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實用文檔>高三理科數學數列復習教案

高三理科數學數列復習教案

時間:2024-09-22 05:08:09

高三理科數學數列復習教案

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高三理科數學數列復習教案

  1.數列的概念和簡單表示法?

  (1)了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式);? (2)了解數列是自變量為正整數的一類函數.?

  2.等差數列、等比數列?

  (1)理解等差數列、等比數列的概念;?

  (2)掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式;?

  (3)能在具體問題情境中識別數列的等差關系或等比關系,并能用有關知識解決相應的問題;?

  (4)了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系. 本章重點:1.等差數列、等比數列的定義、通項公式和前n項和公式及有關性質;

  2.注重提煉一些重要的思想和方法,如:觀察法、累加法、累乘法、待定系數法、倒序相加求和法、錯位相減求和法、裂項相消求和法、分組求和法、函數與方程思想、數學模型思想以及離散與連續的關系.?

  本章難點:

  1.數列概念的理解;

  2.等差等比數列性質的運用;

  3.數列通項與求和方法的運用.

  仍然會以客觀題考查等差數列與等比數列的通項公式和前n項和公式及性質,在解答題中,會保持以前的風格,注重數列與其他分支的綜合能力的考查,在高考中,數列常考常新,其主要原因是它作為一 個特殊函數,使它可以與函數、不等式、解析幾何、三角函數等綜合起來,命出開放性、探索性強的問題,更體現了知識交叉命題原則得以貫徹;又因為數列與生產、生活的聯系,使數列應用題也倍受歡迎.

  知識網絡

  6.1 數列的概念與簡單表示法

  典例精析

  題型一 歸納、猜想法求數列通項

  【例1】根據下列數列的前幾項,分別寫出它們的一個通項公式:

  (1)7,77,777,7 777,

  (2)23,-415,635,-863,

  (3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,

  【解析】(1)將數列變形為79(10-1),79(102-1),79(103-1),,79(10n-1),

  故an=79(10n-1).

  (2)分開觀察,正負號由(-1)n+1確定,分子是偶數2n,分母是13,35,57, ,(2n-1)(2n+1),故數列的通項公式可寫成an =(-1)n+1 .

  (3)將已知數列變為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,.

  故數列的通項公式為an=n+ .

  【點撥】聯想與轉換是由已知認識未知的兩種有效的思維方法,觀察歸納是由特殊到一般的有效手段,本例的求解關鍵是通過分析、比較、聯想、歸納、轉換獲得項與項序數的一般規律,從而求得通項.

  【變式訓練1】如下表定義函數f(x):

  x 1 2 3 4 5

  f(x) 5 4 3 1 2

  對于數列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,,則a2 008的值是()

  A.1 B.2 C.3 D.4

  【解析】a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=4,,可得an+4=an.

  所以a2 008=a4=2,故選B.

  題型二 應用an= 求數列通項

  【例2】已知數列{an}的前n項和Sn,分別求其通項公式:

  (1)Sn=3n-2;

  (2)Sn=18(an+2)2 (an0).

  【解析】(1)當n=1時,a1=S1=31-2=1,

  當n2時,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=23n-1,

  又a1=1不適合上式,

  故an=

  (2)當n=1時,a1=S1=18(a1+2)2,解得a1=2,

  當n2時,an=Sn-Sn-1=18(an+2)2-18(an-1+2)2,

  所以(an-2)2-(an-1+2)2=0,所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0,

  又an0,所以an-an-1=4,

  可知{an}為等差數列,公差為4,

  所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)4=4n-2,

  a1=2也適合上式,故an=4n-2.

  【點撥】本例的關鍵是應用an= 求數列的通項,特別要注意驗證a1的值是否滿足2的一般性通項公式.

  【變式訓練2】已知a1=1,an=n(an+1-an)(nN*),則數列{an}的通項公式是()

  A.2n-1 B.(n+1n)n-1 C.n2 D.n

  【解析】由an=n(an+1-an)an+1an=n+1n.

  所以an=anan-1an-1an-2a2a1=nn-1n-1n-23221=n,故選D.

  題型三 利用遞推關系求數列的通項

  【例3】已知在數列{an}中a1=1,求滿足下列條件的數列的通項公式:

  (1)an+1=an1+2an;(2)an+1=2an+2n+1.

