教案《切線長定理》

教案《切線長定理》

　　1、教材分析

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　重點：切線長定理及其應用．因切線長定理再次體現了圓的軸對稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系等提供了理論依據，它屬于工具知識，經常應用，因此它是本節的重點．

　　難點：與切線長定理有關的證明和計算問題．如120頁練習題中第3題，它不僅應用切線長定理，還用到解方程組的知識，是代數與幾何的綜合題，學生往往不能很好的把知識連貫起來．

　　2、教法建議

　　本節內容需要一個課時．

　　（1）在教學中，組織學生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長定理的基本圖形；對重要的結論及時總結；

　　（2）在教學中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線，開展在教師組織下，以學生為主體，活動式教學．

　　教學目標

　　1．理解切線長的概念，掌握切線長定理；

　　2．通過對例題的分析，培養學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想．

　　3．通過對定理的猜想和證明，激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，樹立科學的學習態度．

　　教學重點:

　　切線長定理是教學重點

　　教學難點:

　　切線長定理的靈活運用是教學難點

　　教學過程設計:

　　（一）觀察、猜想、證明，形成定理

　　1、切線長的概念．

　　如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長．

　　引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.

　　2、觀察

　　利用電腦變動點P 的位置，觀察圖形的特征和各量之間的關系．

　　3、猜想

　　引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB． PA＝PB．

　　4、證明猜想，形成定理．

　　猜想是否正確，數學教案－切線長定理。需要證明．

　　組織學生分析證明方法．關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA＝PB．

　　想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論？

　　∠OPA＝∠OPB(如圖)等．

　　切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．

　　5、歸納：

　　把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質

　　6、切線長定理的基本圖形研究

　　如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點．直線OP交⊙O于點D，E，交AP于C

　　(1)寫出圖中所有的垂直關系；

　　(2)寫出圖中所有的全等三角形；

　　(3)寫出圖中所有的相似三角形；

　　(4)寫出圖中所有的等腰三角形．

　　說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活應用知識的基礎．

　　（二）應用、歸納、反思

　　例1、已知：如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，

　　A和B是切點，BC是直徑．

　　求證：AC∥OP．

　　分析：從條件想，由P是⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A，B是切點可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB＝OC，由此聯想到與直徑有關的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等．于是想到可能作輔助線AB.

　　從結論想，要證AC∥OP，如果連結AB交OP于O，轉化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線來考慮．也可考慮通過平行線的判定定理來證，可獲得多種證法．

　　證法一．如圖．連結AB．

　　PA，PB分別切⊙O于A，B

　　∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

　　∴ OP ⊥AB

　　又∵BC為⊙O直徑

　　∴AC⊥AB

　　∴AC∥OP (學生板書)

　　證法二．連結AB，交OP于D

　　PA，PB分別切⊙O于A、B

　　∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

　　∴AD＝BD

　　又∵BO=DO

　　∴OD是△ABC的中位線

　　∴AC∥OP

　　證法三．連結AB，設OP與AB弧交于點E

　　PA，PB分別切⊙O于A、B

　　∴PA＝PB

　　∴ OP ⊥AB

　　∴ =

　　∴∠C＝∠POB

　　∴AC∥OP

　　反思：教師引導學生比較以上證法，激發學生的學習興趣，培養學生靈活應用知識的能力．

　　例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．

　　（分析和解題略）

　　反思：（1）例3事實上是圓外切四邊形的一個重要性質，請學生記住結論．（2）圓內接四邊形的性質：對角互補．

　　P120練習：

　　練習1 填空

　　如圖,已知⊙O的半徑為3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分別切⊙O于A，B，則PA＝_______，∠APB＝________

　　練習2 已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的內切圓分別和BC，AC，AB切于點D，E，F，求AF，AD和CE的長．

　　分析：設各切線長AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米．后列出關于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結果．

　　（解略）

　　反思：解這個題時，除了要用三角形內切圓的概念和切線長定理之外，還要用到解方程組的知識，是一道綜合性較強的計算題．通過對本題的研究培養學生的綜合應用知識的能力．

　　（三）小結

　　1、提出問題學生歸納

　　（1）這節課學習的具體內容；

　　（2）學習用的數學思想方法；

　　（3）應注意哪些概念之間的區別?

　　2、歸納基本圖形的結論

　　3、學習了用代數方法解決幾何問題的思想方法．

　　（四）作業

　　教材P131習題7．4A組1．(1)，2，3，4．B組1題．

　　探究活動

　　圖中找錯

　　你能找出（圖1）與（圖2）的錯誤所在嗎？

　　在圖2中，P1A為⊙O1和⊙O3的切線、P1B為⊙O1和⊙O2的切線、P2C為⊙O2和⊙O3的切線．

　　提示：在圖1中，連結PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點只能作一條直徑，所以此圖是一張錯圖，點O應在圓上．

　　在圖2中，設P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A＝P3C＝c，則有

　　a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+ c ①

　　c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+ b ②

　　a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+ b ③

　　將②代人①式得

　　a =P1P3+（P2P3+ b）=P1P3+P2P3+ b，

　　∴a-b=P1P3+P2P3

　　由③得a-b=P1P2得

　　∴P1P2=P2P3+ P1P3

　　∴P1、P 2 、P3應重合，故圖2是錯誤的．

　　數學教案－切線長定理

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