式的方法叫做.

　　4、請同學們指出下列各多項式中各項的公因式：

　　ax+ay+a4a2+10ah

　　4x2－8x6x2y+xy2

　　3mx-6mx212xyz-9x2y2

　　16a3b2－4a3b2－8ab4

　　通過以上學習探究活動，你能總結一下最大公因式的.方法：

　�、僖豢聪禂担汗蚴降南禂等「黜椣禂档�；

　�、诙醋帜福汗蚴阶帜溉「黜椀淖帜�，③三看指數：公因式字母的指數取相同字母的最次冪.

　　二、范例學習：

　　例1將多項式分解因式8a3b2+12ab2c

　　即時訓練：分解因式

　�。�1）3x3-6xy+3x

　�。�2）-4a3+16a2-18a

　　例2、把2a（b+c）-3（b+c）分解因式.

　　即時訓練：分解因式

　　2、先分解因式，再求值：

　　四、課堂小結：

　　1.利用提公因式法因式分解，關鍵是找準.在找最大公因式時應注意：

　　2.因式分解應注意分解徹底，也就是說，分解到不能再分解為止.

　　《因式分解——提公因式法》教案 6

　　教學目標

　　1.使學生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區別和聯系.

　　2.使學生理解提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式.

　　3.通過學生自行探求解題途徑，培養學生觀察、分析和創新能力，深化學生逆向思維能力.

　　教學重點及難點

　　教學重點：

　　因式分解的概念及提公因式法.

　　教學難點：

　　正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區別和聯系.

　　教學過程：

　　一、復習提問

　　乘法對加法的分配律.

　　二、新課

　　1.新課引入：用類比的方法引入課題.

　　在學習分數時，我們常常要進行約分與通分，因此常常要把一個數分解因數(即分解約數).例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7.

　　在第七章我們學習了整式的乘法，幾個整式相乘可以化成一個多項式，那么一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢？這一章就是學習如何把一個多項式化成幾個整式的積的方法.

　　2.因式分解的概念：

　　請學生每人寫出一個單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的例子，并計算出其結果.(老師按學生所說在黑板寫出幾個.)

　　如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc

　　2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

　　(a+b)(a-b)＝a2-b2

　　(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

　　(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等.

　　再請學生觀察它們有什么共同的特點？

　　特點：左邊，整式×整式；右邊，是多項式.

　　可見，整式乘以整式結果是多項式，而多項式也可以變形為相應的整式與整式的乘積，我們就把這種多項式的變形叫做因式分解.

　　定義：把一個多項式化為幾個整式的`積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.

　　如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c).

　　整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc.

　　讓學生說出因式分解與整式乘法的聯系與區別.

　　聯系：同樣是由幾個相同的整式組成的等式.

　　區別：這幾個相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法.兩者是方向相反的恒等變形，二者是一個式子的不同表現形式，一個是多項式的表現形式，一個是兩個或幾個因式積的表現形式.

　　例1 下列各式從左到右哪些是因式分解？（投影）

　　(1)x2-x＝x(x-1) (√)

　　(2)a(a-b)＝a2-ab (×)

　　(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)

　　(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)

　　(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)

　　下面我們學習幾種常見的因式分解方法.

　　3.提公因式法：

　　我們看多項式：ma+mb+mc

　　請學生指出它的特點：各項都含有一個公共的因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式.

　　注意：公因式是各項都含有的公共的因式.

　　又如：a是多項式a2-a各項的公因式.

　　ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式.

　　2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式.

　　根據乘法的分配律，可得

　　m(a+b+c)＝ma+mb+mc，

　　逆變形，便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式

　　ma+mb+mc＝m(a+b+c).

　　這說明，多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面，將多項式 ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

　　定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

　　顯然，由定義可知，提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式.讓學生觀察上面的公因式的特點，找出確定公因式的萬法：(1)公因式的系數應取各項系數的最大公約數：(2)字母取各項的相同字母，而且各字母的指數取次數例2 指出下列各多項式中各項的公因式：

　　(1)ax+ay+a (a)

　　(2)3mx-6mx2 (3mx)

　　(3)4a2+10ah (2a)

　　(4)x2y+xy2 (xy)

　　(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

　　例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.

　　分析：分兩步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式.

　　先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2.

　　解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).

　　說明：

　　(1)應特別強調確定公因式的兩個條件以免漏取.

　　(2)開始講提公因式法時，最好把公因式單獨寫出.①以顯提醒；③強調提公因式；③強調因式分解.

　　例4 把3x2-6xy+x 分解因式.

　　分析：先引導學生找出公因式x，強調多項式中x=x·1.

　　解：3x2-6xy+x

　　=x·3x-x·6y+x·1

　　＝x(3x-6y+1).

　　說明：當多項式的某一項恰好是公因式時，這項應看成它與1的乘積，提公因式后剩下的應是1，1作為項的系數通�？梢允÷�，但如果單獨成一項時，它在因式分解時不能漏掉，這類題常常有些學生犯下面的錯誤，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，這一點可讓學生利用恒等變形分析錯誤原因.還應提醒學生注意：提公因式后的因式的項數應與原多項式的項數一樣，這樣可以檢查是否漏項.

　　課堂練習：（投影）

　　把下列各式分解因式：

　　(l)2πR+2πr；

　　(2)

　　(3)3x3+6x2；

　　(4)21a2+7a；

　　(5)15a2+25ab2；

　　(6)x2y+xy2-xy.

　　例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.

　　分析：此多項式第一項的系數是負數，與前面兩例不同，應先把它轉化為前面的情形便可以因式分解了，所以應先提負號轉化，然后再提公因式，提"-"號時，注意添括號法則.

　　解：-4m3+16m2-26m

　�。�-(4m3-16m2+26m)