  【解析】(1)因為對于一切nN*,an0,

  因此由an+1=an1+2an得1an+1=1an+2,即1an+1-1an=2.

  所以{1an}是等差數列,1an=1a1+(n-1)2=2n-1,即an=12n-1.

  (2)根據已知條件得an+12n+1=an2n+1,即an+12n+1-an2n=1.

  所以數列{an2n}是等差數列,an2n=12+(n-1)=2n-12,即an=(2n-1)2n-1.

  【點撥】通項公式及遞推關系是給出數列的常用方法,尤其是后者,可以通過進一步的計算,將其進行轉化,構造新數列求通項,進而可以求得所求數列的通項公式.

  【變式訓練3】設{an}是首項為1的正項數列,且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,),求an.

  【解析】因為數列{an}是首項為1的正項數列,

  所以anan+10,所以(n+1)an+1an-nanan+1+1=0,

  令an+1an=t,所以(n+1)t2+t-n=0,

  所以[(n+1)t-n](t+1)=0,

  得t=nn+1或t=-1(舍去),即an+1an=nn+1.

  所以a2a1a3a2a4a3a5a4anan-1=12233445n-1n,所以an=1n.

  總結提高

  1.給出數列的前幾項求通項時,常用特征分析法與化歸法,所求通項不唯一.

  2.由Sn求an時,要分n=1和n2兩種情況.

  3.給出Sn與an的遞推關系,要求an,常用思路是:一是利用Sn-Sn-1=an(n2)轉化為an的遞推關系,再求其通項公式;二是轉化為Sn的遞推關系,先求出Sn與n之間的關系,再求an.

  6.2 等差數列

  典例精析

  題型一 等差數列的判定與基本運算

  【例1】已知數列{an}前n項和Sn=n2-9n.

  (1)求證:{an}為等差數列;(2)記數列{|an|}的前n項和為Tn,求 Tn的表達式.

  【解析】(1)證明:n=1時,a1=S1=-8,

  當n2時,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10,

  當n=1時,也適合該式,所以an=2n-10 (nN*).

  當n2時,an-an-1=2,所以{an}為等差數列.

  (2)因為n5時,an0,n6時,an0.

  所以當n5時,Tn=-Sn=9n-n2,

  當n6時,Tn=a1+a2++a5+a6++an

  =-a1-a2--a5+a6+a7++an

  =Sn-2S5=n2-9n-2(-20)=n2-9n+40,

  所以,

  【點撥】根據定義法判斷數列為等差數列,靈活運用求 和公式.

  【變式訓練1】已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且S21=42,若記bn= ,則數列{bn}()

  A.是等差數列,但不是等比數列 B.是等比數列,但不是等差數列

  C.既是等差數列,又是等比數列 D.既不是等差數列,又不是等比數列

  【解析】本題考查了兩類常見數列,特別是等差數列的性質.根據條件找出等差數列{an}的首項與公差之間的關系從而確定數列{bn}的通項是解決問題的突破口.{an}是等差數列,則S21=21a1+21202d=42.

  所以a1+10d=2,即a11=2.所以bn= =22-(2a11)=20=1,即數列{bn}是非0常數列,既是等差數列又是等比數列.答案為C.

  題型二 公式的應用

  【例2】設等差數列{an}的前n項和為Sn,已知a3=12,S120,S130.

  (1)求公差d的取值范圍;

  (2)指出S1,S2,,S12中哪一個值最大,并說明理由.

  【解析】(1)依題意,有

  S12=12a1+12(12-1)d20,S13=13a1+13(13-1)d20,

  即

  由a3=12,得a1=12-2d.③

  將③分別代入①②式,得

  所以-247

  (2)方法一:由d0可知a1a3a13,

  因此,若在112中存在自然數n,使得an0,an+10,

  則Sn就是S1,S2,,S12中的最大值.

  由于S12=6(a6+a7)0,S13=13a70,

  即a6+a70,a70,因此a60,a70,

  故在S1,S2,,S12中,S6的值最大.

  方法二:由d0可知a1a3a13,

  因此,若在112中存在自然數n,使得an0,an+10,

  則Sn就是S1,S2,,S12中的最大值.

  故在S1,S2,,S12中,S6的值最大.

  【變式訓練2】在等差數列{an}中,公差d0,a2 008,a2 009是方程x2-3x-5=0的兩個根,Sn是數列{an}的前n項的和,那么滿足條件Sn0的最大自然數n=.

  【解析】由題意知 又因為公差d0,所以a2 0080,a2 0090. 當

  n=4 015時,S4 015=a1+a4 01524 015=a2 0084 015當n=4 016時,S4 016=a1+a4 01624 016=a2 008+a2 00924 0160.所以滿足條件Sn0的最大自然數n=4 015.

  題型三 性質的應用

  【例3】某地區2010年9月份曾發生流感,據統計,9月1日該地區流感病毒的新感染者有40人,此后,每天的新感染者人數比前一天增加40人;但從9月11日起,該地區醫療部門采取措施,使該種病毒的傳播得到控制,每天的新感染者人數比前一天減少10人.

  (1)分別求出該地區在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數;

  (2)該地區9月份(共30天)該病毒新感染者共有多少人?

  【解析】(1)由題意知,該地區9月份前10天流感病毒的新感染者的人數構成一個首項為40,公差為40的等差數列.

  所以9月10日的新感染者人數為40+(10-1)40=400(人).

  所以9月11日的新感染者人數為400-10=390(人).

  (2)9月份前10天的新感染者人數和為S10=10(40+400)2=2 200(人),

  9月份后20天流感病毒的新感染者的人數,構成一個首項為390,公差為-10的等差數列.

  所以后20天新感染者的人數和為T20=20390+20(20-1)2(-10)=5 900(人).

  所以該地區9月份流感病毒的新感染者共有2 200+5 900=8 100(人).

  【變式訓練3】設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S410,S515,則a4的最大值為

  .

  【解析】因為等差數列{an}的前n項和為Sn,且S410,S515,

  所以5+3d23+d,即5+3d6+2d,所以d1,

  所以a43+1=4,故a4的最大值為4.

  總結提高

  1.在熟練應用基本公式的同時,還要會用變通的公式,如在等差數列中,am=an+(m-n)d.

  2.在五個量a1、d、n、an、Sn中,知其中的三個量可求出其余兩個量,要求選用公式要恰當,即善于減少運算量,達到快速、準確的目的.

  3.已知三個或四個數成等差數列這類問題,要善于設元,目的仍在于減少運算量,如三個數成等差數列時,除了設a,a+d,a+2d外,還可設a-d,a,a +d;四個數成等差數列時,可設為a-3m,a-m,a+m,a+3m.

  4.在求解數列問題時,要注意函數思想、方程思想、消元及整體消元的方法的應用.

  6.3 等比數列

  典例精析

  題型一 等比數列的基本運算與判定

  【例1】數列{an}的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=n+2nSn(n=1,2,3,).求證:

  (1)數列{Snn}是等比數列;(2)Sn+1=4an.

  【解析】(1)因為an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2nSn,

  所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).

  整理得nSn+1=2(n+1)Sn,所以Sn+1n+1=2Snn,

  故{Snn}是以2為公比的等比數列.

  (2)由(1)知Sn+1n+1=4Sn-1n-1 =4ann+1(n2),

  于是Sn+1=4(n+1)Sn-1n-1=4an(n2).

  又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4.

  因此對于任意正整數n1,都有Sn+1=4an.

  【點撥】①運用等比數列的基本公式,將已知條件轉化為關于等比數列的特征量a1、q的方程是求解等比數列問題的常用方法之一,同時應注意在使 用等比數列前n項和公式時,應充分討論公比q是否等于1;②應用定義判斷數列是否是等比數列是最直接,最有依據的方法,也是通法,若判斷一個數列是等比數列可用an+1an=q(常數)恒成立,也可用a2n+1 =anan+2 恒成立,若判定一個數列不是等比數列則只需舉出反例即可,也可以用反證法.

  【變式訓練1】等比數列{an}中,a1=317,q=-12.記f(n)=a1a2an,則當f(n)最大時,n的值為()

  A.7 B.8 C.9 D.10

  【解析】an=317(-12)n-1,易知a9=31712561,a100,00,故f(9)=a1a2a9的值最大,此時n=9.故選C.

  題型二 性質運用

  【例2】在等比數列{an}中,a1+a6=33,a3a4=32,anan+1(nN*).

  (1)求an;

  (2)若Tn=lg a1+lg a2++lg an,求Tn.

  【解析】(1)由等比數列的性質可知a1a6=a3a4=32,

  又a1+a6=33,a1a6,解得a1=32,a6=1,

  所以a6a1=132,即q5=132,所以q=12,

  所以an=32(12)n-1=26-n .

  (2)由等比數列的性質可知,{lg an}是等差數列,

  因為lg an=lg 26-n=(6-n)lg 2,lg a1=5lg 2,

  所以Tn=(lg a1+lg an)n2=n(11-n)2lg 2.

  【點撥】歷年高考對性質考查較多,主要是利用等積性,題目小而巧且背景不斷更新,要熟練掌握.

  【變式訓練2】在等差數列{an}中,若a15=0,則有等式a1+a2++an=a1+a2++a29-n(n29,nN*)成立,類比上述性質,相應地在等比數列{bn}中,若b19=1,能得到什么等式?

  【解析】由題設可知,如果am=0,在等差數列中有

  a1+a2++an=a1+a2++a2m-1-n(n2m-1,nN*)成立,

  我們知道,如果m+n=p+q,則am+an=ap+aq,

  而對于等比數列{bn},則有若m+n=p+q,則aman=apaq,

  所以可以得出結論:

  若bm=1,則有b1b2bn=b1b2b2m-1-n(n2m-1,nN*)成立.

  在本題中則有b1b2bn=b1b2b37-n(n37,nN*).

  題型三 綜合運用

  【例3】設數列{an}的前n 項和為Sn,其中an0,a1為常數,且-a1,Sn,an+1成等差數列.

  (1)求{an}的通項公式;

  (2)設bn=1-Sn,問是否存在a1,使數列{bn}為等比數列?若存在,則求出a1的值;若不存在,說明理由.

  【解析】(1)由題意可得2Sn=an+1-a1.

  所以當n2時,有

  兩式相減得an+1=3an(n2).

  又a2=2S1+a1=3a1,an0,

  所以{an}是以首項為a1,公比為q=3的等比數列.

  所以an=a13n-1.

  (2)因為Sn=a1(1-qn)1-q=-12a1+12a13n,所以bn=1-Sn=1+12a1-12a13n.

  要使{bn}為等比數列,當且僅當1+12a1=0,即a1=-2,此時bn=3n.

  所以{bn}是首項 為3,公比為q=3的等比數列.

  所以{bn}能為等比數列,此時a1=-2.

  【變式訓練3】已知命題:若{an}為等 差數列,且am=a,an=b(m0,nN*)為等比數列,且bm=a,bn=b(m

  【解析】n-mbnam.

  總結提高

  1.方程思想,即等比數列{an}中五個量a1,n,q,an,Sn,一般可知三求二,通過求和與通項兩公式列方程組求解.

  2.對于已知數列{an}遞推公式an與Sn的混合關系式,利用公式an=Sn-Sn-1(n2),再引入輔助數列,轉化為等比數列問題求解.

  3.分類討論思想:當a10,q1或a10,00,01時,{an}為遞減數列;q0時,{an}為擺動數列;q=1時,{an}為常數列.

  6.4 數列求和

  典例精析

  題型一 錯位相減法求和

  【例1】求和:Sn=1a+2a2+3a3++nan.

  【解 析】(1)a=1時,Sn=1+2+3++n=n(n+1)2.

  (2)a1時,因為a0,

  Sn=1a+2a2+3a3++nan,①

  1aSn=1a2+2a3++n-1an+nan+1.②

  由①-②得(1-1a)Sn=1a+1a2++1an-nan+1=1a(1-1an)1-1a-nan+1,

  所以Sn=a(an-1)-n(a-1)an(a-1)2.

  綜上所述,Sn=

  【點撥】(1)若數列{an}是等差數列,{bn}是等比數列,則求數列{anbn}的前n項和時,可采用錯位相減法;

  (2)當等比數列公比為字母時,應對字母是否為1進行討論;

  (3)當將Sn與qSn相減合并同類項時,注意錯位及未合并項的正負號.

  【變式訓練1】數列{2n-32n-3}的前n項和為()

  A.4-2n-12n-1 B.4+2n-72n-2 C.8-2n+12n-3 D.6-3n+22n-1

  【解析】取n=1,2n-32n-3=-4.故選C.

  題型二 分組并項求和法

  【例2】求和Sn=1+(1+12)+(1+12+14)++(1+12+14++12n-1).

  【解析】和式中第k項為ak =1+12+14++12k-1=1-(12)k1-12=2(1-12k).

  所以Sn=2[(1-12)+(1-122)++(1-12n)]

  = -(12+122++12n)]

  =2[n-12(1-12n)1-12]=2[n-(1-12n)]=2n-2+12n-1.

  【變式訓練2】數列1, 1+2, 1+2+22,1+2+22+23,,1+2+22++2n-1,的前n項和為()

  A.2n-1 B.n2n-n

  C.2n+1-n D.2n+1-n-2

  【解析】an=1+2+22++2n-1=2n-1,

  Sn=(21-1)+(22-1)++(2n-1)=2n+1-n-2.故選D.

  題型三 裂項相消法求和

  【例3】數列{an}滿足a1=8,a4=2,且an+2-2an+1+an=0 (nN*).

  (1)求數列{an}的通項公式;

  (2)設bn=1n(14-an)(nN*),Tn=b1+b2++bn(nN*),若對任意非零自然數n,Tnm32恒成立,求m的最大整數值.

  【解析】(1)由an+2-2an+1+an=0,得an+2-an+1=an+1-an,

  從而可知數列{an}為等差數列,設其公差為d,則d=a4-a14-1=-2,

  所以an=8+(n-1)(-2)=10-2n.

  (2)bn=1n(14-an)=12n(n+2)=14(1n-1n+2),

  所以Tn=b1+b2++bn=14[(11-13)+(12-14)++(1n-1n+2)]

  =14(1+12-1n+1-1n+2)=38-14(n+1)-14(n+2)m32 ,

  上式對一切nN*恒成立.

  所以m12-8n+1-8n+2對一切nN*恒成立.

  對nN*,(12-8n+1-8n+2)min=12-81+1-81+2=163,

  所以m163,故m的最大整數值為5.

  【點撥】(1)若數列{an}的通項能轉化為f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂項相消法求和.

  (2)使用裂項相消法求和時,要注意正負項相消時,消去了哪些項,保留了哪些項.

  【變式訓練3】已知數列{an},{bn}的前n項和為An,Bn,記cn=anBn+bnAn-anbn(nN*),則數列{cn}的前10項和為()

  A.A10+B10 B.A10+B102 C.A10B10 D.A10B10

  【解析】n=1,c1=A1B1;n2,cn=AnBn-An-1Bn-1,即可推出{cn}的前10項和為A10B10,故選C.

  總結提高

  1.常用的 基本求和法均對應數列通項的特殊結構特征,分析數列通項公式的特征聯想相應的求和方法既是根本,也是關鍵.

  2.數列求和實質就是求數列{Sn}的通項公式,它幾乎涵蓋了數列中所有的思想策略、方法和技巧,對學生的知識和思維有很高的要求,應充分重視并系統訓練.

  6.5 數列的綜合應用

  典例精析

  題型一 函數與數列的綜合問題

  【例1】已知f(x)=logax(a0且a1),設f(a1),f(a2),,f(an)(nN*)是首項為4,公差為2的等差數列.

  (1)設a是常數,求證:{an}成等比數列;

  (2)若bn=anf(an),{bn}的前n項和是Sn,當a=2時,求Sn.

  【解析】(1)f(an)=4+(n-1)2=2n+2,即logaan=2n+2,所以an=a2n+2,

  所以anan-1=a2n+2a2n=a2(n2)為定值,所以{an}為等比數列.

  (2)bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2,

  當a=2時,bn=(2n+2) (2)2n+2=(n+1) 2n+2,

  Sn=223+324+425++(n+1 ) 2n+2,

  2Sn=224+325++n2n+2+(n+1)2n+3,

  兩式相減得

  -Sn=223+24+25++2n+2-(n+1)2n+3=16+24(1-2n-1)1-2-(n+1)2n+3,

  所以Sn=n2n+3.

  【點撥】本例是數列與函數綜合的基本題型之一,特征是以函數為載體構建數列的遞推關系,通過由函數的解析式獲知數列的通項公式,從而問題得到求解.

  【變式訓練1】設函數f(x)=xm+ax的導函數f(x)=2x+1,則數列{1f(n)}(nN*)的前n項和是()

  A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn+1 D.n+1n

  【解析】由f(x)=mxm-1+a=2x+1得m=2,a=1.

  所以f(x)=x2+x,則1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1.

  所以Sn=1-12+12-13+13-14++1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.故選C.

  題型二 數列模型實際應用問題

  【例2】某縣位于沙漠地帶,人與自然長期進行著頑強的斗爭,到2009年底全縣的綠化率已達30%,從2010年開始,每年將出現這樣的局面:原有沙漠面積的16%將被綠化,與此同時,由于各種原因,原有綠化面積的4%又被沙化.

  (1)設全縣面積為1,2009年底綠化面積為a1=310,經過n年綠化面積為an+1,求證:an+1=45an+425;

  (2)至少需要多少年(取整數)的努力,才能使全縣的綠化率達到60%?

  【解析】(1)證明:由已知可得an 確定后,an+1可表示為an+1=an(1-4%)+(1-an)16%,

  即an+1=80%an+16%=45an+425.

  (2)由an+1=45an+425有,an+1-45=45(an-45),

  又a1-45=-120,所以an+1-45=-12(45)n,即an+1=45-12(45)n,

  若an+135,則有45-12(45)n35,即(45)n-112,(n-1)lg 45-lg 2,

  (n-1)(2lg 2-lg 5)-lg 2,即(n-1)(3lg 2-1)-lg 2,

  所以n1+lg 21-3lg 24,nN*,

  所以n取最小整數為5,故至少需要經過5年的努力,才能使全縣的綠化率達到60%.

  【點撥】解決此類問題的關鍵是如何把實際問題轉化為數學問題,通過反復讀題,列出有關信息,轉化為數列的有關問題.

  【變式訓練2】規定一機器狗每秒鐘只能前進或后退一步,現程序設計師讓機器狗以前進3步,然后再后退2步的規律進行移動.如果將此機器狗放在數軸的原點,面向正方向,以1步的距離為1單位長移動,令P(n)表示第n秒時機器狗所在的位置坐標,且P(0)=0,則下列結論中錯誤的是()

  A.P(2 006)=402 B.P(2 007)= 403

  C.P(2 008)=404 D.P(2 009)=405

  【解析】考查數列的應用.構造數列{Pn},由題知P(0)=0,P(5)=1,P(10)=2,P(15)=3.所以P(2 005)=401,P(2 006)=401+1=402,P(2 007)=401+1+1=403,P(2 008)=401+

  3=404,P(2 009)=404-1=403.故D錯.

  題型三 數列中的探索性問題

  【例3】{an},{bn}為兩個數列,點M(1,2),An(2,an),Bn(n-1n,2n)為直角坐標平面上的點.

  (1)對nN*,若點M,An,Bn在同一直線上,求數列{an}的通項公式;

  (2)若數列{bn}滿足log2Cn=a1b1+a2b2++anbna1+a2++an,其中{Cn}是第三項為8,公比為4的等比數列,求證:點列(1,b1),(2,b2),,(n,bn)在同一直線上,并求此直線方程.

  【解析】(1)由an-22-1=2n-2n-1n-1,得an=2n.

  (2)由已知有Cn=22n-3,由log2Cn的表達式可知:

  2(b1+2b2++nbn)=n(n+1)(2n-3),①

  所以2[b1+2b2++(n-1)bn-1]=(n-1)n(2n-5).②

  ①-②得bn=3n-4,所以{bn}為等差數列.

  故點列(1,b1),(2,b2),,(n,bn)共線,直線方程為y=3x-4.

  【變式訓練3】已知等差數列{an}的首項a1及公差d都是整數,前n項和為Sn(nN*).若a11,a43,S39,則通項公式an=.

  【解析】本題考查二元一次不等式的整數解以及等差數列的通項公式.

  由a11,a43,S39得

  令x=a1,y=d得

  在平面直角坐標系中畫出可行域如圖所示.符合要求的整數點只有(2,1),即a1=2,d=1.所以an=2+n-1=n+1.故答案填n+1.

  總結提高

  1.數列模型應用問題的求解策略

  (1)認真審題,準確理解題意;

  (2)依據問題情境,構造等差、等比數列,然后應用通項公式、前n項和公式以及性質求解,或通過探索、歸納構造遞推數列求解;

  (3)驗證、反思結果與實際是否相符.

  2.數列綜合問題的求解策略

  (1)數列與函數綜合問題或應用數學思想解決數列問題,或以函數為載體構造數列,應用數列的知識求解;

  (2)數列的幾何型綜合問題,探究幾何性質和規律特征建立數列的遞推關系式,然后求解問題.

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